液體表面駐波的演示和駐波波長的測量

盧桂林，鐘浩源，譚鋁平，翟若迅，白在橋

(北京師范大學 物理學系,北京 100875)

在物理教學中，水波經常被用來演示一般的波動規律，比如波的干涉和衍射. 水波的定量測量比較復雜[1-4]，一般需要水槽和造波裝置[5-6]. 本文提出簡便的水波駐波觀察和測量方法：將透明亞克力平板切割成一定形狀和尺寸的承液板，把液體鋪在承液板上，在表面張力作用下形成1層液膜，將驅動承液板放置在振動臺上，使之上下微幅振動. 在合適的驅動頻率下，液膜表面可形成穩定的駐波圖樣. 由于沒有水槽壁的摩擦，波在液膜邊界的反射系數更高，產生的駐波圖樣更完整、清晰. 該方法既可以演示不同形狀液膜的駐波圖樣，也可以定量測量液體毛細波的色散關系，進而得到液體的表面張力系數.

1 理論分析

1.1 水波的色散關系

水波的回復力包括重力和表面張力，水波的波速與波長和水深都有關系. 水波振幅比較小時，忽略高階效應，線性水波的色散關系為

(1)

其中，ω為角頻率，k為波數，g,σ,ρ,h分別為重力加速度、液體表面張力系數、液體密度和液體深度. (1)式的推導可參見文獻[7].

1.2 駐波圖樣

用前述的方法得到的水膜厚度約為3 mm，而平板的尺度在10 cm，因此除了弧形的邊緣部分，水膜可認為厚度均勻. 液膜上駐波圖案對應于水波方程在給定邊界條件下的本征函數. 但邊界條件的數學形式并不容易確定，精確的駐波形式不易計算. 不過駐波產生的機制并不復雜：水波在液膜邊界反射改變方向，不同行進方向的行波疊加而形成駐波. 對于幾種簡單形狀的液膜，可以結合實驗現象寫出其駐波形式. 對于正方形水膜，駐波形式為

u(x,y,t)=C[cos (kx)+cos (ky)]cos (ωt).

(2)

對于正三角形或正六邊形水膜，駐波形式為

(3)

其中(ki,qi)=k[cos (iπ/3),sin (iπ/3)]，C為常量. 這里ω和k滿足色散關系(1)式，而且只能取由液膜形狀確定的離散值.

為便于理解，用Matlab畫出2種駐波圖樣，見圖1和圖2. 圖中黃色代表波峰，藍色代表波谷，隨時間推移，波峰和波谷位置周期性互換.

圖1 正方形水膜上的駐波圖樣

(a)t=0

(b)t=π圖2 正三角形和正六邊形水膜上的駐波圖樣

需要指出的是，對于正方形水膜上的駐波，峰值點和谷值點各形成正方點陣，每套點陣相差1個平移，空間周期都是λ=2π/k. 而正三角形或正六邊形水膜上的駐波圖樣則不然，峰值和谷值形成的點陣形狀并不相同，分別為正三角形點陣和類似蜂窩狀網格.

1.3 駐波成像

由于液體透明而且駐波的振幅很小，不便于直接觀察. 1束平行光透過液膜，液膜表面波可以看成若干凸透鏡(波峰)與凹透鏡(波谷)的組合，其中凸透鏡可以使光束會聚，在觀察屏上形成亮點或亮線(見圖3).

圖3 水波波峰成像示意圖

假設液膜按(2)式振動. 當cos (ωt)=1時，振幅達到最大，此時原點處有1個峰值. 當x,y趨于0時，

其中n=1.33為水的折射率. 若fmin=16 cm，代入實驗的典型值k=1 000 m-1，得到振幅2c=0.038 mm，遠小于液膜厚度.

2 實驗裝置和實驗方法

2.1 實驗裝置

實驗裝置包括振動臺、液膜和投影光路3部分，實物圖和示意圖分別見圖4和圖5.

由于實驗需要的振幅很小，選用4個4寸低音揚聲器作為振動源. 用1塊挖去4個圓孔的平板將揚聲器的相對位置固定，并放置在裝有調平地腳的平臺上. 信號發生器輸出正弦波，經功率放大器后串聯通過4個揚聲器，保證它們同步振動. 將邊長16 cm的正方體支架的4個腳分別放在4個揚聲器的振膜上. 平臺和支架均由透明亞克力板切割粘接制成.

承液板用透明亞克力板切割而成. 雖然液膜的厚度不能調節，但由于激光切割的便利性，水膜的形狀和尺寸很容易改變，方便研究邊界形狀對液膜駐波圖樣的影響. 將承液板放在正方體支架的上表面. 支架內部放置傾斜角為45°的平面反射鏡. 支架前表面粘1張硫酸紙作為投影屏，如圖5所示.

圖4 實驗裝置實物圖

圖5 實驗裝置示意圖

實驗用激光做投影光源. 激光經擴束和平面鏡反射后從正上方垂直照射到液膜上，然后經過正方體支架內部的反射鏡，投射在屏上. 屏到液膜的光路約為16 cm. 由于視覺暫留現象，如果保持光源常亮，人眼看到的圖案是不同振動相位的疊加效果. 為了克服視覺暫留，實驗采用的激光器有輸出調制功能. 采用與振動信號同頻率而且相位差和寬度都可調的脈沖信號調制激光輸出，可以觀察到特定相位的駐波圖案，同時也提高了顯示圖像的對比度.

2.2 實驗方法

在完成水平調節以及液膜準備之后，操作步驟為：

1)保持光源常亮，調節振動臺驅動信號頻率，找到液膜共振頻率，調節驅動振幅，使投影屏上的圖案盡量清晰.

2)將光源調制信號頻率調至振動臺頻率，調節相位延遲與脈沖寬度，觀察液膜振幅最大時刻對應的駐波圖樣，完成需要的測量.

重復步驟1)和2)，完成一系列共振模式的觀察和測量.

為了實驗方便，并提高測量精確度，利用攝像頭采集圖像，并用LabVIEW編寫控制和測量程序. 圖6為LabVIEW程序的前面板，主要分為5個區域：Ⅰ區為攝像頭采集到的成像圖，由于使用激光的波長為532 nm，程序做了簡單的圖像處理，只顯示綠色分量，這樣可以濾除環境雜光. Ⅱ區為控制部分，通過VISA控制信號發生器，調節振源頻率、振幅、振源與光源調制信號的頻率差、調制信號的相位和占空比. Ⅲ區控制圖像的測量區域，在采集圖像的特定位置選取矩形區域. 程序將所選區域的光強按垂直方向求和，得到一維光強分布. 然后對數據進行低通濾波(相當于長時間取平均)，結果在Ⅳ區用圖形顯示，圖中每個峰值代表Ⅰ中矩形框中的1條亮線. 圖形顯示控件有若干光標，左右移動可以對峰值定位. 光標位置坐標在Ⅴ區顯示.

圖6 控制測量前面板

在做圖像測量之前需要進行長度定標. 定標采用圖7所示的定標板，由多條平行的透光縫組成，縫間距為5 mm. 將定標板放液膜的位置，測量圖像中亮條紋的位置，定出標度系數.

圖7 定標狹縫板

3 結果與分析

3.1 駐波演示

圖8為不加光源調制時一些液膜上的駐波投影圖，其中正方形板得到正方形網格，圓形板得到同心圓圈，三角形和六邊形板均得到正六邊形蜂窩狀網格加中心亮點圖案.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板 (d)三角形板圖8 未經激光調制的成像圖

用與振源同頻率、占空比為10%的脈沖調制光源輸出，在合適的相位差下，得到清晰的駐波圖案，結果見圖9. 與不加調制的圖像相比，調制后的圖案更清晰、對比度更高. 圖9(a)和9(b)中亮線數目減半. 圖9(c)和9(d)中，正三角形和正六邊形板的圖案由圖8(c)和8(d)分裂為六邊形蜂窩狀網格和三角形格點2套圖案，這與Matlab模擬結果一致.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板

(d)三角形板圖9 經激光調制的成像圖

3.2 駐波波長測量

使用正方形液膜，調節振源頻率得到一系列共振，記錄信號發生器頻率f，并從對應駐波圖案中測出波長λ(定標系數為0.087 3 mm/pixel). 自來水和肥皂水的測量結果見表1.

表1 水波的頻率與波長

用ω2-gk與k做雙對數圖，擬合結果見圖11. 自來水數據的斜率為3.03，肥皂水數據的斜率為3.38， 斜率與理論值基本符合. 自來水的數據與理論更符合，這可能是肥皂水表面張力系數小，低頻時容易引起非線性效應造成的.

圖10 自來水和肥皂水的色散曲線

圖11 ln (ω2-gk)與lnk的關系

4 結束語

直接觀察鋪在透明亞克力板上的水膜(相當于1顆扁平的大水滴)上的駐波，通過光學方法將駐波圖樣投影在屏幕上，可以演示不同的駐波圖案，并且可以測量毛細波的色散關系. 承液板容易加工成不同的形狀與尺寸，方便進行設計性實驗，探究液膜邊界對波動的影響. 通過光源調制，可顯示不同時刻的駐波圖樣. 基于圖像的測量系統，操作簡便而且結果比較準確. 與克拉尼圖形實驗相互參照，該裝置可用來演示二維駐波，也可以作為液體表面張力系數的測量裝置，引入大學物理實驗教學.