租船問題研究

廣東省廣州市天府路小學 陳欣言

在義務教育教科書數學四年級下冊第一單元《四則運算》的例5（課本第10 頁），主題是租船問題：游客有32 人，大船30 元每艘，可載6 人，小船24 元每艘，可載4 人，問怎么租船租金最少？課本上的策略是通過計算和比較得出結論：先盡量租人均價格便宜的船，再考慮不留空位，就會最省錢，這樣得到的方案是大船4 艘，小船2 艘。

經過思考，我想到不通過計算，畫圖也可以得出最便宜的方案。○表示一艘大船的價格，△表示一艘小船的價格，顯然有：○＞△。全部租大船：32÷6=5（艘）……2（人），至多需要大船5+1=6（艘），用6 個○表示；5 艘大船和1 艘小船用5 個○、1 △個表示，下面類同，所有的方案表示如圖1：

圖1

怎么比較它們的成本呢？我采用分組比較的方法，如圖2：

圖2

在每組中扣除相同的部分，又已知小船便宜，顯然，第一組中3便宜；第二組中5 便宜；第三組中7 便宜。因此只要比較3、5、7。

先比較5 和7：

我再想了一下，如果把題目的條件改一下變成“游客有33 人”會怎樣呢？顯然不可能沒有空位，因為游客是奇數，大小船載客都是偶數，那應該怎么辦呢？這樣一來，最省錢的方案應該是5 艘大船和1 艘小船（比4 艘大船和3 艘小船便宜）。為了研究一下這個結論是否正確，我繼續使用畫圖列表法，把所有可行方案都列出來，如圖3：

圖3

同樣進行分組比較（如圖4 所示）：第一組中2 便宜；第二組中4 便宜；第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7，顯然2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

圖4

每一組去掉相同部分，可知第一組中2 便宜；第二組中4 便宜；第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7，也可以得知：2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

接著，我又把課本題目的條件改了一下，游客還是32 人，但是小船的價格改為48 元，大船不變，這樣的話全部租大船反而是最便宜的了（雖然大船上留有空位），原來沒有空位的4 條大船和2 條小船反而不是最便宜的了。

看來，這種題目還是需要畫圖列表法才能篩選出最省錢的方案！但畫圖列表法本質上是窮舉，如果題目的數字很大就要花很多時間了。我研究了幾天，找到了一種改進的方法，我把它叫作“湊整替換法”。如課本上的題目條件不變，先考慮全部使用貴的小船，此時需要8 艘，然后把小船分組拼團，一組內小船的數量需要滿足能完整（不留空位）的用大船替換的條件（本質上是求大船載客數和小船載客數的最小公倍數），如題大船載客6 人，小船載客4 人，一個分組內的載客數就是12 人，此時需小船3 艘，能被2 艘大船完整替換。替換之后每組的成本肯定是降到最低的，只需要對最后余下來的人數進行列表法窮舉就行了，如圖5 所示：

圖5

對余下的2 艘小船（8 人）進行畫圖列表法窮舉，如圖6：

圖6

顯然，1是最便宜的方案。如果小船價格改為48元，就是3最便宜。如果人數改為33 人，價格不變，余下就是3 艘小船共9 人，這時2最省錢，也就是圖3 條件下得到5 艘大船和1 艘小船的方案。

一道簡單的數學課本題目，改動一個數據，參考量影響因子也會變化，所以對方法要理解到位，不能生搬硬套方法和結論。另外，一種分析策略也可以通過不斷優化，實現更簡潔的解題方法和思考過程。