競爭型反應擴散方程的正解與時間最優控制

劉遠凱,張 亮

(武漢理工大學數學系,湖北武漢 430070)

1 引言

設??Rd(d≥1)為帶光滑邊界??的有界區域,ω為?的非空開子集.記QT=?×(0,T),ΣT= ??×(0,T);并以|·|p和k·kp分別記函數空間Lp(?)和Lp(QT)(1≤ p≤ ∞)的范數.對于任意的Banach空間X,用X2表示笛卡爾積X×X.設

其中y=y(x,t)和z=z(x,t)分別表示兩種物質的密度;?ny=?y/?n,?nz=?z/?n,n表示邊界??的外法單位向量;給定的函數g=g(x,t)和h=h(x,t)表示物質的輸入;μ1和μ2是正常數,表示擴散系數;a和b為非負常數,表示反應常數;y0=y0(x)和z0=z0(x)表示初始值;f=f(x,t)為控制函數,1ω為集合ω上的特征函數,1ωf表示控制函數經子集合ω作用于系統.為了簡化符號,在不發生混淆的情況下,我們省略函數表達式中的x和t.

給定時刻T,考慮如下形式的反應擴散系統:

系統(1.2)在生物和化學方面均為非常重要的模型,相關的工作非常豐富.因為物質的密度為正值,所以僅考慮系統(1.1)和(1.2)的正解.為此,給出如下的假設

(H1)g,h∈L∞(0,∞,L∞(?)),g(x,t)≥M0,h(x,t)≥ M0a.e.(x,t)∈?×(0,∞);

(H2)y0,z0∈ L∞(?)∩H2(?),y0(x)≥ m0,z0(x)≥ m0a.e.x∈ ?,其中M0,m0均為正常數.

本文將證明,在假設(H1)和(H2)的條件下,存在正常數M?,使得系統(1.2)的解(y?,z?) 滿足

這樣的解稱之為系統(1.2)的正軌跡.以此正軌跡為目標函數,考慮系統(1.1)關于正軌跡(y?,z?)的能控性問題和時間最優控制的存在性問題.具體地,設ρ>0,記

稱系統(1.1)對于正軌跡(y?,z?)在時刻T是局部精確能控的,如果對于一定范圍內的初值(y0,z0),都存在控制f∈Uρ使得系統(1.1)相應的解滿足

此外,希望系統(1.1)的解保持非負,即y和z滿足y(x,t)≥0,z(x,t)≥0 a.e.(x,t)∈QT.設

=={T>0;存在控制f∈Uρ使得系統(1.1)在時刻T處精確能控到目標(y?,z?)(·,T)},并考慮如下的時間最優控制的存在性問題

亦即系統(1.1)精準達到目標(y?,z?)的最短時間是否存在的問題.該問題可以解釋為系統在控制的作用下在最短的時間內與給定的軌跡同步.

關于非線性拋物型方程解的存在性問題,相關的研究工作比較深入,利用多種方法和技巧可以研究解的存在性、唯一性等性質[1?2].由拋物型偏微分方程或方程組刻畫的分布參數系統的控制問題,尤其是能控性問題和時間最優控制問題,近二十年以來一直受到持續關注,目前已經有一些經典的結果,比如文獻[3–6].關于拋物型方程組的能控性和時間最優控制問題,因其特有的數學結構以及廣泛的實際應用背景,近年來愈發引起關注.在文獻[7]中,作者首次研究了一類反應擴散方程的局部能控性問題,但是由于在同一內部區域對每個物質施加控制,因此該問題可以轉化為單一的拋物型方程的能控性問題.在文獻[8–10]中,作者考慮了拋物型方程組在一個控制下的能控性問題或時間最優控制問題.目前,關于拋物型方程組在一個控制的能控性問題仍然有一些公開的難題沒有解決.關于拋物型方程的時間最優控制問題,最近在文獻[11–15]中出現了一些最新的進展.本文所研究的內容是對文獻[7]和[9]的結果的改進.首先,本文所研究的模型與文獻[7]和[9]不同,非齊次項g與時間變量有關,且控制施加在一個方程之上,因此,本文的結果是文獻[7]和[9]的推廣.其次,本文利用上下解方法得到系統(1.1)的嚴格正解,這是本文的主要結果之一.最后,本文探討了系統(1.1)關于正軌跡(y?(x,t),z?(x,t))的時間最優控制的存在性問題,該問題可以解釋為系統在控制的作用下和預定的軌跡能否在最短的時間內同步,這是與文獻[7]和[9]的不同之處.

2 正解的存在性

本節給出了系統(1.2)存在唯一正解的證明,得到如下結果.

定理2.1假設(H1)和(H2)成立,則系統(1.1)存在唯一正解

并且存在常數C,M?>0,使得解滿足(1.3)式和不等式

為了證明這個結論,給出如下引理.

引理 2.1令 0< α <1.設g,h滿足g,h≥ M0,y0,z0∈Cα(?)滿足其滿足 y(x,t)≥ M?,z(x,t)≥ M?,(x,t)∈QT.且存在一個足夠小的常數M?滿足0<2M?≤m0,則系統(1.2)存在唯一解

這里λ為一足夠大的常數.根據比較定理,得遞推關系

引理 2.2設

定理 2.1的證明構造光滑函數序列使gn,hn在L

2(QT)中強收斂于g,h,y0n,z0n在H2(?)中強收斂于y0,z0,并且m0.利用引理2.1可以得出,對于任意的n,系統(1.2)都至少存在一個解

3 能控性

3.1 在一個控制下線性系統的零能控性

這一節研究具有一個控制的線性系統的零能控性:

(H3)在ω中存在一個非空子集ω0?ω和正常數σ,使a2(x,t)≥σ或a2(x,t)≤?σ a.e.(x,t)∈ ω0×(0,T).

考慮線性系統(3.1)的伴隨系統

其中pT,qT∈L2(?).為了得到系統(3.1)的零能控性,我們需要一個全局的Carleman不等式和伴隨系統(3.2)的能觀性估計.令ω0??ω0是?中的非空子集,且有函數

有如下適合于線性方程組的Carlman不等式.

引理3.1[9]設條件(H3)成立.存在僅依賴于?,ω0,ω0,kaik∞的常數λ1>1,使得對任意的λ>λ1,s>γ(λ)(T+T2),系統(3.2)的解(p,q)都滿足

根據引理3.1,有如下能觀性估計.

引理3.2[9]設條件(H3)成立,T>0.存在常數λ>1且γ(λ)>4,s>0,系統(3.2)的解(p,q)都滿足

其中常數CT形如

這里c0是依賴于?,ω0,ω0的正常數.

此外,需要另一種能觀性估計,根據引理3.1和3.2,利用文獻[15]中的方法可以得出

引理3.3設條件(H3)成立,存在正常數K 和s,使系統(3.2)的任意解(p,q)都滿足

其中CT是由(3.5)式給定,K=8γ2(λ1)(1+T),λ1和γ(λ1)由引理3.1給出.

定理3.1設條件(H3)成立,如果存在正常數K,使得非齊次項φ,ζ滿足

則稱系統(3.1)是零能控的,即存在控制f∈L∞(QT)使得對于任意的(y0,z0)∈L2(?)2,系統(3.1)的解(y,z)∈(L2(0,T;H1(?))∩C([0,T];L2(?)))2都滿足y(x,T)=z(x,T)=0 a.e.x∈?.此外,控制函數滿足如下估計

其中CT是由(3.5)式給定.

證設s和λ使不等式(3.4)和(3.6)中成立.對任意的ε>0,考慮如下最優控制問題:

其中f∈L2(QT),(y,z)是系統(3.1)的解.可以驗證問題(P)的最優解(fε,(yε,zε))的存在性,利用 Pontryagin 極大值原理[3],fε=qεe3sα/21ω0,其中 (pε,qε)是伴隨系統 (3.2)的解,

(yε,zε)是系統(3.1)相應于f=fε的解.根據線性系統(3.1),伴隨系統(3.2),引理3.2和3.3,可以得出

其中CT和υ由(3.5)和(3.7)式給出.利用(3.9)式和引理3.3,可知控制fε滿足(3.8)式.由此,存在子列fεk,使得fεk在L∞(QT)中弱?收斂于f,根據線性拋物型方程的線性性,可以驗證系統(3.1)的解(yεk,zεk)對應于fεk收斂到系統(3.1)的解(y,z).最后,利用(3.9)式,可得在?中幾乎處處都有y(x,T)=0,z(x,T)=0.

注3.1定理3.1的結論應用到兩個特殊情形:(i)φ=0,ζ=0;(ii)對某些ε>0,在(x,t)∈ ?×(0,T ?ε)中,φ,ζ滿足 φ(x,t)=0,ζ(x,t)=0.

3.2 反應擴散系統的局部精確能控性

本節運用Kakutani不動點定理[3]證明非線性系統(1.1)的局部精確能控性.

定理3.2設(y?,z?)為系統(1.2)對應于的一個正解,且滿足(1.3)式.令M

就有控制f∈Uρ使得系統(3.11)有唯一正解

滿足于(1.4)式.

證設Y=y?y?,Z=z?z?,Y0=y0?y?0,Z0=z0?z?0,則(Y,Z)滿足如下方程組

只須證明系統(3.11)的局部零能控即可.為此,將該方程組線性化,即得

其中 (ξ,η)∈ K. 這里 K={(ξ,η);kξk∞≤ M,kηk∞≤ M} ? L2(QT)2,M

根據(3.13)式和線性拋物型方程的能量估計,有

注3.2定理3.2表明系統(1.1)可以在帶有約束條件的控制作用下的局部精確能控.事實上,當控制沒有約束時,局部精確能控性對正軌道(y?,z?)也是有效的.亦即,對任意滿足

的(y0,z0)∈H2(?)2都存在控制f∈L∞(QT)使得在T時刻,系統(1.1)的軌跡(y,z)在T時刻能達到目標軌跡 (y?,z?)(·,T).

設ω1和ω2為?中的開集,至少有一個非空.考慮如下控制系統

推論 3.1設(y?,z?)和常數c1由定理3.2給出,如果 (y0,z0)∈ H2(?)2滿足(3.10)式,則存在控制f1,f2∈Uρ使得系統(3.15)有唯一正解(y,z)并滿足y(x,T)=y?(x,T),z(x,T)=z?(x,T)a.e.(x,t)∈ QT.

證 不妨設ω2非空.取f1=0,則只需根據定理3.2和引理2.2即可證明.

4 時間最優控制的存在性

定理4.1設(y?,z?)和常數c1由定理3.2給出,對于任意的(y0,z0)∈H2(?)2,若其滿足

則時間最優控制問題(TP)至少存在一個時間最優控制.

和

取T≥T1,作輔助函數ˉyn如下:ˉyn=yn,當(x,t)∈?×(0,Tn]時;ˉyn=y?,當(x,t)∈?×(Tn,T)時.類似定義ˉzn.再做輔助函數ˉfn如下:ˉfn=fn,當(x,t)∈?×(0,Tn]時;ˉfn=0,當(x,t)∈?×(Tn,T)時.于是(ˉyn,ˉzn)∈(L2(0,T;H2(?))∩W1,2([0,T];L2(?)))2為下列方程組的解

其中κ為與時間T無關的常數.根據定理2.1中的不等式,可以得到如下估計