考慮安裝面特性參數的懸臂梁固有頻率分析

向民奇，毛漢領，黃悅峰

(廣西大學機械工程學院， 廣西南寧530004)

0 引言

固有頻率是機械結構振動模態的最基本信息，基于固有頻率對懸臂梁進行相應研究相關學者已作了很多貢獻，張佳文等[1-3]對裂紋位置與裂紋深度與懸臂梁固有頻率的關系進行了計算和分析。劉天亮等[4]對懸臂梁建立了基于固有頻率的損傷定位理論基礎。崔凱等[5]分析了可以簡化為旋轉懸臂梁模型的風機葉片的葉片長度、旋轉速度及葉片截面的弦長與固有頻率的關系。

上述研究對懸臂梁的分析都是以振動特性中的固有頻率為基礎，所以固有頻率的精確估算與否對分析結果有著直接影響。而結構的振動特性與其所處的邊界約束條件密不可分，尤其對于機械結構而言，各零件間的聯接存在多種方式，造成零件間接觸面的復雜性和多樣性。對于界面間的接觸問題，張福星等[6]等利用ANSYS-workbench軟件對深溝球軸承建立了三維非線性接觸模型，對軸承間的接觸應力與變形進行了仿真計算。KUMBHAR等[7-8]利用ANSYS建立了零件裝配體的有限元模型，分析接觸面間接觸剛度、接觸變形及接觸載荷的關系。艾延廷等[9]基于有限元建模方法分析了裝配體接觸面法向接觸剛度對裝配體振動模態的影響。CHEN等[10]采用接觸單元分析了熱配合轉子對空心軸局部剛度的影響。張立軍等[11-12]研究發現制動盤的帽部螺栓孔的位侈約束對制動盤整體組合模態的影響很大，施加約束會使模態頻率增加，且發現隨著制動盤剎車時盤面接觸的位置不同將導致不穩定模態計算結果。黃梓嫄等[13]針對磁懸浮電機轉子系統模態分析誤差較大的問題，提出考慮轉子組件間的非線性接觸行為，基于罰函數方法通過修正優化接觸剛度因子實現對電機柔性轉子系統模態的精確分析。楊帥等[14]針對固定端部豎直方向為彈性約束的懸臂梁結構進行了模態分析，并通過固有頻率對端部剛度進行識別。李全通等[15]對葉片輪盤典型榫接結構的接觸剛度進行了分析，給出了葉輪間接觸剛度的計算方法，建立了葉片輪盤榫接耦合計算模型。

懸臂梁是工程應用中常見的一種梁結構，在機械、土木等領域內廣泛應用。接觸對工程結構的振動特性影響十分復雜，給結構振動分析及實際應用造成很大影響。

本文針對以上提及的問題，首先在ANSYS-workbench軟件中對懸臂梁進行模態分析，并同時利用歐拉—伯努利梁理論對懸臂梁固有頻率和模態振型進行理論求解，對比有限元分析和理論推導兩者的結果具有較好的一致性，說明在ANSYS-workbench軟件中對懸臂梁進行模態分析是可行的，并進一步分析懸臂梁安裝約束端接觸面的接觸剛度(本文中均指的是法向接觸剛度)和摩擦系數對其固有頻率的影響。

1 懸臂梁固有頻率及模態振型的理論計算

當梁的長度遠大于其截面的高度時，梁的橫向彎曲振動頻率要遠低于它縱向振動和扭轉振動的頻率，因而梁的橫向彎曲共振模態比較容易激發出來。故本文僅考慮彎曲引起的變形，不計剪切引起的變形及其轉動慣量的影響，滿足歐拉—伯努利梁分析的條件。以懸臂梁的固定端為坐標原點O，梁長的方向為x軸，梁振動方向為y軸，建立等截面懸臂梁的坐標系，如圖1所示。

(a) 彎曲時整體分析

(b) 彎曲時微元段分析

圖1 懸臂梁的橫向振動受力分析
Fig.1 Transverse vibration force analysis of cantilever beams

懸臂梁在y方向的運動方程為：

(1)

式中,ρ為梁的密度(kg/m3)；A為梁的橫截面面積(m2)；L為梁的長度(m)；I為梁的截面形心慣性矩(m4)，E為梁的彈性模量(GPa)；y(x,t)為梁的橫向位移(m)；f(x,t)為梁所受的橫向力(N)；Q(x，t)為梁所受的剪切力(N)；M(x,t)為梁所受的彎矩(N·m)。

由材料力學中彎矩與撓度及剪切力的關系，等截面勻質直梁的橫向彎曲自由振動方程為：

(2)

求解式(2)需兩個初始條件和四個邊界條件。

初始條件為：

懸臂梁的邊界條件為：

求解方程(2)可得

cosλnLcoshλnL=-1(n=1,2,3…)，

(3)

用Matlab求解式(3)超越方程得其數值解為：

λ1L≈1.875;λ2L≈4.694;λ3L≈7.855;λ4L≈10.995;λ5L≈14.237;λ6L≈17.278，

則等截面勻質直梁的前6階固有頻率可由(4)式解出

(4)

對應的振型函數為：

(5)

本文所設置的懸臂梁參數為：彈性模量E=2×1011Pa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比v=0.3，長L=0.3 m、寬B=0.06 m、厚H=0.01 m。根據式(4)可得其前6階的固有頻率如表1所示；根據式(5)的振型函數可得其前6階模態振型如圖2所示。

表1 固有頻率理論值與仿真值Tab.1 Theoretical and simulation values of the natural frequency

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖2 理論的模態振型
Fig.2 Theoretical modal shapes

2 懸臂梁固有頻率及模態振型的仿真計算

基于歐拉—伯努利梁理論計算時懸臂梁約束端是完全固定的，故在ANSYS-workbench有限元計算中設置一樣的約束條件，在SolidWorks中建立懸臂梁三維模型并存為后綴名為.x_t的格式導入到Workbench的Modal模塊中，設置模型的材料屬性，在模型的左端面添加固定約束(fixed support)，在網格劃分后進行求解，得到的前6階仿真的固有頻率見表1，對應的前6階模態振型如圖3所示。

由圖2和圖3可知理論分析和有限元仿真分析的懸臂梁模態振型一致，且由表1可知固有頻率的相對偏差很小，前6階固有頻率值最大相對偏差率只有4.15 %，說明在ANSYS-workbench軟件中對懸臂梁進行模態分析是可行的。

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖3 仿真的模態振型
Fig.3 Simulated modal shapes

3 接觸面的接觸剛度與摩擦系數對懸臂梁固有頻率的影響

接觸對結構振動特性的影響十分復雜，不僅直接影響結構的動態服役性能，而且影響結構振動信號的幅度、頻率和相位等信息。尤其是機械結構，由于機械接觸面的復雜性和多樣性，模態分析技術是了解結構振動特性的一個重要手段。本節從接觸面的接觸剛度和摩擦系數兩個因素對有安裝接觸面的懸臂梁進行模態分析，研究接觸面的接觸剛度和摩擦系數對其固有頻率的影響。建立如圖4所示的有接觸面的懸臂梁模型，懸臂梁本體呈階梯型，懸臂梁外伸部分的各參數與上述理論和仿真分析一致，左端固定塊的材料屬性和懸臂梁本體部分一樣，懸臂梁左端階梯部分內嵌于固定塊。

(a) 裝配模型

(b) 網格模型

圖4 有安裝接觸面的懸臂梁模型
Fig.4 Cantilever beam model with installation contact surfaces

在ANSYS-workbench中對固定塊所有的豎直面添加固定約束(fixed support)，由于本文主要考慮平面內的彎曲振動，故只在接觸區域的上下兩表面建立考慮摩擦因素(frictional)的接觸對，豎直方向上不建立接觸對。設置好材料屬性及約束關系后進行網格劃分(此處固定塊和懸臂梁本體的網格大小相等)，求解時采用罰函數法(pure penalty)進行求解，所謂罰函數法是用一個理想存在的接觸“彈簧”，在兩個面間建立接觸關系，彈簧剛度稱為懲罰參數或接觸剛度。當面分開時，即接觸面的上下層接觸單元處于分離狀態，彈簧不起作用；當面開始閉合時，即接觸面的上下層接觸單元處于穿透狀態，彈簧起作用，整個過程如圖5所示。彈簧偏移量△滿足平衡方程：

F=kΔ,

(6)

式中,k是接觸剛度，在軟件程序中接觸剛度通過法向接觸剛度系數FKN與下層單元的剛度獲得，見式(7)：

k=FKN·k下層。

(7)

故在分析時通過改變接觸面的法向接觸剛度因子FKN來調整接觸面的接觸剛度k。

(a) 接觸面分離

(b) 接觸面穿透

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖6 有安裝接觸面的懸臂梁模態振型
Fig.6 Modal shapes of cantilever beams with installation contact surfaces

3.1 接觸剛度對固有頻率的影響

設置懸臂梁約束端兩接觸面的摩擦系數f=0.1保持不變，改變接觸區域上下兩接觸面的法向接觸剛度因子FKN，保證每次分析時網格劃分的數量一致，避免因網格數量不一致而對分析結果造成影響。由表2可知有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率隨著接觸面法向接觸剛度因子FKN的增大而增大，由式(7)可知，即各階固有頻率隨著接觸面接觸剛度的增大而增大。

表2 f=0.1時各法向接觸剛度因子對應的各階固有頻率Tab.2 Natural frequencies corresponding to the normal contact stiffness factors at f=0.1 Hz

3.2 摩擦系數對固有頻率的影響

設置懸臂梁約束端兩接觸面的法向接觸剛度因子FKN=1保持不變，改變接觸區域上下兩接觸面的摩擦系數f，保證每次分析時網格劃分的數量一致，避免因網格數量不一致而對分析結果造成影響。各摩擦系數對應的各階固有頻率如表3所示。由表3可知有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率隨著接觸面摩擦系數f的增大而增大。

由圖6可知有安裝接觸面的懸臂梁模態振型并不會發生變化，與圖2、圖3中懸臂梁約束端完全固定時理論和仿真分析的模態振型保持一致。對比表1與表2、表1與表3可知，懸臂梁約束端完全固定時的各階固有頻率比設置有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率比高。這是因為對于圖4所示模型的懸臂梁本體只有兩個在接觸區域上下兩表面所建立的考慮摩擦因素接觸對的約束，而在第1、2節中理論和仿真分析時建立的約束端是完全固定的約束，當接觸剛度或者摩擦系數變大時，懸臂梁約束端受到的約束力越大。造成的約束條件強度提高從而引起等效剛度增大的效應，故其各階固有頻率相應地變大。由上述分析可知，本文對有安裝接觸面的懸臂梁在ANSYS-workbench中的模態仿真分析結果是符合實際工程情況的，對工程應用中懸臂梁結構的設計與優化有一定的指導作用。

表3 FKN=1時各摩擦系數對應的各階固有頻率Tab.3 Natural frequencies corresponding to the normal contact stiffness factors at FKN=1 Hz

4 接觸剛度對固有頻率影響的實驗研究

實驗中主要研究接觸剛度對有安裝接觸面懸臂梁固有頻率的影響，實驗與仿真中進行一樣的變量控制，即在兩個面間添加接觸彈簧，通過改變彈簧的勁度系數來模擬接觸剛度的改變，實驗中選用5種不同勁度系數的扁彈簧來模擬兩個面間的接觸剛度見圖7。實驗模型如圖8所示，把梁的一端放入兩塊夾具之間，從螺紋孔處放入彈簧，用螺栓擰緊從而使懸臂梁緊固，并保證每次擰緊的力大小相等。

圖7 扁彈簧
Fig.7 Flat spring

圖8 實驗模型
Fig.8 Experimental model

為了快速地進行懸臂梁固有頻率的測試，采用錘擊激勵的方式對懸臂梁進行激勵，由于錘擊激勵是一種寬頻激勵，在低頻帶內用該方法可以一次性激勵起系統的多階模態。實驗中將懸臂梁自由端的中點作為錘擊點，懸臂梁根部的中點作為數據采集點，實驗所用設備如表4所示。

表4 實驗設備Tab.4 Experimental equipment

對其采集的時域信號進行FFT變換得其振動響應的頻域信號，找出頻域上各峰值對應的頻率即懸臂梁的固有頻率。圖9為彈簧勁度系數K=12.75 kN/m時所采集的信號分析圖，由圖9可知該實驗所用的沖擊錘只能較明顯地激起懸臂梁的前3階模態。通過更換不同勁度系數的彈簧進行實驗測試，結果如表5所示，由表5可知，有安裝接觸面懸臂梁的前3階固有頻率隨著接觸彈簧勁度系數的增大而增大。

(a) 時域信號

(b) 頻域信號

表5 不同勁度系數對應的固有頻率Tab.5 Natural frequencies corresponding to different stiffness coefficients Hz

5 結論

利用歐拉—伯努利梁理論和ANSYS-workbench有限元軟件仿真計算懸臂梁前6階的固有頻率和模態振型，對比兩者的結果可知，仿真值和理論值相對誤差較小，說明在Workbench中對懸臂梁進行模態分析是可行的。在ANSYS-workbench中討論有安裝接觸面的懸臂梁其接觸面的接觸剛度和摩擦系數對其固有頻率的影響，發現有安裝接觸面的懸臂梁的固有頻率隨著接觸面接觸剛度和摩擦系數的增大而增大，而且還發現懸臂梁約束端完全固定時的各階固有頻率比設置有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率高。最后建立實驗模型研究固有頻率隨接觸剛度的變化關系，其實驗結果與仿真結果固有頻率的變化趨勢具有一致性。