高靜低動隔振系統的雙時延反饋混沌化

柴 凱，樓京俊，楊慶超，俞 翔

（海軍工程大學a.艦船與海洋學院；b.科研學術處，武漢430033）

0 引言

艦船動力機械周期性運轉產生的水下輻射噪聲主要有兩個危害，其一是線譜特征，其二是線譜強度，利用非線性隔振系統處于混沌狀態時其響應功率譜呈連續譜的特點，可以改變和重構動力機械振動傳遞到艇體基座的線譜特征，提高艦船的聲隱身性能。朱石堅等[1]系統地提出了線譜混沌化控制方法；樓京俊等[2]深入研究線譜混沌化的基本原理，提出了Duffing 隔振系統的性能評估指標，通過實驗證明了混沌隔振原理的有效性；俞翔等[3]采用數值仿真和實驗方法研究了非線性隔振系統在混沌狀態的隔振性能；劉樹勇等[4]對準周期激勵非線性隔振系統的混沌進行了研究。基于混沌的隔振系統研究重點和難點在于如何實現小振幅、寬頻域和持續的混沌，很多學者開展了非線性系統的混沌化技術研究。張振海等[5]利用Lyapunov 指數配置，提出了離散脈沖混沌化方法；曾強洪等[6]對投影混沌同步在隔振系統中的應用進行了深入研究；張敬等[7]提出了非線性時延反饋控制的混沌化方法；李盈利等[8]利用時延反饋實現了雙層非線性隔振系統的持續小振幅混沌化。混沌化方法雖然能有效改變線譜特征，但在削弱其線譜強度上作用不大，降低動力機械振動向船體傳遞最有效的方法是提高隔振系統的隔振性能。高靜低動隔振系統是一種將正負剛度彈性元器件并聯在靜平衡位置獲得低剛度的組合隔振系統，能有效解決大承載力和超低頻隔振、超低剛度和位置穩定性、低頻振動傳遞率和高頻振動衰減率不可兼顧的矛盾，具有高的靜載支撐能力和低頻隔振性能，且有利于實現小能量混沌化控制，引起了諸多學者極大的關注。鄭宜生等[9]對基于永磁鐵和電磁鐵的高靜低動隔振器進行了深入研究；Zhou 等[10]通過電磁鐵、永磁體和屈曲梁得到了半主動的高靜低動隔振系統；孟令帥等[11]研究了等厚和變厚蝶形彈簧提供負剛度的高靜低動隔振系統。高靜低動隔振器負剛度實現機制主要有以下三種形式：（1）儲備了一定能量或發生了一定形變的機構；（2）幾何非線性機構；（3）微小擾動后能減小回復力的機構。本文通過雙時延反饋控制實現高靜低動隔振系統的混沌化，實現線譜混沌化控制技術與艦船動力裝置隔振的有機結合，達到了降低線譜強度和隱匿線譜信息的雙重目的。

1 系統建模和問題描述

1.1 高靜低動隔振系統動力學建模

典型三彈簧高靜低動系統的原理如圖1所示。主要由一根正剛度豎直彈簧和兩根完全相同的負剛度斜彈簧組成，其中豎直彈簧剛度為k2，斜彈簧剛度為k1，三根彈簧的一端在C 點連接，另一端分別鉸接在A、B 和O 點；斜彈簧水平時的長度a，此時豎直彈簧處于靜平衡位置，相應壓縮量為h，x 表示系統在外力f 作用下產生的位移。

在外力f 作用下，高靜低動系統在豎直方向上的力：

設y=x-h，并將（1）式無量綱化可得

圖1 高靜低動隔振系統的結構示意圖Fig.1 Schematic representation of an isolator based on HSLDS

（2）式依據三階Maclaurin 公式展開，可得

因此，水平彈簧不僅能夠降低系統的正剛度，從而減小系統的固有頻率，擴大隔振頻帶的寬度；而且能夠產生非線性立方剛度，具有硬彈簧的特性，從而使系統的共振曲線骨架向高頻彎曲，發生共振頻率轉移現象。

1.2 雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統動力學建模

考慮的高靜低動隔振系統，控制器設計為含有位移和速度的雙時延反饋控制器，具體如圖2所示。被隔振物體質量為M，它由一個含一次剛度系數k1和三次剛度系數k3的彈簧和一個線性阻尼組成的隔振器支撐，在被隔振物體和基座之間有兩個作動器，用來施加雙時延反饋控制，Kt1和Kt2分別為位移和速度反饋的控制增益，τ1和τ2分別為位移和速度反饋的延遲時間，且τ1=τ2。

M 處于靜平衡位置時彈簧壓縮量為h，令X=Z-h，在簡諧力Fcos（ωnt）激勵下，系統動力學方程為：

圖2 雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統模型Fig.2 Vibration isolation system based on HSLDS with dual time-delay feedback control

其中：Mg=k3h3-k1h，則（5）式可進一步改寫為

在kti=0（i= 1，2）時，求得（7）式的平衡點A（0，0）。為了分析（7）式在平衡點附近的穩定性，在A 點處施加一個無限小的擾動（Δx1，Δy1），則其滿足如下線性化方程：

2 穩定性分析

系統穩定性分析主要分為全時延穩定性和穩定性切換。系統全時延穩定是指對于任意給定的時延τ 系統均穩定[12]；而在實際系統中，系統全時延穩定的控制增益區間較小，實際控制增益常位于全時延穩定區域之外。穩定性切換是指當控制增益位于全時延穩定區域之外時，隨著參數的變化，系統穩定性會有由不穩定變為穩定，或者由穩定變為不穩定的現象[13]。

線性時延系統（8）的特征方程為：

定理1：方程（8）零解全時延穩定當且僅當它滿足以下兩個條件：

（1）當τ=0 時，P（λ）+Q（λ）是Hurwitz 穩定的；

（2）對于所有的τ≥0，D（iω ，τ）=0 無非零實數根ω。

當τ=0 時，由Routh-Hurwitz 穩定性判據可知系統零解全時延穩定應滿足kt1＜1，kt2＜2ξ。在上述前提下，假設式具有純虛根λ=iω（ω≥0），則有

分離（10）式的實部和虛部，可得關于諧波函數的方程組：

由此得到：

消去方程（12）中的諧波項，可得一個關于ω 的四次代數方程如下：

根據不同的參數組合形式，可以得到D（iω ，τ）=0 無正實根的條件為：p≥0，q≥0 或p＜0，p2-4q＜0，即：

由（14）式可知方程（10）最多有兩個正實根ω1和ω2，將其代入（12）式可求出兩組臨界時延：

其中：c=1，2，k=0，1，2，L，arccos（·）是反余弦函數。

特征根λ 是時延τ 的函數，求出一對純虛根±iωc和相應臨界時延τk后，純虛根的變化趨勢就可由確定，其中sgn 為符號函數。在ω1和ω2處，有

采用如下定理[15]分析系統的穩定性切換：

定理2：假設P（iω）和Q（iω）無公共實根，且P（0）+Q（0）≠0，且F（ω）=0 無非零重根，則有：

（1）若F（ω）=0 無實根或僅有零根，則系統穩定性與無時延時的穩定性一致；

（2）若F（ω）=0 僅有1 個正單根，且τ=0 時穩定，存在臨界時延τ0，使得系統在τ∈[0，τ0）內穩定，而τ≥τ0時不穩定，發生一次穩定性切換；而τ=0 時不穩定，則系統全時延不穩定；

（3）若F（ω）=0 有兩個或兩個以上的正實根，隨著τ 的增大，發生有限次數的穩定性切換，最終系統不穩定。

表1 不同參數組合下臨界時延的計算公式Tab.1 Computational formula of critical time delays with different parameter combinations

3 數值仿真與分析

將無量綱控制增益kt1、kt2和τ 作為控制參數，若無特殊說明，設定系統的參數為：ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，初始條件為（0.001，0）。為驗證穩定性分析結論的準確性，進行下列算例仿真。

算例①：kt1=-1.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有一個實根ω2=1.541 5＞ω0，且滿足F′（ω2）=8.947 1＞0，相應臨界時延為：

算例②：kt1=-0.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有兩個不同實根ω1=0.776 4＜ω0＜ω2=1.118 0，且F′（ω1）=-1.007 0＜0，F′（ω2）=1.435 4＞0，相應臨界時延和為：

圖3 隔振設備的響應（kt1=-1.5，kt2=0.1）Fig.3 Response of the isolated equipment when kt1=-1.5 and kt2=0.1

圖4 隔振設備的響應（kt1=-0.5，kt2=0.1）Fig.4 Response of the isolated equipment when kt1=-0.5 and kt2=0.1

算例③：kt1=0.1，kt2=0.1

易知kt1=0.1 和kt2=0.1 滿足全時延穩定性條件：，因此系統對任何時延均穩定。高靜低動隔振系統的響應如圖5所示，由圖可知，系統在τ=4.5、τ=7.5 和τ=12.5 時均穩定。

圖5 隔振設備的響應（kt1=0.1，kt2=0.1）Fig.5 Response of the isolated equipment when kt1=0.1 and kt2=0.1

4 雙時延反饋混沌化

穩定性分析表明，通過調整控制增益和時延，可以使高靜低動隔振系統穩定或者失穩。設諧波力激勵的幅值f =0.5，ωn=3，隔振系統的參數為ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，下面分析時延τ、位移控制增益kt1和速度控制增益kt2對系統混沌化控制的影響，對系統混沌化過程中控制參數進行優化。圖6（a）是kt1=-1.5，kt2=0.1 時系統響應隨時延變化的分岔圖，無特殊說明，云點代表混沌運動或準周期運動，單線點或多線點代表周期運動。由圖可知，系統在τ=0.2 時第一次發生Hopf 分岔，這與算例①的臨界時延吻合，當時，系統作持續的混沌運動；圖6（b）是kt1=-0.5，kt2=0.1 時系統響應隨時延變化的分岔圖，由圖可知系統周期與混沌運動交替出現，出現陣發性混沌，這與算例②的穩定性切換結論一致；圖6 表明：不穩定區域相比穩定區域，更容易實現時延混沌化；較大的時延可以降低混沌響應峰值。

圖6 關于時延τ 的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with the time delay τ

圖7 是時延取τ=50 時系統隨控制增益的分岔圖，由圖可知：正反饋（kt1＞0）可以降低系統響應幅值。圖7（a）中kt2=0.1，kt1∈[-2，2]，由圖可知：當控制增益位于全時延穩定區域時，即使時延取較大值，系統也未出現混沌；圖7（b）中kt1=kt2=k，kt∈[-2，2]，由圖可知：含時延位移和時延速度的雙時延反饋高靜低動隔振系統相比僅含時延位移反饋的高靜低動隔振臨界控制增益更小，混沌云點更稠密，表明雙時延反饋控制器更容易實現系統混沌化，且混沌化品質更高。

圖7 關于控制增益kt 的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with control gain kt

圖8 是不同時延和不同控制增益隔振設備的相圖，當時延控制參數在全時延穩定區域時，系統對應周期運動圖8（a）或準周期運動圖8（c），當時延控制參數在不穩定區域時，系統對應混沌運動圖8（b）和圖8（d）。

圖8 隔振設備的相圖Fig.8 Phase diagrams of the isolated equipment

圖9 不同系統的功率譜對比Fig.9 Comparison of the power spectra with the different systems

圖9 是不同系統雙時延反饋控制時的功率譜對比，由圖9（a）可知，未受控系統作周期運動，最高線譜位于2.997 Hz 處，幅值為1.596 dB；施加控制后的一般非線性系統和高靜低動系統，特征線譜變為連續的響應功率譜，說明施加雙時延反饋進行線譜混沌化是有效的；圖9（b）和（c）對比可知，一般非線性系統功率譜峰值為8.31 dB，而高靜低動隔振系統的功率譜峰值為-3.75 dB。因此，相比一般非線性隔振系統，高靜低動隔振系統混沌化所需控制增益小，低頻隔振性能更優越，使得雙時延反饋控制的高靜低動隔振系統不僅能改變線譜特征，而且可以降低線譜強度，具有更好的混沌化效果。

5 結論

本文針對有位移和速度反饋控制的高靜低動隔振系統，研究了雙時延反饋控制系統的穩定性，分析了時延控制參數對系統混沌化的影響，對實際工程應用有一定的指導意義。

通過數值計算和分析比較可得出以下結論：

（1）利用Routh-Hurwitz 穩定判據分析系統平衡解在原點處Jacobian 行列式的特征方程得到了系統全時延穩定和穩定性切換的臨界增益和臨界時延，并通過數值算例驗證了其準確性。

（2）利用雙時延反饋控制實現了高靜低動隔振系統的混沌化，當控制參數位于不穩定區域時，系統更容易被混沌化。

（3）相比單時延反饋控制和一般非線性系統，雙時延反饋的高靜低動隔振系統化所需的臨界控制增益和線譜抑制方面有獨特優勢，可實現隔振和線譜重構的雙重功能。