寬角拋物方程模型處理復雜地形的一種方法*

俞紅兵 ，胡繪斌 ，儲飛黃

（1.國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037；2.94860部隊，江蘇 南京 210018）

0 引 言

在現代電子戰中，根據戰場環境的實際數據準確分析和評估復雜地形環境對電波傳播和電子戰系統作戰性能的影響，對于輔助指揮員進行正確的戰術部署和選擇恰當的戰略戰術，以獲取戰場電磁優勢、掌握戰場制電磁權具有極其重要的意義。迄今為止，人們已經建立了多種計算復雜地形上電波傳播特性的數學模型，其中，拋物方程模型（Parabolic Equation Model，PEM）是一種基于Maxwell方程建立起來的確定性電波傳播模型，與幾何光學(GO)或物理光學（PO）模型相比，其計算過程簡單且精度高，與矩量法（MOM）、有限元法（FEM）等積分方程方法和時域有限差分法（FDTD）等微分方程方法相比，PEM對內存要求低、計算速度快，可以進行遠距離電波傳播特性預測。由于上述優點，近年來，PEM得到了人們廣泛的關注和研究[1］。

和求解任何形式的Maxwell方程組都需要初始條件和邊界條件一樣，用PEM計算電波傳播問題時，主要需解決三個問題：（1）如何確定PEM的初始值？（2）采用何種數值方法求解拋物方程（PE）？（3）在相應的數值求解方法中，如何處理PE的邊界條件？對前兩個問題，前人已進行過比較深入的研究[2-3］，在此不再贅述，本文主要探討第（3）個問題——PEM處理復雜地形邊界條件的方法。為此，首先介紹計算電波傳播特性的PEM。

1 PEM概述

二維波動方程通過一定的近似處理可以轉化為以下的Feit-Fleck型二維寬角PE[2］：

式中，u(x,z)為任意距離-高度點上的場分布，n(x,z)=n0(x,z)+z/Re為隨地形高度變化而修正的大氣折射指數。n0為發射天線所在高度處的大氣折射指數，x、z分別表示傳播距離和高度，Re≈6370 km為地球半徑，k0=2π/λ為自由空間傳播常數。

式（1）就是寬角PEM。根據收發點之間的地形高程數據（可通過數字地圖來獲得）和地表電磁特性（主要為介電常數εr和電導率σ，可按ITU_R 527-4的規定來確定或人為確定[4］），結合收發點之間路徑上的大氣折射指數n(x,z)分布（對于低于1 km的低層大氣可通過已有成熟模型計算獲得[5］），采用離散分步混合付立葉變換方法（DMFT）來數值求解1)式[3,6］，就可計算出收發點之間的電波傳播路徑衰減。本文主要闡述PEM處理由地形高程數據描述的不規則地形邊界的方法和步驟。

2 PEM處理復雜地形邊界的方法

復雜地形環境主要指電波傳播區域的地勢是高低起伏的，地表特征則表現為海水、淡水、干燥地、濕地等類型[4］。

為了能夠采用DMFT來求解PE，需將不規則地形上的PE轉換成平地面上PE的形式，為此，需對圖1所示的不規則地表進行坐標變換。

圖1 不規則地表的平地面轉換

以函數z=T(x)=t(x)-x2/(2Re)來描述不規則地表，其中，t(x)為描述地形起伏邊界的函數，x2/(2Re)項則是考慮了地球曲率的影響。以不規則地形上某一點作為坐標原點，建立一個新坐標系(x′,z′)，且滿足：

設u(x,z)=e-iθψ(x,z)，θ為待定變量，ψ(x,z)為任一標量場分量，根據圖1，將式（2）代入式（1），可以得到以下形式的寬角PE[3］：

為了使式（3）與式（1）形式相同，設

將式（4）、式（5）代入到式（3）中可得：

這就是經平地面地形變換后所導出的寬角PE模型，通常將包含n(x′,z′)的項以修正折射指數表示為：

式（6）和式（1）相比僅僅是折射指數項不同。在式（7）中，若?T2/?x′2=0（即平地面），則m(x′,z′)=n(x′,z′)-1，這時式（6）就與式（1）完全一致?？梢?，通過平地面轉換，不規則地形對寬角PE的影響完全轉換為平地面上對大氣折射指數分布的影響。

當從數字地圖中抽取傳播地形剖面數據時，這種離散數據使得地形剖面是分段線性的，只存在?T/?x′項，?T2/?x′2=0，式（6）符合平地面條件，可采用DMFT求解。以下本文將詳細闡述對分段線性地形的處理方法。

為簡單起見，將 ?2T/?x′2用二階中心差分的形式來代替，即

假設地形剖面上A、B兩段是不連續的，其斜率分別為TA′和TB′，且TA′≠TB′，A、B兩段地形上方的場分別以ψA和ψB表示，如圖2所示。

圖2 地形剖面中不連續的兩段斜面

由于A、B的斜率不同，在電磁波由A傳播到B的過程中，根據式（4），在A、B段的交點xAB處θ是不連續的，而u(x,z)=e-iθψ(x,z)，因此ψA和ψB在相位上也是不連續的。為了反映地形變化對電磁場相位的影響，本文設定：

式（9）的思想就是當電磁波由A傳播到B時，根據兩段地形斜率強行改變B段上方場的相位，這與McArthur和Bebbington提出的扭轉波陣面的思想[7］十分相近。

在計算地表以上各高度網格上的場分布時，對于平地面邊界的情況，可采用DMFT方法計算出任意步進上、從0至zmax高度范圍內的場分布。對于不規則地形，各高度網格上場的計算也都要從地表算起，但此時地表高度不一定為零，因此對于分段線性地形剖面，除了要計算不連續地形交界點處的場以外，還需要將不同的地表高度轉換為相對零高度來計算。為此，本文采用所謂的“邊界平移法”（Boundary Shift，BS）來進行這樣的轉換處理，具體如下。

如圖3所示，設電波傳播到某一距離點D1處，其地表上方波陣面上的場為u(x,iΔz)，i=1,2,…N，N為DMFT算法的尺度。經過一個步進后，波陣面傳播到D2，設D2與D1處地表的高度差為Tx，則Tx所包含的高度網格數為

顯然，Tx-NtΔz＜Δz。

圖3 邊界平移（BS）法示意圖

在用BS方法計算D2處的場分布時，如果D2處是上升地形，即Tx＞0，則首先由D1處的場分布計算出D2處的場分布，再將此場分布的網格序號往下平移Nt這樣，D2處最大高度上所對應的網格序號就由N-1下降為N-Nt-1，再將超出最大高度的第(N-Nt)～(N-1)個網格點上的場設為零，就得到D2處從地表起至最大高度處各網格上的場分布，即

如圖3（a）所示。顯然，此時D2處的u所包含的元素個數還是N-1。

如果D2處是下降地形，即Tx＜0，同樣地，將D2處場分布的序號往上平移Nt，同時，不高于NtΔz的各高度網格點上的場也設為零，即：

如圖3（b）所示。顯然，此時D2處的u所包含的元素個數也還是N-1。

如果D2和D1高度相同，即Tx=0，則維持原來波陣面上的場分布，不進行BS轉換。

通過以上的BS方法處理，在計算仰角范圍內，式（6）就可以計算不規則地形上任意距離和高度處的場分布。例如，要計算距離為D、高度為H的p點處的場值，如圖4所示，圖中以▲表示p點所處的位置。

圖4 不同高度、不同距離點處場的計算方法

當p點恰好位于高度網格上，即mod(H/Δz)=0時，mod表示取余數計算，則第H/Δz網格上的場即為所求；當p點不位于任何高度網格上時，mod(H/Δz)≠0，此時可以通過對p點上下兩個網格點上的場進行插值計算來獲得p點的場值。不妨設

則采用線性內插方法時，p點的場為：

當距離點D恰好位于某個步進處時，該步進上的u即為D處的場分布，當D不位于任何一個步進上時，同樣可以采用線性內插的方法求得D處的場分布，即

如圖（4）所示。

至此，利用DMFT算法[6］，結合上述對不規則地形的處理方法，就可以用式（6）的寬角PEM計算不規則地形條件下任意距離和高度點處的電波傳播衰減。

3 算例

為了便于比較，本文采用文獻[8］中的一個算例，同樣不考慮自由空間電波傳播損耗。

算例：標準大氣條件下（即?n/?h≈-40×10-6時的大氣環境），電波在一個類似正弦包絡形狀的不規則地形上傳播，其中，地形函數為：

顯然，這是一個?2T/?x2≠0的連續函數。式中，h=229 m為包絡的最大高度，x1=15 km為包絡半高程所在的距離，w=10 km為包絡的半寬度。地形剖面如圖5所示。

圖5 類似正弦包絡的地形剖面

發射天線高度為Ht=30.5 m，頻率為f=3.0 GHz，高斯方向圖：A(p)=e-p2ω2/4，p=k0sin(θ-θ0)，θ0為發射天線的仰角，θ為每一步進處的射線仰角，為方向圖的3 dB寬度。電波水平極化。最大傳播距離為rmax=50 km。所有地表均設為PEC。

圖6（a）顯示了本文計算結果的偽彩圖，圖中的不同顏色代表自地面起至600 m高度區域內的電波傳播衰減值分布，其中，圖下方的色帶顯示了不同衰減值所對應的顏色。

圖6（a）和文獻[8］中的圖2基本上是一致的，主要的區別就是：在0～5 km距離范圍內，在一些較高的點上，圖6（a）沒有給出衰減計算結果。這是因為這些點處的仰角超過了寬角PE模型的計算仰角，沒有計算。文獻[8］中的圖2雖然顯示了0～5 km距離內較大仰角處的衰減值，但不排除這是采用其它方法計算所得的結果。

圖6（b）則顯示了最大距離處電波傳播衰減值隨高度變化的情況。從圖中可見，從地面起至地形最大高度處，傳播區域逐漸由陰影區過渡到亮區，在200 m高度以上，由于天線的高度增益，衰減值幾乎沿直線減小。總體來看，電波在類正弦地形上的傳播衰減特性和在單刃峰地形上的繞射效應類似，只是其衰減值的振蕩更大。

圖6 電波在類正弦包絡地形上的傳播衰減

通過以上算例可以看出，本文方法計算不規則地形上的電波傳播特性是比較準確的。由于算例中所有的地表都設為PEC，因此，在計算PE初始場時，地表反射系數取為-1。實際上，對于非PEC的地表結構，本文方法依然適用，只是需要根據地表的相對介電常數εr和電導率σ，計算出地表反射系數，再由反射系數計算出新的PE的初始場分布即可，地表類型并不影響本文對地表的處理方法。

4 結 語

通過以上算例可以看出，本文給出的寬角PE模型處理復雜地形的方法是有效的、準確的，可以為計算電磁波在各種復雜地形上的傳播衰減提供一條行之有效的途徑。