用于地震反射數(shù)據(jù)偏移的反射波方程

陳生昌

(浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院,浙江杭州310027)

地震勘探中的反射波是最主要的地震波類型,反射數(shù)據(jù)是地震觀測數(shù)據(jù)的主要成分,反射數(shù)據(jù)的偏移成像是地震數(shù)據(jù)處理的重要方法技術(shù),也是獲取地下三維構(gòu)造圖像的重要手段[1]。但隨著油氣勘探開發(fā)目標(biāo)的日趨復(fù)雜化和精細(xì)化(如構(gòu)造巖性油氣藏和非常規(guī)油氣藏的勘探開發(fā))以及寬方位、寬頻帶、高密度數(shù)據(jù)采集方法技術(shù)的應(yīng)用,人們希望偏移方法能更好地利用數(shù)據(jù)的波形信息,獲得具有更高分辨率和能更準(zhǔn)確地反映地下巖性變化的偏移結(jié)果,不僅滿足復(fù)雜構(gòu)造精細(xì)成像的要求,還能開展巖性分析研究,以滿足地震數(shù)據(jù)巖性處理解釋的需要。

當(dāng)前的地震反射數(shù)據(jù)波動方程逆時(shí)偏移成像需要給定一個光滑的宏觀模型,也稱為偏移模型,利用偏移模型下的波動方程分別對震源波場和記錄波場進(jìn)行順時(shí)外推和逆時(shí)外推,然后再利用基于時(shí)間一致性成像原理[2-6]建立的成像公式對外推得到的震源波場和記錄波場進(jìn)行成像,得到反映反射面空間位置和反射面反射系數(shù)的偏移成像結(jié)果。本文將偏移定義為地震反射數(shù)據(jù)的波形線性反演問題,因?yàn)楣饣颇Ｐ拖碌牟▌臃匠讨荒苊枋鋈肷洳ㄅc反射波的傳播,而不能描述反射波的反射,光滑偏移模型下的波動方程不能作為表達(dá)地震反射數(shù)據(jù)的正演方程。也正是缺乏針對反射數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)物理正演方程(即描述反射波運(yùn)動(傳播與反射)的反射波方程),致使偏移中的波場外推與波場成像之間相互獨(dú)立,缺乏內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)前偏移方法中的成像公式不是由偏移模型下描述入射波與反射波之間關(guān)系的數(shù)學(xué)物理方程推導(dǎo)出來的,僅在旅行時(shí)方面滿足偏移速度模型下的波動方程,也未考慮入射波場和反射波場之間的波形變化,僅適合平面波入射到平反射面及其產(chǎn)生的反射平面波的特殊情況。由于缺乏與之相應(yīng)的正演方程,因此我們認(rèn)為當(dāng)前的地震反射數(shù)據(jù)波動方程逆時(shí)偏移成像方法不是一種真正意義上完全基于地震反射波方程的方法,不能有效地利用數(shù)據(jù)的波形信息。

當(dāng)前的地震反射數(shù)據(jù)最小二乘偏移將偏移定義為線性反演問題,并將利用地震波傳播的散射理論和Born近似構(gòu)建的散射方程作為反射數(shù)據(jù)的正演方程[7],該正演方程中的模型參數(shù)是偏移模型的相對擾動(偏移模型的相對擾動在理論上是一個階躍函數(shù)),而不是反射面的空間位置或反射面反射系數(shù)(反射面的空間位置或反射系數(shù)在理論上是一個δ函數(shù))。最小二乘偏移中反射數(shù)據(jù)正演方程的不恰當(dāng)以及地震反射數(shù)據(jù)的帶限性質(zhì)致使最小二乘偏移不能給出有關(guān)反射面的空間位置并得到高保真的反射系數(shù)以及高分辨的偏移成像結(jié)果[8],因此我們認(rèn)為當(dāng)前反射數(shù)據(jù)最小二乘偏移只是一種求解偏移速度相對擾動的線性反演,而不是對偏移的改進(jìn)。

波動方程可以根據(jù)地下模型參數(shù)的變化情況來描述全部波型(如直達(dá)波、透射波、散射波、繞射波和反射波等)的產(chǎn)生與傳播,在地震波場的傳播規(guī)律、特征研究和地震波的全波場反演中得到了廣泛應(yīng)用[9-11]。但在上述所謂的波動方程偏移和最小二乘偏移中,不區(qū)分散射與反射(在偏移中將散射和反射均當(dāng)反射考慮,而在最小二乘偏移中將散射和反射均當(dāng)散射考慮)是不恰當(dāng)?shù)摹Ｉ⑸涫且环N局部性的波動行為,而反射在一定程度上可視為散射的疊加,因此散射波沒有特定的方向性,而反射波具有特定的方向性,散射和反射應(yīng)該區(qū)別對待。對于單純的散射數(shù)據(jù)或反射數(shù)據(jù)反演/偏移,應(yīng)該有其特定的散射波方程或反射波方程,即應(yīng)該在給定的偏移模型下,分別構(gòu)建描述散射波運(yùn)動的散射波方程和描述反射波運(yùn)動的反射波方程[12]。

為了推導(dǎo)與真振幅Kirchhoff積分偏移(偏移/反演)成像方法相對應(yīng)的與角度有關(guān)的反射系數(shù)的地震反射數(shù)據(jù)正演計(jì)算公式,BLEISTEIN等[8,13-14]將描述繞射波場傳播的惠更斯原理和Kirchhoff積分公式應(yīng)用于反射波場,得到了基于反射系數(shù)而不是速度擾動的Kirchhoff積分形式的地震反射數(shù)據(jù)正演計(jì)算公式。該反射數(shù)據(jù)正演公式推導(dǎo)中利用了有關(guān)反射面上的反射波場等于入射波場乘以反射系數(shù)的Kirchhoff近似,因而僅適合入射平面波和平反射面的情況。

為了解決反射數(shù)據(jù)偏移和最小二乘偏移方法存在的正演方程問題,給有效利用地震反射數(shù)據(jù)波形信息的偏移方法研究提供相應(yīng)的正演方程,以滿足地下復(fù)雜構(gòu)造油氣藏、巖性油氣藏和非常規(guī)油氣藏勘探開發(fā)對高精度偏移成像的要求,必須研究偏移模型下適合高精度偏移成像的反射數(shù)據(jù)正演方程。陳生昌等[15-19]在地震數(shù)據(jù)正演方程及其偏移成像方法研究方面進(jìn)行過一些初步的探索研究,本文在前期工作的基礎(chǔ)上,對適合反射數(shù)據(jù)高精度偏移成像的正演方程進(jìn)行系統(tǒng)研究。在給定光滑偏移模型的前提下,依據(jù)地震波長與地下非均勻體的大小及其物理性質(zhì)空間變化快慢之間的相對關(guān)系,在地震波長相對于地下非均勻體的大小及其物理性質(zhì)空間變化滿足高頻近似的條件下,將比波長大的地下非均勻體近似為反射體,產(chǎn)生具有局部方向性的反射波;從散射理論中的波動方程出發(fā),基于上述反射體和反射波概念,推導(dǎo)出基于物性參數(shù)相對變化的反射波方程;再針對反射面反射率在地震反射中的廣泛應(yīng)用,利用定義物性參數(shù)相對變化沿入射波傳播方向的方向?qū)?shù)為反射體上反射面的反射率,推導(dǎo)出基于反射率變化的反射波方程;最后根據(jù)地下介質(zhì)的不同,分別推導(dǎo)出宏觀偏移模型下基于物性參數(shù)相對變化和反射率變化的標(biāo)量反射波方程、聲反射波方程和彈性反射波方程。

1 波動方程與地震波的散射和反射

在應(yīng)力與應(yīng)變間滿足線性近似的假設(shè)下,地震震源激發(fā)的地震波在地下的運(yùn)動可以用非線性微分算子方程描述:

(1)

式中:L為與地下物性參數(shù)模型m(也稱為彈性參數(shù)模型)有關(guān)的二階偏微分算子;u為地震波在地下運(yùn)動狀態(tài)的狀態(tài)變量,也稱為地震波場;f為激發(fā)地震波的震源函數(shù)。方程(1)也稱為非齊次波動方程,或輻射方程。如果方程(1)的右端項(xiàng)等于0(無源項(xiàng)),則得到齊次波動方程,即

(2)

如果地下物性參數(shù)模型m僅為速度v(x),則方程(1)為非齊次標(biāo)量波動方程,即

(3)

如果地下物性參數(shù)模型m為速度v(x)和密度ρ(x)的函數(shù),則方程(1)為非齊次聲波動方程,即

(4)

如果地下模型為各向同性彈性介質(zhì),其物性參數(shù)模型m為拉梅系數(shù)λ(x)、μ(x)和密度ρ(x)的表達(dá)式,則方程(1)為非齊次彈性波動方程[20],即

(5)

式中:u(x,t;xs)為矢量波場;f(t,xs)為矢量震源函數(shù);L是一個3×3偏微分算子,即

波動方程(1)和波動方程(2)能描述震源和m變化產(chǎn)生的各種波,如直達(dá)波、散射波、反射波、透射波和轉(zhuǎn)換波(對于彈性波動方程)等,因此也稱為通用波動方程,是地震波場模擬、地震數(shù)據(jù)全波形反演和波場外推的基礎(chǔ)方程。如果地下模型為光滑的宏觀模型,則波動方程(1)和波動方程(2)就不能描述散射波和反射波。為了研究光滑宏觀模型下地震反射波的波場模擬、反演和成像方法,特別是反演和成像方法,如反射波形反演、反射波阻抗反演、反射數(shù)據(jù)的偏移成像(包括最小二乘偏移成像)方法等,我們需要描述光滑宏觀模型下的地下反射波運(yùn)動的反射波方程,即反射數(shù)據(jù)的正演方程。

地震反射波在地下運(yùn)動的物理過程直觀上可表述為:地表震源激發(fā)的入射波場向下傳播時(shí),入射波場與反射體作用形成產(chǎn)生反射波場的二次震源,反射波場向上傳播到地表被檢波器接收。在這個直觀的表述中,反射波的傳播和反射相互獨(dú)立,但在描述地震波場運(yùn)動狀態(tài)的通用波動方程(1)中,地震反射波的傳播與反射交織在一起。這是因?yàn)榉匠?1)中的模型m不僅控制了地震波傳播,也控制了地震波的反射。

為了清楚地描述地震反射波的反射與傳播狀態(tài),根據(jù)上述對地震反射波的直觀認(rèn)識,我們需要分別描述反射波場傳播和反射的數(shù)學(xué)物理方程,也就是要在模型m中將傳播和反射部分分開,得到控制反射波傳播的傳播模型mp和控制反射波反射的反射模型mr,在形式上將m表示為m=mp+mr。這樣的反射波數(shù)學(xué)物理描述對于反射數(shù)據(jù)的偏移成像方法研究很有幫助。

為了認(rèn)識傳播模型mp和反射模型mr,我們將地震波傳播的散射理論應(yīng)用于方程(1)。令m=mb+δm,其中,mb表示光滑宏觀(背景)模型,δm為體現(xiàn)m中快速變化的模型擾動;相應(yīng)的波場為u=ub+δu,其中,δu為波場擾動;ub表示背景波場。有

(6)

將模型和波場擾動表達(dá)式代入方程(1),并結(jié)合方程(6),有:

(7)

式中:L(mb)為背景模型下的波動算子;δL(mb,δm)為背景模型mb和擾動模型δm產(chǎn)生的擾動算子,有δL(mb,δm)=L(mb+δm)-L(mb);u為與模型m對應(yīng)的全波波場。方程(7)也稱為波動方程(1)的擾動形式,它在數(shù)學(xué)上與方程(1)一樣可以描述模型m變化產(chǎn)生的各類波型,如散射波和反射波等。在δm?mb的一階Born近似下,方程(7)可近似為描述一次擾動波場的方程:

(8)

式中:u1代表一次擾動波場。下面針對δm的尺寸及其空間變化快慢與地震波長之間的相對關(guān)系來研究方程(7)和方程(8)所描述的地震波的性質(zhì)。

若方程(7)和方程(8)中的δm對應(yīng)的不均勻體的空間尺寸與地震波長相當(dāng),或者不均勻體物理性質(zhì)的空間變化相對于地震波長尺度為快速變化,我們認(rèn)為這樣的不均勻體是散射體,其右端的源項(xiàng)就相當(dāng)于點(diǎn)源,相應(yīng)地產(chǎn)生沒有特定方向性(在各向同性介質(zhì)中)的散射波,方程(7)和方程(8)就分別稱為全散射波方程和一次散射波方程,有

若方程(7)和方程(8)中的δm所對應(yīng)的不均勻體的空間尺寸比地震波長大,或者不均勻體物理性質(zhì)的空間變化相對于地震波長尺度為緩慢變化甚至常數(shù),即在地震波長相對于地下非均勻體的大小及其物理性質(zhì)的空間變化滿足高頻近似的條件下,我們可以將這樣的不均勻體近似為反射體,其右端源項(xiàng)就相當(dāng)于一個在空間上具有一定延續(xù)度的局部平面波源,相應(yīng)地產(chǎn)生具有方向性的局部平面波性質(zhì)的反射波,因此方程(7)和方程(8)就分別退化為全反射波方程和一次反射波方程,有

在光學(xué)中,所謂的反射是平面波在無窮大平面(鏡面)上的反射,是由鏡面兩側(cè)介質(zhì)的速度變化產(chǎn)生的[21]。入射波與反射波之間的運(yùn)動學(xué)特征滿足Snell定律,而它們之間的動力學(xué)特征滿足反射波的振幅等于鏡面反射系數(shù)乘以入射波振幅的規(guī)律。在地震勘探中,地下介質(zhì)主要由塊狀體和層狀體組成。對于相對于地震波長具有很大空間延續(xù)度的層狀介質(zhì)產(chǎn)生的地震波,可以仿照光學(xué)中的鏡面反射波進(jìn)行研究,而對于塊狀體產(chǎn)生的地震波,就必須根據(jù)空間尺寸與地震波長之間的相對關(guān)系來決定它是散射體產(chǎn)生的散射波還是反射體產(chǎn)生的反射波。本文所討論的地震反射是高頻近似條件下對地震散射的近似,即在地震波長比較短的情況下δm的空間分布和其物理性質(zhì)的空間變化相對于地震波而言可視為反射體,它與入射波場作用產(chǎn)生反射波場。

根據(jù)上述有關(guān)反射體和反射波的認(rèn)識和定義,我們在高頻近似條件下,假定背景模型mb光滑變化,即方程(6)中的波場ub不包含反射波場,則地面觀測到的地震反射都是由δm產(chǎn)生的。與mb對應(yīng)的波動算子L(mb)控制和描述了地震波場的傳播,我們稱光滑的背景模型mb為地震波的傳播模型。與δm有關(guān)的擾動算子δLr(mb,δm,σ)控制和描述了地震波的反射,我們稱δm和mb共同組成了反射波的反射模型。在高頻近似條件下,方程(11)和方程(12)不僅描述了反射波的反射與傳播,還描述了入射波與反射波之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系,是光滑宏觀模型下描述反射波運(yùn)動的抽象反射波方程。相對于虛點(diǎn)源產(chǎn)生的散射場,空間上具有一定延續(xù)度的局部平面波虛源產(chǎn)生的反射波場可視為積分波場。借助Green函數(shù)將方程(11)和方程(12)分別寫為下述積分形式的反射數(shù)據(jù)正演方程,即

式中:Ω為產(chǎn)生反射波的局部平面波虛源的分布空間;g為背景模型下的Green函數(shù)。

2 地震反射波方程

2.1 標(biāo)量反射波方程

假定方程(1)中的模型m為速度模型v(x),并有v(x)=vb(x)+δv(x),其中,vb(x)為光滑背景速度模型,δv(x)為速度擾動。如果速度擾動體δv(x)的體積大小及其速度空間變化滿足散射體條件,則由方程(6)所對應(yīng)的Green函數(shù)和齊次波動方程(2),得到全散射和一次散射方程(9)、方程(10)的積分形式:

假定地震波長相對于速度擾動體δv(x)(或av(y))的大小及其空間變化快慢滿足高頻近似條件,即av(y)可近似為反射體,相應(yīng)的散射波退化為反射波。則方程(15)和方程(16)分別退化為與方程(13)和方程(14)對應(yīng)的反射波方程,即

(19)

公式(17)和公式(18)中的波場和Green函數(shù)具有局部平面波性質(zhì)。將方程(17)和方程(18)寫為微分形式:

方程(17)和方程(18)分別稱為基于速度相對擾動的全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程。

在地震勘探中,反射面的反射率不僅可以表征反射面的空間位置,還能反映反射面上的物性變化。為了得到基于反射率的反射波方程,我們定義反射率為速度相對擾動av(x)沿入射波傳播方向I的方向?qū)?shù)。在δv(x)的空間變化滿足高頻近似(速度相對擾動av(x)的空間變化相對于地震波的波長尺度可視為緩慢變化甚至常數(shù))的條件下,即在反射波近似條件下,由速度相對擾動av(x)沿入射波傳播方向I的方向?qū)?shù)所定義的反射率r(x,σ)在波數(shù)域的定義公式為:

(22)

根據(jù)反射率的定義,反射率r(x,σ)在空間域有如下定義公式:

(23)

公式(22)和公式(23)定義的反射率r(x,σ)是地下速度模型空間變化的反映,也和角度σ有關(guān),是一個標(biāo)量。不同于根據(jù)反射波場振幅與入射波場振幅之比定義的無量綱的反射系數(shù),本文定義的r(x,σ)具有長度倒數(shù)的量綱,它是高頻近似條件下具有局部平面波性質(zhì)的入射波作用于局部反射面的反射率,即反射體邊界局部切平面上的反射率。雖然BLEISTEIN等[8]和STOLT等[22]分別提出了類似的利用方向?qū)?shù)定義的反射率,但BLEISTEIN等定義的反射率是從反演成像分辨率的角度考慮的,STOLT等定義的反射率是點(diǎn)反射率不是局部反射面反射率,且兩者的方向?qū)?shù)都是反射面的法向?qū)?shù)而不是入射波傳播方向的方向?qū)?shù)。

下面用一個兩層一面的分層速度模型來說明公式(22)和公式(23)定義的反射率與反射系數(shù)之間的關(guān)系。假定模型上層速度為v1,下層速度為v2,速度分界面深度為z1,I為垂直向下的入射波傳播方向,即σ=0,如圖1所示。

圖1 兩層一面的分層速度模型

取vb=v1,則速度擾動δv(z)=(v2-v1)H(z-z1)。其中,H(z)為階躍函數(shù)。假定入射波的傳播方向I為垂直方向,根據(jù)反射率定義公式(23),圖1 中速度模型的反射率為:

(24)

它是一個δ函數(shù)。在z=z1速度分界面上,對于法向入射地震波的反射率r,有r|z=z1≈4(v2-v1)/(v2+v1)=4R,其中,R為地震波法向入射時(shí)速度分界面的反射系數(shù)。

由上述分析可知,公式(22)和公式(23)定義的反射率與反射系數(shù)雖然有不同的物理量綱,但在數(shù)值上與反射系數(shù)成正比關(guān)系。

利用反射率定義公式(22),我們可以得到基于反射率變化的全反射波和一次反射波的反射波方程:

方程(26)所表示的一次反射波方程的右端項(xiàng)不同于文獻(xiàn)[12]中基于SYMES等[23]的反射波方程而提出的一次反射波方程的右端項(xiàng)，文獻(xiàn)[12]中的一次反射波方程在當(dāng)前的反射波全波形反演、最小二乘偏移中得到了廣泛應(yīng)用，它的右端項(xiàng)是由無量綱的反射系數(shù)和入射波場的乘積組成，其左、右兩端的物理量綱不匹配。因此，我們認(rèn)為文獻(xiàn)[12]中的一次反射波方程是錯誤的。

由方程(25)和方程(26)可以得到基于反射率變化的全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程:

式中:xg代表檢波點(diǎn)位置坐標(biāo)。將上述一次反射數(shù)據(jù)正演方程變換到頻率域,有

(29)

公式(29)與BLEISTEIN等[8,24]利用Kirchhoff近似推導(dǎo)出的反射數(shù)據(jù)正演公式相似,但BLEISTEIN等給出的公式是基于無量綱的反射系數(shù)推導(dǎo)的,而公式(29)是基于具有長度倒數(shù)量綱的反射率推導(dǎo)的。

2.2 聲反射波方程

為了考慮地下密度變化對地震波運(yùn)動的影響,假定方程(1)中的模型m為包含速度v(x)和密度ρ(x)的聲學(xué)介質(zhì),并有v(x)=vb(x)+δv(x),ρ(x)=ρb(x)+δρ(x),其中,vb(x)和ρb(x)為光滑背景模型,δv(x)和δρ(x)為擾動模型。假定地震波長相對于δv(x)和δρ(x)的空間體積大小和空間變化快慢滿足高頻近似條件,即與δv(x)和δρ(x)對應(yīng)的非均勻體可近似為反射體,則根據(jù)方程(11)和方程(12),進(jìn)行與文獻(xiàn)[16]相類似的推導(dǎo)可得到下述聲波反射波方程:

(32)

方程(30)和方程(31)中的av+aρ(1+cosσ)是一個與σ有關(guān)的聲波阻抗相對擾動,令I(lǐng)r(x,σ)=av+aρ(1+cosσ)。如果取σ=0,即沿反射面法向入射,則有Ir(x,σ=0)=av+2aρ=2δv(x)/vb(x)+2δρ(x)/ρb(x)≈2δI(x)/Ib(x),即小角度反射主要受阻抗變化的控制。其中,Ib(x)=vb(x)ρb(x),δI(x)=δ[v(x)ρ(x)]=ρ(x)δv(x)+v(x)δρ(x)。如果取σ=π,則有Ir(x,σ=π)=av=2δv(x)/vb(x),即大角度反射主要受速度變化的控制。因此,在高頻近似和vb(x),ρb(x)為光滑變化的條件下,我們分別稱方程(30)和方程(31)為基于聲波阻抗相對擾動的全反射波和一次反射波的聲波反射波方程。

由方程(30)和方程(31)可以得到基于聲波阻抗相對擾動的全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程:

(33)

(34)

定義背景模型vb(x)、ρb(x)中入射波傳播方向的局部波數(shù)為ki,有ki=ω/vb(x)。為了得到基于反射率的反射波動方程,我們定義反射率為聲波阻抗相對擾動Ir(x,σ)沿入射波傳播方向I的方向?qū)?shù)。在δv(x)、δρ(x)的空間變化滿足高頻近似(即聲波阻抗相對擾動Ir(x,σ)的空間變化相對于地震波的波長尺度可視為緩慢變化甚至常數(shù))的條件下,聲波阻抗相對擾動Ir(x,σ)沿入射波傳播方向I的方向?qū)?shù)所定義的反射率r(x,σ)在波數(shù)域有如下定義公式:

(35)

根據(jù)反射率的定義,反射率r(x,σ)在空間域有如下定義公式:

(36)

公式(35)和公式(36)所定義的反射率是一個與反射開角σ有關(guān)的變量,是介質(zhì)聲波阻抗空間變化的反映,具有長度倒數(shù)的量綱。

圖2為兩層一面分層聲阻抗模型。對于法向入射地震波在z=z1聲阻抗分界面上的反射率r,有:r|z=z1≈4(ρ2v2-ρ1v1)/(ρ2v2+ρ1v1)=4Ra。其中,Ra為地震波法向入射時(shí)聲阻抗分界面的反射系數(shù)。因此,公式(35)和公式(36)定義的反射率與聲阻抗分界面上的反射系數(shù)也具有正比關(guān)系。

利用公式(35)給出的反射率定義和2.1節(jié)的推導(dǎo),我們可以得到高頻近似條件下基于反射率變化的全反射波和一次反射波的聲反射波方程:

由方程(37)和方程(38)可以得到基于反射率變化的全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程:

(39)

(40)

圖2 兩層一面分層聲阻抗模型

2.3 彈性反射波方程

(43)

ΔLr為彈性波反射算子,有

(44)

在高頻近似和αb(x)、βb(x)、ρb(x)為光滑變化的條件下,我們分別稱方程(41)和方程(42)為基于彈性參數(shù)相對擾動的全反射波和一次反射波的彈性反射波方程。

為了將彈性矢量波場u=(ux,uy,uz)轉(zhuǎn)換為縱波場和橫波場ups=(up,ush,usv),得到P波和S波型的反射波方程,對方程(41)和方程(42)應(yīng)用Helmholtz變換和對S波的旋轉(zhuǎn)[22]得到:

(47)

公式(47)中各元素代表了不同類型入射波與不同類型反射波間的反射作用。在高頻近似條件下,這些元素在頻率域有[22,25]:

在法向入射時(shí),σ=0,有

(48)

其中,

(49)

(49)式中的各元素稱為彈性波阻抗相對擾動,有

將(48)式代入方程(45)和方程(46),有

(50)

(51)

方程(50)和方程(51)分別稱為高頻近似條件下基于彈性波阻抗相對擾動的P波和S波型的全反射波和一次反射波的彈性反射波方程。

由方程(50)和方程(51)可以得到基于彈性波阻抗相對擾動的P波和S波型的全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程:

(54)

對于SH波入射、SH波反射的反射率,有

(55)

對于SV波入射、SV波反射的反射率,有

(56)

對于P波入射、SV波反射的反射率,有

(57)

對于SV波入射、P波反射的反射率,有

(58)

圖3為兩層一面分層彈性阻抗模型,對于法向入射的不同波型地震波,在z=z1彈性波阻抗分界面上的反射率r,分別有

(59)

式中:Rpp為P波法向入射時(shí)彈性阻抗分界面的反射系數(shù)。

(60)

式中:Rshsh為SH波法向入射時(shí)彈性阻抗分界面的反射系數(shù)。

(61)

圖3 兩層一面分層彈性阻抗模型

式中:Rsvsv為SV波法向入射時(shí)彈性阻抗分界面的反射系數(shù)。

由上述的簡單彈性分層模型可知,我們定義的反射率與彈性阻抗分界面上的反射系數(shù)也同樣具有正比關(guān)系。

(62)

其中,

利用(62)式可得到基于反射率變化的全反射波和一次反射波的彈性反射波方程,即

(63)

(64)

由方程(63)和方程(64)可以得到基于反射率變化的P波和S波型的彈性波全反射數(shù)據(jù)和一次反射數(shù)據(jù)的積分形式正演方程:

在上述推導(dǎo)出的標(biāo)量波、聲波和彈性波的反射波方程中,基于波阻抗相對變化的反射波方程的右端項(xiàng)是由波場的時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)與波阻抗相對變化的乘積組成,而基于反射率的反射波動方程的右端項(xiàng)是由波場的時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)與反射率的乘積組成。與平面波無窮大平邊界的無量綱反射系數(shù)不同,本文基于地震波長相對于地下非均勻體大小滿足高頻近似和局部平面波而定義的反射率是一個具有長度倒數(shù)量綱的變量,是真實(shí)介質(zhì)與背景介質(zhì)之間模型參數(shù)相對擾動沿入射波傳播方向的方向?qū)?shù),它不僅依賴于背景介質(zhì),也與入射波傳播方向有關(guān)。Zoeppritz方程描述了平面波無窮大平邊界條件下反射系數(shù)與入射方向和介質(zhì)模型參數(shù)之間的定量關(guān)系,本文推導(dǎo)的基于反射率的反射波方程建立了高頻近似條件下反射波與入射波和反射率之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系,但目前我們還不能寫出傾斜入射情況下反射率與模型參數(shù)相對擾動和入射波傳播方向之間的具體函數(shù)關(guān)系。

3 結(jié)論

光滑宏觀模型下的波動方程只能描述反射波的傳播,而不能描述反射波的反射,致使當(dāng)前地震反射數(shù)據(jù)的波動方程偏移缺少與之對應(yīng)的反射數(shù)據(jù)正演方程。根據(jù)地下非均勻體的大小及其物理性質(zhì)空間變化快慢與地震波長之間的相對關(guān)系,把非均勻體劃分為產(chǎn)生散射波的散射體和產(chǎn)生反射波的反射體,本文視反射體和反射波為散射體和散射波的高頻近似,并認(rèn)為反射波是一種具有方向性的局部平面波。利用散射理論的波動方程和本文所得到的有關(guān)反射體、反射波的認(rèn)識與定義,在給定的光滑宏觀模型下,首先推導(dǎo)出基于地下模型參數(shù)相對擾動的反射波方程,然后將地下模型參數(shù)相對擾動沿入射波傳播方向的方向?qū)?shù)定義為地下反射率分布,再推導(dǎo)出基于反射率變化的反射波方程。根據(jù)地下介質(zhì)的不同,分別推導(dǎo)出了光滑背景模型下基于模型參數(shù)相對變化和反射率變化的標(biāo)量反射波方程、聲反射波方程和彈性反射波方程。本文在高頻近似條件下定義的反射率反映了地下模型參數(shù)相對擾動沿入射波傳播方向的變化,與基于波場振幅變化定義的無量綱的反射系數(shù)不同,本文的反射率具有長度倒數(shù)的量綱,它是高頻近似條件下,局部平面波的入射波作用于反射體邊界的局部切平面的反射率。從簡單的分層介質(zhì)模型可知,本文定義的反射率與反射系數(shù)在數(shù)值上具有正比關(guān)系。本文推導(dǎo)出的反射波方程可作為反射數(shù)據(jù)的正演方程,是開展地震反射數(shù)據(jù)反演和偏移方法研究的基礎(chǔ)方程,特別是開展可有效利用反射數(shù)據(jù)波形信息的偏移方法研究的基礎(chǔ)方程。