基于奇異值分解的角度域去噪方法

李 江

(中國煤炭科工集團西安研究院有限公司,陜西西安710077)

隨著地震勘探技術(shù)的快速進步,人們對成像精度的要求也越來越高,各種疊前去噪方法[1-2]、振幅補償方法[3]、高精度成像方法都得到了長足的發(fā)展[4]。近年來,人們開始關(guān)注疊前處理后得到的共成像點道集對成像結(jié)果的影響,同時疊前道集的優(yōu)化處理日益受到重視[5-6]。常規(guī)共反射點道集優(yōu)化處理的目的比較寬泛,主要包括以提高資料分辨率、信噪比為目的的資料品質(zhì)改善[7]和針對振幅、頻率和相位信息補償?shù)膸r性預(yù)測[8-9]。在復(fù)雜構(gòu)造情況下,常規(guī)偏移距域或炮域道集存在射線多路徑問題,易引起偏移假象,并降低成像精度。角度域共成像點道集(angle domain common image gathers,ADCIGs)避免了射線多路徑問題,可以消除偏移剖面上的多波至假象,并且包含了反射點處所有角度入射的反射波對該點成像值的貢獻。XU等[10]和HOOP等[11]研究了ADCIGs對射線多路徑問題的適應(yīng)性,認為采用ADCIGs疊加成像可以有效避免構(gòu)造假象。ADCIGs本質(zhì)是利用地震數(shù)據(jù)中波場傳播的方向信息,并通過ADCIGs的疊加成像,反映出更為豐富的地層局部信息。但是受地層調(diào)諧效應(yīng)、地下復(fù)雜構(gòu)造及地震數(shù)據(jù)品質(zhì)等因素的影響,ADCIGs同樣存在一些缺點,主要表現(xiàn)為在高角度區(qū)域,ADCIGs同相軸存在不同程度的波形拉伸與畸變;在其它數(shù)據(jù)空間不易區(qū)分的噪聲干擾,在角度域更為明顯。因此,在角度域?qū)渤上顸c道集進行去噪和道集優(yōu)化處理,可以消除角度域內(nèi)的剩余噪聲,進一步提高ADCIGs及其疊加剖面的成像精度。鄭憶康等[12]對ADCIGs應(yīng)用高分辨率拋物線型Radon變換來壓制多次波偏移假象,有效提高了成像結(jié)果的信噪比。趙小龍等[13]分析了地層調(diào)諧效應(yīng)對疊前道集的影響,引入了非平穩(wěn)匹配去調(diào)諧的方法,實現(xiàn)了角度域疊前道集的振幅和波形拉伸校正,改善了大角度地震數(shù)據(jù)的品質(zhì)。姜弢等[14]提出了一種角度域波形束濾波方法,較好地改善了弱信噪比地震數(shù)據(jù)的成像效果。

基于奇異值分解的角度域去噪方法(本文方法)利用地震數(shù)據(jù)存在相關(guān)性這一特點,將奇異值作為正交基在空間分解信號,在此基礎(chǔ)上利用地震波的相關(guān)差異實現(xiàn)波場的分離與去噪[15],根據(jù)奇異值分解的相關(guān)理論,分解后的奇異值子空間是由水平同相軸組成的,數(shù)據(jù)重構(gòu)后不同能量的水平同相軸疊加,會出現(xiàn)視覺上彎曲的同相軸。因此奇異值分解更適用于具有線性同相軸的數(shù)據(jù),而利用奇異值分解重構(gòu)傾斜或彎曲地層理論上會產(chǎn)生較大的誤差[16]。對于偏移速度準確時提取的ADCIGs,其有效信號為水平同相軸,各道數(shù)據(jù)相關(guān)性好,噪聲則隨機分布于道集內(nèi)且相關(guān)性較差,這非常適合根據(jù)奇異值分解的理論進行信噪分離和去噪。基于ADCIGs具有相關(guān)性較好的水平同相軸這一特點,本文首先對其進行奇異值分解,然后分析了不同奇異值子空間的映像特征,并采用累計貢獻率的方法確定降噪階次,實現(xiàn)角度域地震波場的分離和去噪,最后利用模型數(shù)據(jù)和實際資料驗證了本文方法的有效性。

1 基本原理

1.1 矩陣的奇異值分解

對于任意m×n階矩陣X都可以分解為m×m正交矩陣U、m×n階對角陣Σ以及n×n階正交陣V的乘積[17]:

(1)

式中:U由XXT的特征向量構(gòu)成;V由XTX的特征向量構(gòu)成;Σ由奇異值構(gòu)成,即Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)(r≤min{m,n}),其中σi(i=1,2,…,r)為矩陣X的奇異值,且按非遞增順序排列。一般定義特征值的平方根為矩陣的奇異值,(1)式也稱為矩陣X的奇異值分解。

1.2 奇異值分解用于角度域濾波的原理

由(1)式可以導出奇異值分解的另一種表達形式為:

(2)

(3)

圖1 原始ADCIGs及根據(jù)其奇異值創(chuàng)建的子空間a 含噪聲的原始ADCIGs; b 根據(jù)σ1創(chuàng)建的子空間; c 根據(jù)σ2創(chuàng)建的子空間; d 根據(jù)σ3創(chuàng)建的子空間; e 根據(jù)σ4創(chuàng)建的子空間; f 根據(jù)第20個以后的奇異值創(chuàng)建的子空間

1.3 降噪階次的選擇

由前面分析可知,奇異值序列中前面較大的k個奇異值由純信號貢獻,后面較小的奇異值完全由噪聲貢獻,因此有效信號的子空間可由前面k個奇異值來重構(gòu)。定義k0為降噪階次,它是奇異值分解去噪方法的一個重要參數(shù),一般情況下它的值是難以預(yù)知的,但在實際應(yīng)用中可以采用單邊極大值方法[18],偽近鄰點法[19]和累計貢獻率法[20]等方法進行估計。

為了減少弱噪聲對降噪階次估計的影響,本文首先對奇異值序列進行如下修正:

(4)

修正后的奇異值累計貢獻率η計算公式如下:

(5)

式中:1≤k≤r。這樣就可以通過累積貢獻率來確定降噪階次,統(tǒng)計表明將η達到80%～90%時所對應(yīng)的k值作為降噪階次k0(圖2)時,可獲得較好的去噪效果。

圖2 不同k值下對應(yīng)的原始奇異值、修正的奇異值及累計貢獻率

2 模型測試

圖3a為對Marmousi模型數(shù)據(jù)進行角度域偏移并添加隨機噪聲后的ADCIGs,可以看到該道集存在較為明顯的波形拉伸和隨機噪聲。去噪時采用累計貢獻率法估計降噪階次,取前8個奇異值對應(yīng)的子空間進行數(shù)據(jù)重建,去噪結(jié)果表明本文方法較好地去除了原始數(shù)據(jù)中的隨機噪聲,高角度的頻率拉伸也得到了壓制,剖面的信噪比明顯提高(圖3b),圖3c為去除的噪聲,可以看到噪聲數(shù)據(jù)中不含有具有水平同相軸的信號,說明去噪后有效信息得到了保護。對采用本文方法去噪后得到的ADCIGs進行疊加(圖4),可以看到,原始剖面中的隨機干擾得到了壓制,去噪后疊加剖面的信噪比得到了明顯改善,ADCIGs高角度處的低頻拉伸得到消除,剖面的分辨率也有所提高。基于奇異值分解的角度域去噪方法應(yīng)用于ADCIGs時更能發(fā)揮其優(yōu)勢,采用該方法去除角度域內(nèi)的噪聲能有效提高ADCIGs和疊加剖面的質(zhì)量,達到了高信噪比的處理效果。

圖3 采用本文方法對模型數(shù)據(jù)去噪的結(jié)果對比a 含噪聲的ADCIGs; b 去噪后的ADCIGs; c 去除的噪聲

圖4 采用本文方法對模型數(shù)據(jù)去噪前(a)、后(b)得到的疊加剖面

3 應(yīng)用實例

為了驗證本文方法的實際應(yīng)用效果,本文對寧東探區(qū)的部分實際資料進行了試處理。圖5a為疊前局部偏移距成像后利用成像空間的角度映射獲得的ADCIGs,可以看到,原始ADCIGs上存在較為嚴重的剩余噪聲干擾,淺層高角度存在波形拉伸,在上、下邊界還存在偏移“畫弧”現(xiàn)象,利用這樣的數(shù)據(jù)進行疊加成像,勢必會降低成像剖面的信噪比,影響角度域疊加成像效果。因此對ADCIGs進行奇異值分解,采用奇異值累計貢獻率法得出最佳降噪階次為11,即主要反射波能量集中在前11個奇異值上;進而選取前11個奇異值對應(yīng)的子空間進行數(shù)據(jù)重構(gòu),實現(xiàn)了角度域內(nèi)的去噪處理,結(jié)果如圖5b所示。將第12個以后的奇異值對應(yīng)的子空間進行重構(gòu),獲得的數(shù)據(jù)即為去除的噪聲(圖5c)。可以看出,隨機噪聲、高角度頻率畸變等在去噪后的ADCIGs上得到了有效壓制,其信噪比明顯提高;去除的噪聲中主要包含背景隨機干擾,低頻波形拉伸和數(shù)據(jù)邊界畫弧干擾,基本不含有效信號;對高角度波形拉伸的壓制改善了大角度地震數(shù)據(jù)的品質(zhì)。對該資料應(yīng)用本文方法前、后得到的疊加剖面如圖6所示,可以看出,去噪后的剖面反射波能量增強,同相軸連續(xù)性更好,剖面信噪比和分辨率均有所提高。特別是在剖面左部淺層和深部區(qū)域,由于去噪后的剖面被壓制背景噪聲了和高角度的低頻干擾,原始剖面中能量較弱的同相軸在去噪后的剖面中清晰可見,成像效果得到了明顯改善。

圖5 采用本文方法對實際資料進行去噪處理的結(jié)果對比a 原始ADCIGs; b 去噪后的ADCIGs; c 去除的噪聲

圖6 采用本文方法對實際資料進行去噪處理前(a)、后(b)得到的疊加剖面

4 結(jié)論

本文實現(xiàn)了基于奇異值分解的角度域去噪,奇異值分解后的ADCIGs表現(xiàn)為不同中斷程度的水平同相軸,選取不同的子空間數(shù)據(jù)進行信號重構(gòu),可實現(xiàn)有效信號和噪聲完全分離。對奇異值進行修正可以更好地確定有效降噪階次,采用累積貢獻率法計算降噪階次快速直觀,具有較好的效果。數(shù)值模擬和實際資料的去噪效果表明,本文方法能有效分離角度域內(nèi)的隨機干擾,壓制高角度處的頻率畸變,改善大角度數(shù)據(jù)的品質(zhì)。對ADCIGs進行基于奇異值分解的角度域去噪,可進一步提高ADCIGs的精度,進而改善角度域成像剖面的信噪比和分辨率,也為基于疊前道集的速度分析和疊前反演提供了更為準確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。