基于裂紋尖端應力比值的FGM板應力強度因子簡便預測方法

李 戎，楊 萌，梁 斌

（河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽471023）

0 引言

功能梯度材料（FGM）作為一種可設計性非均勻復合材料已經被廣泛應用于船舶與海洋工程領域[1]。由于FGM 結構工作環境常為液體環境、大溫度梯度等特殊極限環境，在服役期間經常受到沖擊、腐蝕、突變載荷等作用而出現裂紋損傷。裂紋損傷不僅會影響結構性能，還有可能導致整個船舶與海洋工程結構失效[2-3]。而FGM 性質的連續性變化導致FGM 結構表現出與均勻材料結構不同的特性[4-11]，在殼體幾何參數、載荷工況以及邊界條件等相同的情況下，FGM 結構的力學行為分析要比相應均勻材料結構更為復雜。因此，需要針對含裂紋FGM 結構的非均勻性進行相應的力學行為分析。

近年來，雖然已經有研究論文涉及含裂紋FGM 結構這一領域[4-16]，但是由于FGM 的特殊性，這些研究所采用的計算方法往往復雜繁瑣[4-8，14-16]，對使用者的推理能力以及計算能力要求較高，計算時間長，出錯概率較高，難以滿足實際工程應用需求。雖然已經有學者嘗試改進計算方法，比如，選擇節點布置更為自由的無單元法[7]，嘗試降低裂紋尖端網格細分要求[12-13]。但是，現有研究仍然難以擺脫復雜的矩陣以及積分運算。課題組前期研究發現，不論是均勻材料還是異種接合材料，裂紋尖端應力強度因子均可以通過使用其與參考模型界面端應力的比值來進行求解[17-19]，而含裂紋均勻材料結構應力強度因子可由經驗公式得到[7]。因此，如果能夠找到均勻材料板和FGM 板之間裂紋尖端應力的穩定關系并加以利用，便可以在滿足精度需求的基礎上進行FGM 板應力強度因子簡便預測。

為此，本文基于FGM 板與均勻材料板裂紋尖端應力之間的比例關系，提出了一種適用于FGM 板的應力強度因子簡便預測方法。預測時，僅需使用由二維有限元模型得到的均勻材料板和FGM 板裂紋尖端應力值以及均勻材料板應力強度因子經驗公式，便可在保證精確度的基礎上進行預測。本文以含邊緣裂紋有限寬FGM 板為例，給出了任意材料組分以及裂紋長度FGM 板的應力強度因子預測值，將本文預測結果與參考文獻中的計算結果進行對比分析，驗證了本方法的可行性和準確性。

1 力學模型

采用有限元軟件MSC.Marc 建立如圖1所示有限寬FGM 板二維模型，裂紋長度為a，板寬為W，材料沿x 方向連續性變化，板兩端施加拉力，x 和y 分別為直角坐標系（x，y）的橫向坐標和縱向坐標。

圖1 FGM 板結構示意圖Fig.1 Dimension for FGM plate

2 理論推導

根據線彈性斷裂力學，當裂紋沿x 軸方向時（如圖2所示），Ⅰ型裂紋尖端附近應力場可表示為[20]：

圖2 裂紋尖端幾何模型Fig.2 Schematic of edge crack in plate

式中：r 和θ 為裂紋尖端極坐標，a 為裂紋長度，KⅠ為Ⅰ型應力強度因子。

雖然FGM 和均勻材料裂紋尖端附近應力奇異性相同[21]，但是由于應力強度因子會受到材料梯度的影響[22]，公式（1）并不適用于FGM。因此，Erdogan[23]基于FGM 的材料特性，推導出了適用于FGM 的裂紋尖端附近應力場表達式：

式中：β 為與結構兩側材料彈性模量比值有關的參數。假設泊松比為一定值，E（）

x 為FGM 彈性模量，E（0）=E1，E（W）=E2，則β 和E（x）表達式為：

盡管FGM 和均勻材料裂紋尖端應力強度因子數值不同，但是兩者應力奇異性相同，且應力奇異性不會受到材料梯度性影響[24]。當均勻材料板（*）與FGM 板的板寬、受力情況以及裂紋尖端附近網格劃分完全相同時，這兩者裂紋尖端附近應力比值與相應應力強度因子比值之間存在如下關系：

無量綱應力強度因子FⅠ和應力強度因子KⅠ滿足關系式

取r=r*，當含邊緣裂紋有限寬均勻材料板的已知，便可由公式（10）得到FGM 板的FⅠ預測值。

當r 足夠小時，eβr（）*/eβr≈1。此時，裂紋尖端附近應力比值等于其應力強度因子比值，則公式（10）可簡化為公式（12）。當E2/E1=1 時，FGM 板退化為均勻材料板。

3 算例與討論

由于裂紋尖端應力奇異性的存在，使用有限元軟件得到的應力數值σy會隨裂紋尖端附近網格尺寸以及r 的改變而發生變化，不能直接使用σy來計算應力強度因子。但是，當兩個模型寬度、受力、裂紋尖端附近網格劃分完全相同，并且裂紋尖端附近最小網格尺寸emin足夠小時，兩個模型裂紋尖端應力比值穩定不變，應力奇異性可通過比值形式消除[17-19]，可由公式（12）進行FⅠ預測。

表1給出了不同emin時裂紋尖端應力分布情況以及相關預測數據。采用有限元軟件MSC.Marc 建立如圖3所示的二維有限元模型，板寬W=1 m，兩端施加拉力，使用平面應變四節點四邊形單元，裂紋尖端附近網格加密，emin=1/39m 時單元總數為29 911，其中裂紋尖端附近單元數約為20 000。當E2/E1=1 時，FGM 板退化為均勻材料板。

圖3 模型網格劃分示意圖Fig.3 Mesh pattern for model

表1 不同網格尺寸時裂紋尖端應力分布及無量綱應力強度因子FI 預測Tab.1 Stress distributions and predicted values of dimensionless stress intensity factor FI for crack tip obtained by different mesh sizes

圖4給出了分別采用公式（10）以及公式（12）得到的預測值之間的誤差（%），r=0，emin=1/39m。從中可以看出，當emin足夠小時，預測結果穩定，預測結果基本不受裂紋尺寸以及材料組分影響，誤差可控制在0.2%以內。此時，eβr的影響可以忽略不計，使用公式（12）即可滿足預測需求。

表2 中給出了采用本文方法得到的任意FGM板FI預測結果以及文獻[6]的計算結果。結果表明，預測結果與文獻計算結果非常接近，預測精度良好。預測結果中，近80%預測誤差可控制在0.5%以內，最小預測誤差僅為0.006%。當a /W＞0.6，E2/E1＜2 時，預測誤差有增大趨勢，結果中共有2 組數據誤差超過5%，但預測誤差仍控制在12%以內。誤差產生原因可能與本文預測方法是基于裂紋尖端應力比值、而文獻采用圍線積分法有關。

圖4 預測誤差對比分析Fig.4 Comparison of predictive errors

表2 無量綱應力強度因子FI 預測值Tab.2 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI

圖5給出了本文預測方法與其他傳統計算方法的結果對比圖。可以看出，本文預測結果與現有計算方法的計算結果[5]幾乎完全一致；當a /W＞0.4 本文預測結果優于采用Node release technique (G)[5]得到的計算結果，完全滿足精度要求。與參考文獻[5-6]中使用的計算方法相比，本文方法預測時所用可任意選取，且預測過程免去了復雜的矩陣以及積分運算，預測精度高，計算量小，適合工程應用。

圖5 預測方法對比分析Fig.5 Comparison of prediction methods

表3 無量綱應力強度因子FI 預測值(：FGM 板）Tab.3 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI（：FGM plate)

表3 無量綱應力強度因子FI 預測值(：FGM 板）Tab.3 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI（：FGM plate)

a /W E2/E1 0.1 0.2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2 3 4 5 10 0.1 Erdogan[6]本文0.863 0.863 0.5 Erdogan[6]本文0.813 0.808 1.055 1.050 1.190 1.186 1.197 1.194 1.198 1.196 1.197 1.195 1.194 1.192 1.219 1.128 1.074 1.078 1.029 1.028 0.991 0.991 2.176 2.169 0.8 Erdogan[6]本文3.570 3.495 3.327 3.292 3.033 3.022 2.977 2.969 2.931 2.924 2.891 2.885 2.856 2.851 2.623 2.620 2.508 2.504 2.428 2.424 2.366 2.361---13.59 13.07 12.41 12.49 12.29 12.31 12.18 12.16 12.09 12.06 12.00 11.43 11.47 11.17 11.20 11.00 11.02 10.88 10.88 10.50 10.45

本文預測方法是基于裂紋尖端應力比值，預測精度高、方法簡便實用，但是對裂紋尖端附近網格細化程度有一定要求。因此，在使用本文方法進行應力強度因子預測時，需盡量選擇裂紋尖端附近應力比值穩定不變時所對應的網格尺寸emin。本文預測方法不僅適用于FGM 板，還可用于其他FGM 結構的應力強度因子預測，但是現有預測研究結果還很有限，本項目后續工作將進行深入研究。

4 結論

本文基于FGM 板與均勻材料板裂紋尖端附近應力之間的比例關系，提出了一種適用于FGM 板的應力強度因子簡便預測方法。該方法僅通過使用均勻材料板和FGM 板裂紋尖端應力比值、均勻材料板應力強度因子經驗值即可在保證精確度的基礎上快速得到任意FGM 板應力強度因子值，計算過程避免了復雜的矩陣以及積分運算，計算量小，研究效率高。預測結果顯示，本文預測方法適用于任意裂紋尺寸以及材料組分的FGM 應力強度因子預測，且該預測方法不受參考模型應力強度因子限制，可任意選取，預測方法精度高、預測結果穩定，便于工程應用。