一個三次等時中心在非光滑擾動下的極限環分支

宋海風,彭臨平,2

(1.北京航空航天大學數學與系統科學學院,北京 100191)

(2.北京航空航天大學數學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

1 引言

眾所周知,研究多項式微分系統的極限環個數是實平面微分系統定性理論的重要部分之一,這類問題的主要研究方法有逆積分因子法,Abelian積分法及平均方法等.對于光滑系統的極限環個數,已經得到了很多重要結論[1?10].

由于非光滑現象廣泛存在于自然科學和工程技術等領域,近年來非光滑系統越來越被重視,特別是關于非光滑系統極限環分支的研究工作更是層出不窮,其中有兩個重要的工作要特別指出:Liu和Han研究了平面分段光滑的Hamilton系統的閉軌族的極限環分支問題,推導證明了分段光滑系統的一階Melnikov函數計算公式[11];Llibre等介紹了不連續系統的平均理論,給出了平均函數的表達式[12].又如Liang和Han利用Melnikov方法,研究了擦邊閉軌內外兩側閉軌族分支出的極限環的最大個數,給出了廣義同宿分支的條件及二重廣義分支的條件[13].Li和Liu研究了分段光滑二次微分系統的閉軌族的極限環分支問題,借助于不連續微分系統的平均理論和復方法,估計了所考慮的系統在n次擾動下分支產生的極限環的最大個數[14].Cen等利用一階平均方法及Chebyshev準則,研究了一類二次等時中心在分段光滑的二次多項式擾動下的極限環分支現象,給出了分支產生的極限環的最大個數[15].

本文選取了如下三次可積非Hamilton系統

顯然,系統(1.1)有首次積分

系統(1.1)的相圖如圖1所示.

圖1 :系統(1.1)的相圖

利用非光滑系統的一階平均方法,研究系統(1.1)的任意分段三次多項式小擾動即

的極限環分支現象,其中0<|ε|?1,Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)是關于變量x和y的三次多項式,表達式如下

根據系統特點,借助于一些數學技巧,證明了下述定理.

定理1.1對于三次等時中心(1.1),在任意小的分段三次多項式擾動下,從未擾系統的周期環域中至多分支出7個極限環,而且此上界是可以達到的.

注 Li和Zhao已在文獻[1]中研究了系統(1.1)在光滑擾動情況下的極限環分支問題,得到的結論是最多可以從未擾動系統的周期環域中分支出3個極限環.與得到的結論相比可知,非光滑擾動比光滑擾動能分支出更多的極限環.

本文的結構安排如下:第二部分簡要介紹非光滑系統的一階平均理論；第三部分計算系統(1.2)的一階平均函數；第四部分證明定理1.1.

2 非光滑系統的平均理論

在定理1.1的證明過程中將會用到一階平均方法,所謂的平均方法即是將極限環的個數問題轉化為研究一階平均函數的簡單零點個數.下面首先對平均理論做一個簡單介紹,詳細論述見文獻[12,16,17].

引理2.1[12]考慮如下非光滑微分系統

其中

F1,F2:R×D→R,R1,R2:R×D×(?ε0,ε0)→R,h:R×D→R都是連續函數,且這些函數均是關于變量θ以T為周期的周期函數,D是R中的開子集,sign(h)是如下定義的符號函數

假定h(θ,r)是C1函數且0為其正則值,記M=h?1(0),Σ ={0}×D*M,Σ0=定義系統(2.1)的一階平均函數f:D→R如下

假定系統(2.1)滿足下面(i),(ii),(iii)三個條件.

(i)F1,F2,R1,R2和h關于r滿足局部Lipschitz條件;

(ii)對于a∈Σ0,存在a的一個鄰域V,使得對任意的z∈ˉV{a},有f(z)6=0及Brouwer度函數dB(f,V,a)6=0;

為了更方便地驗證引理2.1中的條件(ii),本文中我們用文獻[16]中一個充分條件來代替條件(ii).

注2.1假定f:D→R是C1函數且f(a)=0,其中D是R中的開子集且a∈D.如果雅克比行列式Jf(a)6=0時,存在a的一個鄰域V使得對所有的有

考慮如下形式的平面微分系統

其中P(x,y),Q(x,y),p(x,y),q(x,y):R2→R是連續函數,ε是小參數.假設系統(2.3)|ε=0圍繞中心(0,0)的周期環域

其中H(x,y)=h是系統(2.3)|ε=0的一個首次積分,hc和hs分別對應中心和分界線處的Hamilton函數值.

引理2.2[16]考慮系統(2.3)|ε=0及其首次積分H(x,y)=h.假設對于周期環域中的所有(x,y),都有xQ(x,y)?yP(x,y)60成立.設是一個連續函數,并且對所有的和θ∈ [0,2π)都有

其中μ=μ(x,y)是系統(2.3)|ε=0相應于首次積分H(x,y)=h的積分因子,x=ρ(r,θ)cosθ,y= ρ(r,θ)sinθ.P,Q,p 和q 同前.

3 平均函數的計算

對于系統(1.1)的Hamilton函數

選擇如下的函數

使得

對系統(1.2)做變換

則有

其中

這里Pi(θ,r)和Qi(θ,r)是(1.2)式中的Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)通過(3.1)式變換得到的.令

則系統(3.2)可以寫成以下標準形式

其中

易驗證方程(3.3)滿足引理2.1中的三個條件,其一階平均函數為

對上式中第二個積分做變量替換θ→π?θ,則(3.4)式轉化為

其中

直接計算可得下列結論.

引理3.1以下積分等式成立

將引理3.1代入(3.5)式整理得

其中

且

命題3.1式(3.6)中的8個函數fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)是線性無關的且系數k1,k2,···,k8關于擾動參數是相互獨立的.

證 易知函數fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)在r=0處的泰勒展開式分別為

通過計算可以得到

所以這些函數是線性無關的.進一步有

由此可知系數k1,k2,···,k8關于擾動參數是相互獨立的.

4 主要結果的證明

這一部分主要研究f(r)的零點個數,為此介紹一個重要的引理.

引理4.1[2]考慮n個線性無關的解析函數hi(x):D→R,i=1,2,···,n,其中D?R是一個區間.假設存在k∈{1,2,···,n}使得hk(x)在D 上不變號,則一定存在n個常數ci(i=1,2,···,n) 使得在D上至少有n?1個簡單零點.

由此引理及命題3.1得

命題4.1函數f(r)在區間(0,+∞)上零點個數的最大值至少為7.

定理1.1的證明為了估計f(r)在r∈(0,+∞)上零點個數的最小上界,令F(r)=rf(r).顯然F(r)和f(r)在r∈(0,+∞)上有完全相同的零點個數.進一步有

對F(r)求五階導得

那么

則函數(4.1)變為

其中

由于多項式B(t)的系數是對稱的,若t06=0是其零點的話,則1/t0也為其零點,所以g(t)在(0,1)上至多有3個零點,即F(5)(r)在(0,+∞)上至多有3個零點,從而F(r)在[0,+∞)上至多有8個零點.由于F(0)≡0,所以F(r)在(0,+∞)上至多有7個零點,由其定義知函數f(r)在(0,+∞)至多有7個零點.再根據命題4.1得f(r)零點個數的最大值為7.

根據引理2.1,系統(1.2)至多有7個極限環從未擾動系統的周期環域中分支出來,而且最大個數7是可以達到的.定理1.1得證.