研磨一元一次函數，鋪設方程之路

江蘇省射陽縣實驗初級中學 崔立永

教材的編寫是充分考慮學生身心發展的規律和需要。正比例函數是一元一次函數的特殊形式，因此在小學生對正比例函數有了初步認識之后，初中，他們便開始詳細學習一元一次函數。通過分析實際問題中蘊含的數量關系，領悟一元一次方程與一次函數之間的關系。

一、研磨一次函數

1．剖析概念

在某一個變化過程中，兩個變量x、y，如果滿足y=kx+b(k ≠0，b 為任意常數)，則y 是x 的一次函數，x 是自變量，y 是因變量 (又稱函數）。當b=0 時，y=kx（k ≠0），是x 的正比例函數。對于一次函數需留意的是，未知數x 的次數是一次且系數不為0；因變量的次數是一次。

2．作圖

在學習正比例函數之后，學生已經知道作圖三部曲：列表、描點、連線。這三部曲也是作其他函數圖像最基本的方法。一次函數y=kx+b 的圖像是一條直線，由于兩點確定一條直線，這里有兩個特殊點需要留意，即與x、y 軸的交點，其坐標分別為，(0,b)。故知道兩個特殊點作出的圖像即是函數y=kx+b 的圖像。像這種關注特殊值思想，或取特殊值的方法，對今后的學習有促進作用。

二、典型例題

對于一次函數常考題型，主要是依據定義進行考查。只需抓住定義中的關鍵詞或注意事項，許多題目便猶如順水推舟般迎刃而解。下面從常見考查角度進行舉例說明：

分析：此題仍然是根據定義解題。（1）要求是一次函數，則m-5≠0且m2-24=1；（2）要求是正比例函數，則除了滿足（1）的條件以外，還需要m+1=0。

所以m=-5。因此，當m=-5 時，函數是一次函數。

所以函數不可能為正比例函數。

例2 已知一次函數y=(6+3m)x+(n-4)。求：（1）m,n 分別為何值時，y 隨x 的增大而減小；（2）m,n 分別為何值時，圖像與y 軸的交點在x 軸下方；（3）m=1，n=-3 時，求一次函數與兩坐標軸交點。

分析：此題考查一次函數的性質。（1）k ＜0 時，y 隨x 的變大而減小。（2）圖像與y 軸的交點坐標是(0,b)，滿足b ＜0 即在x 軸下方。（3）將m=1，n=-3 代入函數求得一次函數解析式，然后根據與兩軸交點公式求解。

解：（1）因為y 隨x 的增大而減小，所以6+3m ＜0，即m ＜-2，故當m ＜-2，n 為全體實數時，y 隨x 的增大而減小。（2）由題意得解得，所以當m ≠2 且n ＜4 時，函數圖像與y軸的交點在x 軸下方。（3）將m=1，n=-3 代入函數求得y=9x-7，它與x 軸的交點為(，0)，與y 軸交點為(0,-7)。

三、一次函數與方程的關系

一次函數與一元一次方程相互聯系，彼此滲透，相互交融。簡單來說，就是令一次函數y=kx+b（k ≠0）中的y=0，求解自變量x 的值，即x=-?。一次函數與x 軸的交點坐標是聯系一次函數與一元一次方程的紐帶，實現兩者的有機轉化。此外，可利用圖像的方法將方程結果在數軸上表示出來，幫助學生理解題意。一次函數除了直接應用到一次方程中，其與二元一次方程（組）也有著密不可分的關系。二元一次方程（組）的結果也可以利用函數圖像在數軸上進行表示。任意二元一次方程都有與之相對應的一次函數，即會有一條直線與之對應，求二元一次方程的解相當于求一次函數圖像上的點坐標。二元一次方程組，則是兩個一次函數圖像的交點坐標。

對于一次函數涵蓋的知識點，學生不僅要掌握知識，更要留意其所蘊含的思想方法。抓住函數定義中的關鍵部分，能很好地解決有關定義的相關習題。這種抓關鍵詞的思想對今后學習其他函數定義問題均有促進作用，例如用定義判斷哪些是一元二次函數。此外，取特殊值的方法是將問題轉化為特殊情況進行考慮，把難以解決的問題化歸為易解決的問題，這種方法在今后理科知識的學習中扮演著重要角色。初中在學生生涯中承上啟下，溝通小學和高中，是奠基石，作為過渡階段的初中數學知識更是尤其重要。教師要合理規劃相關知識的教學，學生也要有目標地汲取知識。師生共同實現初中數學知識水平的提高，提高靈活運用數學知識與日常生活的能力，發揮相關內容對思維的啟發和誘導，實現學生的全面發展。