基于小波形函數的動態荷載識別方法

賀文宇，汪 洋，任偉新

(合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

結構動態荷載識別是結構健康監測領域的熱點問題[1-4]。其識別方法一般可歸為兩類：頻域法和時域法。頻域法和時域法分別基于頻率響應函數和脈沖響應函數建立動態荷載與結構響應之間的關系，來估計動態荷載。與頻域法相比，時域法結果通常具有更明確的物理意義和相對較高的精度,因此近年來得到了越來越多的關注。

時域動態荷載識別法大多數都是在時域內假定動態荷載在每一離散的采樣時間間隔內為常數，將動態荷載表示為單位矩形脈沖信號之和，對應的動力響應表示為單位矩形脈沖響應之和的形式。簡化荷載與實際荷載的誤差，取決于矩形脈沖的脈寬即采樣的時間間隔，間隔愈小，誤差越小。為準確描述動態荷載，需要采用較高的采樣頻率，但這將導致所形成的脈沖函數響應矩陣及對應的荷載-響應方程組維數過大和待求系數過多，增加系數矩陣的病態性，從而使數值求解困難和效率低下[5-6]。為平衡識別精度和效率，眾多學者采用一組基函數來擬合動態荷載，把直接求解動態荷載轉化為求解荷載基函數系數，縮減荷載-響應方程組維數，減少待求系數個數[6-7]。

基函數方法是全域函數，與結構分析中的Rize方法類似，難以適應復雜的動態荷載和響應，而且形成的荷載-響應方程組的系數矩陣為非稀疏矩陣，給后續計算帶來很大的挑戰。鑒于此，眾多學者引入荷載形函數的概念，利用常規結構有限元分析理論中的位移形函數擬合動態荷載[8]。基于形函數方法的識別精度主要取決于離散時間單元的長度，然而離散時間單元的長度難以事先確定。本文提出了一種基于多尺度小波形函數和時域反卷積的動態荷載識別方法，有效避免預先確定離散時間單元長度的難題。通過不同結構的數值算例驗證了方法的可行性。

1 多尺度小波形函數

1.1 多分辨率小波分析

多分辨率分析是小波的最重要的特征之一[9-10]，它使小波能夠以動態多尺度方式來逼近函數。利用小波逼近函數，可在不同尺度空間中得到不同的逼近精度。例如函數可在低尺度空間近似為

(1)

(2)

在小波空間V0中加入0尺度小波函數ψ0，l，形成V1空間，可提高逼近精度。

(3)

式中：C0，l為Ψ0，l對應的小波系數。

c0,l=〈f(x),ψ0,l(x)〉

(4)

當j→∞時，將逼近精確的函數。

(5)

1.2 拉格朗日小波形函數

常用的小波函數主要有樣條小波、Daubechies小波、Hermite小波、Lagrange小波和三角小波等。本文采用計算方便的第二代拉格朗日小波，來實現動態荷載識別。當定義在區間[0,1]內,0尺度下的第二代拉格朗日小波為

(6a)

(6b)

j尺度下對應的小波函數ψj,l(x)為

(7)

第二代拉格朗日小波尺度函數(V0)、小波函數(W0,W1以及W2)如圖1所示。

2 動態荷載識別

基于小波函數優越的多分辨率特性，對結構進行分析時，可在低尺度空間獲得初始解，然后通過逐漸添加將小波函數，提升空間尺度，進而得到更精確的結果。本節將拓展小波多分辨率特性到基于時域反卷積法的動態荷載識別領域。

圖1 拉格朗日小波形函數Fig.1 Lagrange wavelet shape functions

假設結構初始條件為零，結構動力響應y(t)可表示為外部動態荷載的卷積積分f(t)以及相應的脈沖響應函數h(t-τ)[11]。

(8)

式(8)可以轉換為離散形式

(9)

式中：Δt為離散時間間隔，利用該方程可通過結構響應y(t)和脈沖響應函數h(t-τ)識別動態荷載時程f(t)。為獲得較高的識別精度，通常需要采用小的離散時間間隔Δt，但過小的時間間隔會導致過多的待定系數，不僅增加計算成本，而且加重問題的病態性。

本節采用與結構有限元法類似的思路，將動態荷載在時間域離散化為局部時間單位，并通過二代拉格朗日小波形函數逼近荷載，進一步組集所有時域單元的小波形函數的動力響應，建立基于小波形函數的荷載-響應矩陣，識別結構動態荷載。

假定在整個時域內動態荷載被離散化為p個時間單元，每一個單元包含q個數據點，總數據樣點為r=p(q-1)+1，因此式(9)可改寫為

Y=KD

(10)

(11)

(12)

式中：HNm為由mth形函數Nm表示的荷載引起的動態響應。

式(10)中的系數矩陣K通常病態的，由系數矩陣K和響應列陣Y難以直接獲得形函數系數D的穩定解。為此，通常將其轉化為如下Tikhonov正則化問題

(13)

式中:λ為正則化因子，可由L曲線法來確定的。

通過式(13)求得小波形函數系數后，動態荷載可通過式(14)獲得

F=DN

(14)

式中：F和N=[N1,N2,…，Nr]T分別為識別的動態荷載和小波形函數。

(15)

將式(15)代入式(10)和式(13)，求得待定小波系數，并通過式(14)，即可識別動態荷載，將對應的結果稱為j尺度解。顯然，高尺度解的精度高于低尺度解。

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基于二代拉格朗日形函數的多分辨率特性和時域反卷積法，可對動態荷載進行識別，其具體步驟如下：

步驟1將動態響應在時間域離散化為局部時間單元；

步驟2采用有限元法計算小波形函數荷載對應的動力響應；

步驟3組集所有時間單元的小波形狀函數響應，形成0尺度系統荷載-響應矩陣，得到0尺度解；

步驟4提升小波尺度和增加測點響應信息，得到1尺度荷載-響應方程，并獲得相應的1尺度解，提高識別精度；

步驟5檢查收斂性，主要比較相鄰尺度解之間的差值，決定是否繼續提升求解尺度。

3 數值算例

通過懸臂梁和單層剛架算例驗證了本文提出的自適應動態荷載識別方法的可行性和有效性。數值算例采用有限元方法計算動態響應，時間步長為0.001 s。為了模擬真實的測試環境，在精確的位移響應中引入5%隨機高斯噪聲[12-13]。

圖2所示的懸臂梁長度L=16 m，彈性模量3.3×1011N/m2，密度2.5×103kg/m3，橫截面面積A=1×4 m2。表1列出了兩種工況、荷載時程、加載位置和測試位置。將整片梁等分成16個梁單元，建立有限元模型，計算動力響應。

圖2 數值懸臂梁Fig.2 The simulated cantilever beam

表1 數值算例模擬工況Tab.1 Scenarios considered in the numerical simulations

工況B1中，識別過程分為0，1，2，3四個尺度。將整個動力響應時間程等分為50個時間單元。首先采用0尺度二代拉格朗日尺度函數和時間點為t=0.2Vs(V=0,1,…，50)的動力響應構成如式(14)的0尺度荷載-響應方程(階數為51×51),進而將荷載-響應方程轉化為如式(14)的Tikhonov正則化問題，獲得0尺度解。圖3和圖4分別給出工況B1中動態荷載的識別結果和誤差。進一步將0尺度的小波函數和時間點為t=0.1+0.2Vs(V=0,1,…,49)的動力響應加入0尺度荷載-響應方程，將其提升為1尺度方程(階數為101×101)并求解，識別結果和誤差如圖3和圖4所示，識別精度得到了有效提高。與此類似，可得到2尺度荷載-響應方程(階數為201×201)和3尺度荷載-響應方程(階數為401×401)，2尺度和3尺度解，如圖3和圖4所示。隨著荷載-響應方程尺度的提升，階數和計算量逐步增大，荷載識別的精度逐步提高，0～3尺度解的最大誤差分別為0.8 N,0.2 N,0.05 N,0.01 N，相對誤差約為40%,10%,2.5% 和0.5%。

(a)0尺度和1尺度

(b)2尺度和3尺度圖3 工況B1動態荷載識別結果Fig.3 The identified dynamic force in case B1

(a)0尺度和1尺度

(b)2尺度和3尺度圖4 工況B1的識別誤差Fig.4 The identification error in case B1

鑒于4尺度解與3尺度解相比，識別精度提升有限，說明三尺度解的精度已經接近真實解，尺度不再提升，此外后續算例只采用0，1，2三個尺度解。值得注意的是，荷載-響應方程的升階過程中，只有部分行和列需要增加，這可以有效減小計算量，提高識別效率。采用同樣的過程，對工況B2進行分析，其識別結果和誤差，如圖5和圖6所示。

圖7所示的單層剛架，梁和柱的長度均為4 m，彈性模量3.3×1011N/m2，密度2.5×103kg/m3，梁和柱的截面積均為A=1×1 m2。每根梁和柱均被分為四個梁單元，建立有限元模型。表1列出了本算例中考慮的兩種工況、荷載時程、加載位置和測量位置。

圖5 工況B2動態荷載識別結果Fig.5 The identified dynamic force in case B2

圖6 工況B2的識別誤差Fig.6 The identification error in case B1

圖7 數值單層框架Fig.7 The simulated single-story frame

采用與工況B1同樣的過程，對工況F1和F2進行分析，圖8和圖9分別給出工況F1中荷載識別結果和誤差；圖10和圖11分別給出工況F2中荷載識別結果和誤差。

圖8 工況F1動態荷載識別結果Fig.8 The identified dynamic force in case F1

圖9 工況F1的識別誤差Fig.9 The identification error in case F1

圖10 工況F2動態荷載識別結果Fig.10 The identified dynamic force in case F2

圖11 工況F2識別誤差Fig.11 The identification error in case F2

數值算例結果表明，隨著荷載-響應方程尺度的提升，荷載識別的精度逐步提高，而且實施過程中，尺度可根據實際需要決定，而無需事前決定。如工況B1采用四個尺度，其它工況采用三個尺度。懸臂梁和單層框架的不同工況數值算例驗證了本文提出的基于多尺度小波形函數和時域反卷積的動態荷載識別方法的可行性。

4 結 論

基于形函數的方法具有減少未知量數量和提高識別效率的優勢，近年來在動態荷載識別領域的吸引了眾多學者的興趣。本文提出了一種基于多尺度小波形函數和時域反卷積的動態荷載識別方法，有效避免了預先確定離散時間單元的長度的難題。

基于小波形函數的動態荷載識別方法在時域內動態荷載進行離散化處理，并以小波尺度函數在時域單元內近似地逼近動態荷載，進一步組集所有時域單元的小波形函數的動力響應，建立基于小波形函數的荷載-響應矩陣，識別結構動態荷載。通過提升小波尺度來提升荷載-響應矩陣尺度，提高動態荷載識別精度。懸臂梁和單層框架數值算例驗證了該方法的可行性。后續將進一步通過實驗室試驗驗證該方法的有效性。