挖掘數式信息特征構造幾何圖形解題

[摘要]許多數學問題都是由一個幾何問題演變而來的，學習中，只要善于挖掘數式的信息特征，聯想“形”的幾何意義，就可使“式”的問題迎刃而解。

[關鍵詞]數式 信息特征 形

數學中許多數式問題都暗含著形的信息，如：x2±xy+y2可看作是以x、t為邊，夾角為120°或60°的三角形的余弦定理結構；（x2-x1）2+（y2-y1）2表示兩點間的距離；x2+y2=a2表示圓或直角三角形結構；b-ya-x表示直線的斜率，

（AP=(a，b)表示直線AP的斜率為ba）；ax+by=k表示平行直線束…，解題時，只要抓住“式”的信息特征，聯想“形”的幾何意義，就可使“式”的問題得到直觀、現象的解決。

【例1】設a、b、c∈R+，求證：a2-ab+b2+b2+c2＞c2+ac+a2

分析：此時直接證明比較困難，觀察被開方式，類比余弦定理的表現特征，可變形如下：可平面上無法構造三條線段共點且兩兩之間的夾角分別為 60°、90°、120°的模型，故考慮向空間發展。

證明：作一個四面體 S-ABC如圖：使得SA=a，SB=b，SC=c，且

評析：由三角形三邊關系知：本題中任意兩個根式的和都大于第三個根式。

【例2】設a是任意實數，求證：

分析：被開方式是二次三項式，易想到配方，將配方的結果與兩點間距離公式相對照，利用三角形兩邊之差小于第三邊，易證：

證明：令，

則

那么k可看作是x軸上的動點A(a，0)到兩點的距離之差，

如圖即：k=｜AB｜-｜AC｜

∵三角形兩邊之差小于第三邊

∴｜｜AB｜-｜AC｜｜＜｜BC｜，而｜BC｜=1

∴｜k｜＜1

即：｜a2+a+1-a2-a+1｜＜1。

評析：1.VABC中 ｜AB｜+｜AC｜＞｜BC｜即：｜a2+a+1+a2-a+1｜＞1

2.若有數式得到的定點B，C所在的直線和x軸不平行，則｜｜AB｜-｜AC｜｜≤｜BC｜，如｜a2+4-a2-2a+2｜≤2

【例3】已知x≥0，y≥0且x+12y=2求μ=x2+y2得最值。

分析：x≥0，y≥0，∴x+12y=1表示一條直線0≤x≤1上的線段，則μ=x2+y2表示原點0，(0，0)到這條線段上的點的距離。

解：Qx≥0，y≥0，x+12y=1，

μ表示原點到線段AB:x+12y=1(0≤x≤1)上點的距離（如圖），Q原點到直線2x-y-2=0的距離為｜-2｜5，且垂足在線段AB上，又AB在x，y軸上的截距分別為1和2?！?5≤μ≤2∴45≤μ≤4即μmax=4，μmin=45。

評析：本題亦可用代數方法和三角方法來解，但解法都不及原解法直觀、簡明。

又如：美國第三屆IMO試題：試確定方程組：的所有實數解。

分析：由x+y+z=3，x2+y2+z2得，

該方程組有實數解的幾何意義是：直線x+y=3-z和圓x2+y2=3-z2又公共點，

即圓心(0，0)到直線x+y=3-z的距離不大于半徑，于是：得 z=1，此時x=y=z=1。

所以方程組有實數解此解也滿足x5+y5+z5=3，

故原方程組有唯一的一組實數解。

【例4】求函數的值域。

分析：聯想兩點間的斜率公式，轉而求點(-2，-1)與單位圓上點的連線的斜率范圍，不難求得：。

從上述實例可以看出，許多數學問題都是有一個幾何問題演變而來的，只是抹去了幾何的面目而成為抽象的代數或三角問題，學習中，只要善于挖掘數式的信息特征，恢復或構造出相應的幾何圖形，問題就會迎刃而解。

（作者單位：河南葉縣高中）