淘盡黃沙始見金

林發輝

[摘 要] 行程問題的基本量為路程、速度、時間，三者的關系為：路程=速度×時間（s=vt），行程問題除了路程關系，還有關于時間的描述（時間關系）和速度關系. 解復雜的應用題時，設未知數，列方程都需要根據相等關系進行.

[關鍵詞] 相遇問題；追及問題；相等關系；應用題；行程問題

內容綜述

行程問題是應用題中較重要的題型之一，也是較難的題型之一，很多學生對應用題有畏難情緒，就是從學行程問題開始的. 究其原因，第一，行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，有的涉及兩個甚至多個物體的運動. 涉及兩個物體運動的，又有“相向運動”（相遇問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種. 第二，行程問題需要學生敏銳發覺多個量之間的關系，如時間關系、速度關系、路程關系及時間、速度、路程之間的關系. 第三，行程問題需要學生熟練運用一些綜合方法解決問題，如方程思想、函數思想、不等式等. 本文主要討論行程問題之相遇問題和追及問題.

教學內容再現

例1 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48千米，兩車相向而行，幾小時后相遇？

分析 畫路程圖找路程關系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖1）.

解答 設兩車相向而行，x小時后相遇，則有72x+48x=1080，解得x=9. 所以兩車相向而行，9小時后相遇.

變式1 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48千米，兩車相向而行，若快車先開1小時，則慢車開出多少小時后與快車相遇？

分析 畫路程圖找路程關系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖2）.

解答 設慢車開出x小時后與快車相遇，則有72（x+1）+48x=1080，解得x=8.4. 所以慢車開出8.4小時后與快車相遇.

變式2 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48千米，兩車相向而行，若慢車先開2小時，則慢車開出多少小時后與快車相遇？

分析 畫路程圖找路程關系，快車的路程+慢車的路程=總路程（如圖3）.

解答 設慢車開出x小時后與快車相遇，則72（x-2）+48x=1080，解得x=10.2. 所以慢車開出10.2小時后與快車相遇.

變式3 甲、乙兩站相距1080千米，一列快車從甲站開出，每小時行駛72千米，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48千米，兩車相向而行，若兩車同時開出，則開出多少小時兩車相距120千米？

分析 （1）相遇前：畫路程圖找路程關系，快車的路程+慢車的路程+120=總路程（如圖4）.

（2）相遇后：畫路程圖找路程關系，快車的路程+慢車的路程-120=總路程（如圖5）.

解答 （1）設兩車同時開出，開出x小時后兩車還相距120千米才相遇，則有72x+48x+120=1080，解得x=8.

（2）設兩車同時開出，開出x小時后兩車背向相距120千米，則有72x+48x-120=1080，解得x=10.

綜上所述，兩車同時開出8小時或10小時，兩車相距120千米.

例2 A，B兩地相距480千米，一列慢車從A開出，每小時行駛50千米，一列快車從B開出，每小時行駛90千米.兩車同時開出，若同向而行，快車在慢車后面，幾小時后快車追上慢車？

分析 畫路程圖找路程關系：快車走的路程=慢車走的路程+480（如圖6）.

解答 設兩車同時開出，若同向而行，快車在慢車后面，x小時后快車追上慢車. 可得90x=50x+480，解得x=12. 所以兩車同時開出，若同向而行，快車在慢車后面，12小時后快車追上慢車.

一點見解

利用行程圖找路程關系，這種方法是極好的. 因為圖形直觀、形象，它體現了數形結合思想. 著名數學家華羅庚先生說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微. 數形結合百般好，隔離分家萬事休. 切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離. ” 行程問題除了路程關系，還有關于時間的描述（時間關系）和速度關系. 教者似乎覺得時間和速度關系太簡單了，因此忽略了對它們的分析. 然而，筆者認為它們一樣重要. 關于時間的描述，描述的是運動物體的時間關系，這種關系常用在設未知數上.

關于時間的描述有：同時（即兩運動物體的時間相等）、先出發（即先出發的物體時間多）、晚出發（即晚出發的物體時間少）、遲到或晚點（即遲到或晚點的物體時間多）、早到（即早到的物體時間少）、停留或耽擱（即停留或耽擱的物體時間少）等.

筆者試舉一例說明此類教法.

例3 甲、乙兩人相距40千米，甲先出發1.5小時后乙再出發，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小時8千米，乙每小時比甲少走2千米，甲出發幾小時后追上乙？

分析 畫行程圖找路程關系（如圖7）.

路程關系：由圖及題意得甲走的路程比乙走的路程多40千米，即甲的路程=乙的路程+40.

時間關系：由“甲先出發1.5小時”可知甲多用了1.5小時，即甲的時間=乙的時間+1.5.

速度關系：由“甲的速度是每小時8千米，乙每小時比甲少走2千米”得甲的速度是每小時8千米，乙的速度是每小時6千米.

由時間關系間接設未知數（當然，直接設未知數也不難，只需把時間關系稍微變形）：設乙出發x小時被追上，則甲的總時間為（x+1.5）小時. 可得8（x+1.5）=6x+40，解得x=14. 14+1.5=15.5（小時）. 所以甲出發15.5小時后追上乙.

筆者以為，解復雜的應用題時，設未知數、列方程都需要根據相等關系進行. 不能在未進行分析的情況下“問什么就設什么為未知數”，應根據實際情況決定是否要間接設未知數.