無時限信號通過LTI系統(tǒng)的間接復頻域分析方法*

陳紹榮 ，何 健 ，薛在陽 ，陳柏良

（1.陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035；2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；3.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133；4.深圳市惟新科技股份有限公司，廣州 深圳 518000）

0 引 言

在國內外《信號與系統(tǒng)》著作[1-2］中，均提到了連續(xù)時間直流信號、符號函數(shù)、抽樣信號、無時限復指數(shù)信號和周期信號的雙邊拉普拉斯變換不存在。因此，這些信號通過LTI因果系統(tǒng)時，不能采用復頻域分析法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。本文在著作[3］的基礎上，借助信號分解的概念，首先將這些信號分解成反因果信號和因果信號之和，再利用LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)響應的可加性求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

1 無時限復指數(shù)信號通過LTI因果系統(tǒng)的間接復頻域分析方法

1.1 LTI因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應的復頻域表示式

設n階LTI因果系統(tǒng)的轉移函數(shù)為：

式中，λi(i=1,2,…,n)為LTI因果系統(tǒng)的特征根。

設激勵f(t)=Aewt，其中A為常數(shù)，w為復變量，且滿足主導條件 Re[w］＞Re[λi］max(i=1,2,…,n)。

無時限復指數(shù)信號f(t)=Aewt可寫成：

式中，ε(t)為單位階躍信號。

考慮到式（2），則LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以表示為：

由于：

因此，對式（3）兩邊取雙邊LT，結合式（4）和式（5），LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的復頻域表示式為：

式（6）是間接利用復頻域分析法求解無時限復指數(shù)信號通過LTI因果系統(tǒng)時的零狀態(tài)響應的依據(jù)。

1.2 無時限復指數(shù)信號通過LTI因果系統(tǒng)的間接復頻域分析方法舉例

例1：設一階LTI因果系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t)=e-tε(t)， 激 勵f1(t)=5etcost，f2(t)=5etsint， 試 分 別求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf1(t)和yf2(t)。

解：考慮到h(t)=e-tε(t)，則有：

假設f(t)=5e(1+j)t，考慮式（7），由式（6）可得：

對式（8）兩邊取ILT，可得：

即：

由式（10）可知，LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應分別為：

2 等效Jordan引理

設λi(i=1,2,…)為F(s)在s平面虛軸上的極點，以為半徑，在s平面上畫出半徑為R1,R2,…,Rn,…的不連續(xù)圓周序列CR1,CR2,…,CRn,…。在CRn上，復變量s=sn=Rnejθ，復數(shù)列為F(sn)，顯然若圓周序列CRn與布拉米奇路徑σ0±j∞分別交于A、C兩點，CABC是CRn上逆時針方向的一段弧，CADC是CRn上順時針方向的一段弧，如圖1所示。

圖1 等效Jordan引理的圓周序列示意

2.1 等效Jordan引理的內容

在圓周序列CRn上，若函數(shù)F(s)連續(xù)，且復數(shù)列F(sn)滿足條件：

不論布拉米奇路徑σ0±j∞位于s平面的左半平面σ0＜0，還是位于s平面的右半平面σ0＞0，均可以得到下述結論。

當t＞0時，有：

當t＜0時，有：

2.2 利用等效Jordan引理及留數(shù)定理計算ILT

2.2.1 象函數(shù)F(s)的收斂域屬于0＜σ＜β的情形

在s平面的右半平面上，作布拉米奇路徑σ=σ0±j∞（其中，0＜σ0＜β）。在圓周CRn上，若函數(shù)F(s)連續(xù)，且復數(shù)列F(sn)滿足等效Jordan引理的條件式（13），考慮式（14）和式（15），則有：

式中，λl(l=0,±1,±2,…)是象函數(shù)F(s)的第l個區(qū)左極點（Re[λl］≤ 0 的極點），λ′r(r=1,2,…,p2)是象函數(shù)F(s)的第r個區(qū)右極點（Re[λ′r］≥β的極點）；第二部分的負號是由于圍線的繞行方向為負向（即順時針方向）。

2.2.2 象函數(shù)F(s)的收斂域屬于α＜σ＜0的情形

在s平面的左半平面上，作布拉米奇路徑σ=σ0±j∞（其中，α＜σ0＜0）。在圓周CRn上，若函數(shù)F(s)連續(xù)，且復數(shù)列F(sn)滿足等效Jordan引理的條件式（13），考慮式（14）和式（15），則有：

式中，λl(l=1,2,…,p1)是象函數(shù)F(s)的第l個區(qū)左極點（Re[λl］≤α的極點），λ′r(r=0,±1,±2,…)是象函數(shù)F(s)的第r個區(qū)右極點（Re[λ′r］≥0的極點）；第二部分的負號是由于圍線的繞行方向為負向（即順時針方向）。

3 周期信號通過LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的間接復頻域分析方法

3.1 LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)零狀態(tài)響應的復頻域表示式

設n階LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的轉移函數(shù)為：

式中，λi(i=1,2,…,n)為LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的特征根，且 Re[λi］max＜0(i=1,2,…,n)。

設f0(t)是時限于區(qū)間t∈[0,T0］的時限信號，即滿足：

式中，ε(t)為單位階躍信號。

顯然，時限信號f0(t)的雙邊LT的收斂域為有限全s平面，即：

又設：

則周期為T0的周期信號fT0(t)可表示為：

對式（21）兩邊取雙邊LT，并考慮到式（20），則有：

式（24）又可以表示為：

對式（22）兩邊取雙邊LT，考慮式（20），則有：

考慮到式（23），則LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以表示為：

對式（27）兩邊取雙邊LT，結合式（25）和式（26），則LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的復頻域表示式為：

式（28）是間接利用復頻域分析法求解周期信號通過LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)時的零狀態(tài)響應的依據(jù)。

3.2 周期信號通過LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的間接復頻域分析方法舉例

解：考慮到f0(t)=ε(t)-ε(t-1)，則有：

考慮到h(t)=ε(t)-ε(t-1)，則有：

考慮到式（29）和式（30），由式（28）可得：

由式（31）可知，s=0是Yf(s)的二階極點；令1+e-s=0，即 es=ej(2n-1)π，得Yf(s)的一階極點λl=j(2l-1)π(l=0,±1,±2,…)。

由于式（31）中的兩項分別都滿足等效Jordan引理條件式（13），因此對式（31）兩邊取ILT，并考慮式（16）和式（17），可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應：

式（32）正是高度1、寬度為2、周期為2的周期三角波信號三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。

4 結 語

本文借助信號分解的概念，將無時限復指數(shù)信號或周期信號分解為反因果信號和因果信號之和，利用LTI因果穩(wěn)定系統(tǒng)響應的可加性，給出了一種求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應的間接復頻域分析方法。