大學數學考試不及格率估計及其影響因素統計分析

黃敢基，歐詩德，李瓊

(1.廣西大學數學與信息科學學院， 廣西南寧530004；2.玉林師范學院數學與統計學院， 廣西玉林537000；3.玉林師范學院物理與電信工程學院， 廣西玉林537000)

0 引言

教育部高度重視全面提升本科人才培養質量，本科高校除了要做好一流學科建設外，還要以本科為本，建設一流本科專業。本科高校要充分認識到本科教育是建設高等教育強國的根基，要意識到“本科不牢，地動山搖”。 教師要通過課堂教學改革提升教學質量，樹立優良的教風和學風，激發學生的學習興趣和創新能力[1]。 現在許多本科高校已采取實際行動，通過教學管理和教學模式、方法、課堂、課外學習等方面的改革促進本科教育發展。學生學習成績是教學評估指標，可作為本科教學質量的代理變量，成績的提高能體現教育質量的改進[2]。為了制訂合理的管理制度，管理者需要了解學生總體對課程的學習情況和評估課程教學效果。因此對學生考試成績的研究對教學管理者和教師有積極的意義。

關于大學本科生的學習情況研究很受學者關注。例如，文獻[3]研究大學數學不及格現象及其影響因素，運用Logistic模型分析學生本科考試不及格與高考成績、性別、生源地和學生評教關系，發現高考成績對本科數學考試不及格率有一定影響，但不是影響的主要因素。此外，針對高考成績與本科考試是否有顯著關系問題，文獻[4-7]也做了研究。例如文獻[5]運用Pearson相關系數統計研究高考數學成績與大學數學專業課成績相關性，發現高考數學成績與大學專業課成績關系無顯著相關性。文獻[6]發現高考成績與大學階段學習成績相關度很低。什么因素顯著地影響學生的本科考試？如何改進教學管理和教學方式和方法，文獻[8-10]做了調查研究與分析。 例如文獻[8]對大學數學教學現狀進行了調查，發現學生學習大學數學的目的和態度不正確，學習興趣不大，認為數學對本專業學習作用不大，不需要學習過多的數學知識。

本文從某本科高校的高等數學公共課期末考試成績中抽取樣本，以班為抽樣單元抽取6個班，運用抽樣技術理論，估計該門公共課不及格率。 比較不同班級不及格率和平均分的內在差異，各班的學習成績差異，揭示教師的教學水平與學生成績的關系。此外，為了了解學生的本科期末考試成績是否顯著地受到學習基礎影響，抽取期末考試成績中等以上的學生和期末考試不及格考生樣本，建立假設檢驗，比較這些學生的高考數學成績，分析這科目高考成績差異對期末考試成績影響的顯著性，討論影響本科學習成績的主要因素。

1 研究方法

1.1 總體比例估計

總體中具有某種特征的個數占總體總數的比例估計。設總體總數為N，設示性變量為：

若抽取了容量是n的樣本，則樣本均值為：

的置信水平為1-α的置信區間是

1.2 兩總體比例差異分析

設兩總體X與Y獨立，分別從中抽取n1和n2個樣本進行觀察，發現其中各有m1和m2個具有某種特性。 這兩個總體中具有該種特性的比例分別為p1和p2，其估計為：

統計量為：

(1)

p1-p2的置信水平為1-α的置信區間為：

(2)

2 統計與討論

2.1 總體不及格率估計

為了估計某本科院校全校學生對高等數學公共課期末考試不及格率，對該門課程考試情況進行調查。該門課程共有3 162人參加期末考試，全校有25個班選修，期末考試采用同一份試卷和同一評分標準。以班為抽樣單元，做整群抽樣。隨機抽取了6個班，其統計特征見表1。

表1 考試情況Tab.1 Examination results

初級單元平均規模：

該總體不及格人數的比例為：

其估計的方差為：

所以其估計的標準差為：

由式(2)得，不及格率估計的95 %的置信區間為(0.287 307 8，0.509 084 0)。

以上數值結果表明，該門公共課期末考試不及格率估計為39.8 %，估計的標準差為0.056 6，95 %的置信區間為(0.287 307 8，0.509 084 0)。

2.2 不同班級不及格率的差異顯著性檢驗

設不同班級的學生來自不同的總體，不及格率無顯著差異。 建立假設：

H0∶p1=p2，H1∶p1≠p2。

選擇Z統計量(1)，給定顯著水平α=0.05，利用R統計軟件編制程序，得到檢驗結果如表2所示。

表2 不及格率差異Tab.2 Failure rate difference

注1：表中的數據為檢驗的p值，“*”表明在顯著水平為0.05下有顯著差異。

表2說明在顯著水平0.05下1班與2班不及格率無顯著差異，1班、2班與其他班不及格率有顯著差異。3班與4班、5班不及格率無顯著差異，與6班有顯著差異。 4班與5班不及格率無顯著差異，與6班有顯著差異。5班與6班不及格率有顯著差異。 這是不同教師授課的6個班，學生的成績在一定程度上反映了教師的教學水平。因此，從不及格率的角度看，有些教師的教學水平是有顯著差異的。

2.3 學習成績的影響因素

通過比較各班的平均分來說明教師教學水平因素是否影響學生的考試成績。有關數據及學生對老師的主觀評價見表3。

表3 平均分和教師的評價Tab.3 Average scores and teacher evaluations

建立假設：

H0∶μ1=μ2，H1∶μ1≠μ2，

選取T統計量：

分別從各總體中抽取容量是13的樣本，做均值檢驗，檢驗的p值見表4。

結果表明，在顯著水平為0.05下各班平均分無顯著差異。 因此，從平均分角度看，教師的教學水平無顯著差異。

表4 平均分差異Tab.4 Average score difference

注1：表中的數據是檢驗結果的p值。

對抽取的樣本再做方差分析，結果如表5。

表5 教學水平因素方差分析Tab.5 Variance analysis of teaching level factors

方差分析結果說明，在0.05的顯著水平下，教師的教學水平無顯著差異。

學生因素分析。 通常來說，學生之前的學習基礎對大學的學習有一定影響，這個因素是否顯著地影響了學生期末考試成績？本文分別從各班不及格的學生和成績在70分以上的學生中抽取樣本，觀察他們的期末考試成績和高考數學成績。期末考試成績中上水平的學生記為A組，期考不及格的學生記為B組，對比這些學生高考成績，假設檢驗結果見表6。

表6 A組和B組高考成績對比顯著性檢驗Tab.6 Significance test of college entrance examination achievement between A and B

檢驗結果表明，在顯著水平0.05下，期末考試在70分以上的學生，其高考數學成績與不及格學生的高考成績沒有顯著差異。 這說明高考數學成績不是影響本科期考試成績的主要原因。

實際上，個人的學習態度，學習習慣，學習興趣，學習目的等因素對學習成績影響很大。為什么一些高考成績不錯的學生到大學后沒學好？不妨看看該校學工處對學生的問卷結果(表7)。

表7 調查問卷Tab.7 Questionnaire

由上述調查結果可見很多學生進入大學后學習目的很不明確，沒有了學習目的，很難確保良好的學習態度，從而很難順利通過期末考試。

3 結論

為了解本科生數學考試情況，本文采用抽樣技術和統計推斷理論和方法對某高校高等數學公共課期末考試進行了研究，抽取了不同教師授課的6個班估計了該門公共課不及格率，并運用假設檢驗技術，比較不同班級不及格率和平均分的差異。 數值結果表明，在顯著水平為0.05下，部分班級不及格率有顯著差異，這說明教師的教學水平對不及格率有顯著影響。而對該組樣本從平均分角度進行比較檢驗，數值結果表明，教師的教學水平在0.05水平下沒有顯著差異，這可能是由于部分班級存在學生成績兩極分化嚴重的原因。 為了了解學生的高考數學成績是否顯著地影響大學數學的考試成績，從期末考試成績中等以上的學生和期末考試不及格學生抽取樣本，作假設檢驗，比較這些學生高考數學成績，分析高考數學成績對本科期末考試成績影響的顯著性。 數值結果表明，高考數學成績對本科期末考試成績沒有顯著影響。因此，學生考試不及格率不應該懷疑自己已有的基礎，也不應該過多抱怨教師的教學水平不夠好，更重要的是要明確學習目的，端正學習態度，養成良好的學習習慣。另一方面，大學數學教師需要不斷提高教學水平，不斷改進教學方式和方法，使課堂學習生動活躍有趣，培養學生的學習興趣。同時，注意了解學生思想動態，管理好學生的學習紀律，營造良好的學風，切實提高課堂教學效率。