基于彈塑性理論的落石碰撞恢復系數和峰值沖擊力研究

梅雪峰，胡卸文,2，羅 剛，杜映錦，馬洪生，吳建利

(1.西南交通大學 地球科學與環境工程學院，成都 610031；2.西南交通大學 高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，成都 610031；3.四川省交通運輸廳公路規劃勘察設計研究院，成都 610041)

崩塌落石是高山峽谷區常見的斜坡地質災害之一[1]。典型的落石過程一般要經歷四個階段：墜落啟動-滾滑加速-拋射碰撞-減速停止(見圖1)。巖土體間發生的復雜沖擊和接觸決定了落石的運動形態[2]。Ritchie[3]是第一個系統性研究落石問題的學者。Rochet[4]根據規模將落石分為2類：單體落石(1×10-2～1×102m3)；落石群(>1×102m3)。其中，落石群又可分三種規模：一般、較大、超大。體積分別介于1×102～1×105m3,1×105～1×107m3及大于1×107m3。由于落石具有突發、隨機及高能的動力特性，因此對生命、房建、交通及環境帶來巨大的威脅。中國[5]、Nepal[6-8]、Italy[9-10]、Canada[11]、Japan[12]、Peruvian Andes[13]等地落石災害均造成了巨大的損失。Gardner對Lake Louise地區842 h的調查，共報告了563起落石事件。

撞擊過程中的峰值沖擊力和恢復系數是落石問題研究中最主要的兩個特征參量，其決定了落石的危害程度、影響防護結構設計特征參數及落石運動軌跡等。Asteriou等[14]采用試驗研究了落石恢復系數與落石質量及沖擊速度之間的關系。Labiouse等[15]分析了落石的回彈規律。Peila等[16]開展了大比例加筋土攔石墻結構模型的抗沖擊性能試驗研究，Ronco等[17]通過ABAQUS/Explicit有限元對Pelia等的研究進行數值模型驗證。Asteriou等[18]基于室內試驗提出了一種預測落石軌跡的三維經驗模型。Chau等[19]研究了落石運動過程中與斜坡的鎖閉效應。袁進科等[20]采用沖擊力測試裝置獲取了不同質量、不同速度的落石對土石緩沖層結構的沖擊力變化規律。楊海清等[21]基于Thornton模型推導了落石正面撞擊地面的法向恢復系數。何思明[22]研究了典型正碰撞情況下落石對防護結構沖擊力計算表達式。王東坡等[23]基于Olsson動力控制方程研究了落石沖擊荷載作用下的棚洞頂板的動力響應。王爽等[24]采用模型試驗研究了不同沖擊能量下拱形棚洞結構的抗沖擊性能。此外采用波動理論、數值模擬、基于概率論的不確定性評價也是研究落石問題的手段。

圖1 落石運動過程示意圖Fig.1 Movement process of Rockfall

作為彈塑性體，巖土體的塑性變形是撞擊行為的主要控制階段。法向塑性變形與切向摩擦是撞擊過程中能量損失最主要組成部分，也是回彈恢復系數小于1的原因。基于Newton定義的運動學恢復系數是目前解決落石撞擊問題的主要方式(回彈速度與入射速度之比)。一些學者在采用此種定義的恢復系數研究落石碰撞過程中發現回彈速度很大，甚至出現恢復系數大于1的能量不協調情形[25-26]。此外，通過試驗反演恢復系數多采用中小尺寸模型[27]，其試驗材料尤其是滾滑面材料的力學物理特性與天然狀態下差異較大，無法還原真實落石運動特性，實際碰撞過程中較小的落石受到坡面粗糙度的影響更顯著[28]。而采用經驗半經驗所建議的法向和切向恢復系數差別非常大，導致選取及計算的困難。目前關于沖擊力的計算方法多是忽略摩擦，基于正面碰撞下的經驗半經驗公式。而正碰僅是斜碰的特殊情況，實際過程中斜碰撞更為普遍，尤其是大角度斜碰撞過程中，摩擦作用非常明顯，甚至成為主要控制因素，忽略摩擦可能導致恢復系數偏大。相對于滑坡、泥石流等地質災害，落石災害研究明顯滯后，嚴重制約著合理有效防治措施的實施。針對上述問題，本文在經典接觸理論的基礎上，建立了一套相對完整的落石運動計算方法。提出了一種計算切向力的新模型，通過坡面條件及入射條件對可能掉落的危巖體進行運動形態的判別。采用算例與當前常用模型進行對比討論，比較了模型之間的差異，驗證了本文理論的合理性，對于預測和減輕落石災害具有理論和現實意義。

1 落石碰撞過程機理

落石沖擊地面的過程分為兩個階段：首先是開始接觸發生壓縮變形至變形量最大，此時落石速度為0，該階段為壓縮加載階段；隨后土體發生回彈直至落石與地面分離，速度達到最大，該階段為回彈卸荷階段。第一階段速度逐漸減小，沖擊力逐漸增加；第二階段速度逐漸增加，沖擊力逐漸減小。本文假設覆蓋層為彈塑性體且在碰撞過程中忽略落石與長大樹干間的相互作用。

1.1 彈性加載過程

根據Hertz接觸理論[29]，接觸區應力分布函數為

(1)

(2)

(3)

接觸域上的總荷載與壓力的關系為

(4)

聯立式(2)～式(4)得彈性階段荷載與貫入量的關系

(5)

式中：Ei，Ej，Ri，Rj，vi,vj分別為落石和地面的彈性模量(Pa)、半徑(m)、泊松比。

Jackson等[29]研究了彈塑性材料屈服應力與貫入深度間的關系

式中：δy為土體初始屈服時的貫入量,m；σy為土體的初始屈服應力,Pa，可依據試驗或經驗獲取，且C=min(1.295e0.763vi,1.295e0.763vj)。

將式(6)代入式(5)得土體屈服壓力

(7)

根據Jackson等[31]，屈服時的最大變形能

(8)

將式(6)、式(7)代入式(8)得土體初始屈服時的速度

(9)

假設碰撞前質心的速度為V1，碰撞后速度為V2，任意時刻的速度為v，據功能原理

(10)

將式(5)代入式(10)得

(11)

當土體達到第一次屈服時土體的瞬時屈服速度

(12)

根據牛頓第二定律得

(13)

兩邊對δ積分得

(14)

(15)

將式(15)代入式(5)得到彈性階段最大壓力

(16)

1.2 塑性加載階段

根據Johnson等的理論，開始發生塑性變形有以下關系式

p=ζσy

(17)

隨著沖擊力的增加，接觸面積增大，接觸區面積增量為：dA=2πrdr，因此有

dF(δ)=ζσy2πrdr

(18)

由式(17)、式(18)得塑性階段荷載與貫入量的關系

(19)

對式(19)積分并聯立式(3)得到屈服階段荷載與貫入量的表達式

Fep(δ)=Fy+πσyR*(δm-δy)

(20)

式中：ζ為無量綱因子，Johnson等建議ζ=1，δm為任意時刻最大貫入量,m。

由功能原理得

(21)

根據式(21)可求得最大貫入量，代入式(20)可求得最大荷載Fepm。

1.3 回彈卸荷階段

回彈卸荷階段，荷載與貫入量仍然符合彈性理論

(22)

根據Kligerman等[32]的理論

(23)

由式(23)并根據動能定理得碰撞結束后落石的恢復能量

(24)

由初始碰撞時刻總的輸入能量與式(24)聯立，得到以輸出與輸入能量比值所表達的能量恢復系數

(25)

由式(25)可知，恢復系數與撞擊過程中輸入能量和輸出能量相關。相比Thornton模型采用的速度恢復系數，本文基于能量原理推導的恢復系數表達形式較復雜，但系統性更強更符合實際。

2 切向沖擊過程計算

2.1 切向沖擊力

Mindlin[33]最早研究了接觸體在固定法向荷載作用下，接觸體表面切向力的分布規律。Vu-Quoc等[34]提出了不同荷載組合下彈塑性接觸面的應力-應變模型(Thomas-Fexmi-Dirac,TFD)。何思明等[35]在Mindlin接觸理論基礎上推導了土體切向沖擊過程，但是所假設的固定法向壓力與實際情況不符。Fujimoto等[36]推導了塑性變形過程中，接觸表面切向載荷與切向變形之間關系?？紤]到落石撞擊屬于低速準靜態碰撞問題，因此假設切向力近似等于摩擦力。目前關于切向力的計算方法，均采用Coulomb-Amontons摩擦定律(見圖2)。Maw等[37]通過對斜撞擊的研究表明，撞擊過程切向力的變化是受沖擊入射角的影響，并將斜碰撞過程分為：黏滯、黏滯-滑移、完全滑動三階段。定義

(26)

Maw等認為，考慮不同的撞擊條件，當ψ≤1時，接觸區之間無相對運動的趨勢，在整個撞擊過程中均為黏滯，而不存在微滑或滑動；當1<ψ≤4χ-1時，碰撞以完全滑動開始，并以完全滑動結束，其余為滑移與黏滯共存的過渡階段，但是過渡階段持續的過程極短，僅占整個沖擊過程的不到2%；當ψ>4χ-1滑動發生在整個碰撞過程?？紤]當滿足1<ψ≤4χ-1時，接觸面仍以滑移為主。本文在Coulomb-Amontons、Maw等的理論基礎上提出一種新的切向力計算模型，表達式

(27)

式中：ψi為初始入射角(°)；ψc為黏滯與滑動的臨界摩擦角(°)，本文計算中

對于給定的材料常數，根據以上公式可求得黏滯與滑動的閾值。由此可見，當θi→0時，ψi→0，此時切向力Fτ→0，為正碰撞；當θi→90°時，切向力Fτ=μFη，計算滿足經典Coulomb-Amontons準則。

由圖3可知，傳統的摩擦力模型無法考慮不同運動狀態下切向力分布特征以及切向力隨沖擊角度的變化規律，切向力在原點處梯度無限大且積分不連續。本文所提出的切向力計算模型很好的解決了以上問題，并且可以根據入射條件判別落石沖擊過程中的運動形態，對于實際的工程應用簡便有效。由圖2可知，摩擦因數與土體臨界摩擦角呈正相關。三維空間內，臨界摩擦角是大小為2ψc的錐體，稱為摩擦錐。本文所涉及的土體摩擦因數為0.4，其臨界摩擦角等于24.5。

圖2 摩擦因數與臨界摩擦角Fig.2 Friction coefficient and critical friction angle

圖3 切向力計算模型Fig.3 Tangential force calculation model

2.2 切向恢復系數

落石在碰撞過程中如果發生黏滯，則恢復系數為0。在滑動階段，Kharaz等[38]提出了滑動階段切向恢復系數的計算表達式

eτ=1-μcotθ(1+eη) 0≤eτ≤1

(28)

結合以上分析得落石沖擊過程切向恢復系數的最終計算表達式

(29)

根據以上的理論，建立整個落石沖擊過程中恢復系數(法向與切向恢復系數)、沖擊力(法向與切向沖擊力)之間的關系。

3 工程算例分析

已知坡面為殘坡積覆蓋層，參數見表1。采用本文理論討論碰撞過程中不同特征參量對沖擊力、恢復系數的變化規律。

表1 落石沖擊計算材料參數[39]Tab.1 Rockfall impact calculation material parameters

3.1 恢復系數與速度的關系

為了研究落石速度與恢復系數的規律，在相同入射角情況下，以入射速度為自變量，計算得到了沖擊過程中法向與切向恢復系數(見圖4)。結果表明，當入射角為60°時。無論是Thornton模型抑或本文模型，法向恢復系數隨入射速度增加而減小，而切向恢復系數隨速度的增加而降低。其他條件相同的情況下，本文模型的法向恢復系數最大為0.28，而Thornton模型為0.42，與Thornton模型相比，本文推導的法向恢復系數值遠小于相同速度下的Thornton模型。過大的恢復系數可能造成防護結構的失效及材料的浪費。此外，相同速度條件下，依據法向恢復系數計算得到的切向恢復系數對于兩種模型相差不明顯。本模型算例參數接近軟土性質，陳洪凱等[40]建議的軟土法向恢復系數為0.10～0.25，與本文計算結果較吻合，而Thornton模型偏離程度較大。

圖4 速度與恢復系數的關系Fig.4 Relationship between velocity and coefficient of restitution

3.2 速度與沖擊力的關系(見圖5)

采用本文理論計算了落石碰撞過程中峰值沖擊力隨速度變化的規律(見圖6)。結果表明，峰值沖擊力隨速度增加而呈線性增加的趨勢，法向力增加的速率大于切向力增加的速率。與Labiouse等及Kawahara等[41]模型計算的沖擊力對比發現，三種模型計算的沖擊力增大趨勢基本相同，但本文模型計算的沖擊力略大于Labiouse模型，而遠大于Kawahara模型，計算發現，在低速碰撞過程中，另外兩種模型所得沖擊力分別為0.99 t和0.64 t，其沖擊力峰值均略小于自身重量，顯然，兩種模型存在著一定的誤差。在高速撞擊過程中本文結果與Labiouse模型較一致。

圖5 速度與沖擊力的關系Fig.5 Relationship between speed and impact force

圖6 不同模型的峰值沖擊力Fig.6 Peak impact force of different models

3.3 恢復系數與入射角的關系

以入射角(見圖1)為自變量，研究了入射速度為15 m/s時恢復系數與入射角度的變化規律(見圖7)。結果表明，撞擊過程可分為黏滯階段與滑動階段，當入射角小于臨界入射角時，切向恢復系數為0，法向恢復系數隨入射角的增加而增大。當入射角大于臨界入射角時，法向與切向恢復系數均隨入射角的增加而增大，最大法向恢復系數為0.21。法向恢復系數的大小主要受控于入射速度的大小。入射角的改變對切向恢復系數的影響要遠大于對法向恢復系數的影響。

圖7 入射角與恢復系數的關系Fig.7 Relationship between the incident angle and the recovery coefficient

入射角隨沖擊力變化規律(見圖8)表明，碰撞過程中合力與法向沖擊力隨入射角的增加而減小，而切向沖擊力在黏滯階段隨入射角的增大而增加，在其達到臨界摩擦角時，切向力達到最大的78 kN，隨后進入完全滑動階段，在其他條件不變時，切向力隨入射角的增大而減小。入射角與切向力的關系(見圖9)表明，切向力與滑動摩擦力的比值分為兩個階段：第一階段，兩者比值與入射角成正比；第二階段，比值為常數1。

圖8 入射角與沖擊力的關系Fig.8 Relationship between incident angle and impact force

圖9 入射角與切向力的關系Fig.9 Relationship between incident angle and tangential force

4 結 論

采用經典接觸力學，推導了落石碰撞過程中的能量恢復系數和沖擊力的計算公式。研究了以初始入射速度和入射角為變參量下的恢復系數和沖擊力的變化規律，通過算例分析并與目前常用的計算模型進行比較，得到了以下結論：

(1)落石碰撞過程中法向恢復系數隨速度的增大而增加，切向恢復系數反之。

(2)隨入射角的增大，法向與切向恢復系數均有增加的趨勢，且切向恢復系數增加的幅度遠大于法向恢復系數。

(3)法向沖擊力隨速度增大而增加，隨入射速度增加而減小。切向沖擊力隨速度增加而增加，隨入射角的增加先增大后減小。

(4)通過實例驗證并與目前采用的模型進行分析比較，表明，Thornton模型計算的牛頓恢復系數偏大，在實際應用中可能會造成防護結構的失效或材料的浪費。此外，采用Rockfall等軟件進行落石運動模擬時，需自定義恢復系數，合理的恢復系數是正確預測落石軌跡、能量計算的關鍵。本文模型對落石碰撞過程恢復系數與峰值沖擊力的計算更系統合理。

(5)落石回彈運動狀態取決于初始入射條件。當入射角大于臨界黏-滑入射角時，碰撞過程均存在滑動，反之落石發生黏滯。通過本文的模型也可判別落石撞擊過程中運動狀態的形態及其轉化過程。