細胞不同鋪展程度的張拉整體模型的計算分析

王麗麗，陳維毅

(太原理工大學 生物醫學工程學院，太原 030024)

細胞是生物體內具有特定結構和力學特性的基本單元，能夠抵抗細胞內外的生理環境和力學刺激[1-4]。細胞骨架(cytoskeleton,CSK)是指真核細胞中的蛋白纖維網狀結構，主要由微絲(microfilaments,MF)、微管(microtubules,MT)和中間纖維(Intermediate filament,IF)組成[5]。CSK網格在決定細胞的力學性質方面有著非常重要的作用[6]，它不僅能夠維持細胞形態及承受外力，而且還可以參與許多重要的生命活動，例如細胞運動、能量轉換、信息傳遞、基因表達、細胞分化等。所以，對CSK的研究，是細胞生物學及細胞生物力學研究中最活躍的領域之一[7]。

迄今為止，關于CSK力學模型的研究受到了學者廣泛的關注。經典的CSK力學模型主要有：泡沫模型(Open-cell Foams)[8]、張拉整體模型(Tensegrity Model)[9-11]和索網模型(Cable Network Model)[12]等。早在20世紀90年代，INGBER et al[9-11]觀察到細胞的變形與張拉整體模型的變形極其相似且認為細胞是有預應力的張拉整體模型。2000年，STAMENOVIC et al[13]基于張拉整體模型對細胞彈性進行了定量分析，研究表明張拉整體模型能夠預測細胞彈性的上下限。2004年，MCGARRY et al[14]應用有限元建模方法描述了粘附真核細胞的生物力學屬性，認為CSK在確定細胞剛度方面起關鍵作用。2010年CHEN et al[15]研究了在細胞鋪展時復雜性不同的張拉整體模型的動能以及力的分布情況。2011年，SANTIS et al[16]應用細胞張拉整體模型分析了細胞是如何感知基底彈性的。2016年，VOLOSHIN[17]應用張拉整體模型模擬了CSK在剛度可變的基底上的運動。但以上研究均未考慮IF的作用。而IF作為CSK三大組成成分之一，它在細胞質和細胞核中都有分布，IF在細胞質中起支架作用并與細胞核的定位有關，是保持細胞內結構機械完整性的主要因素[18-21]。且JANMEY et al[22]和STAMENOVIC et al[23]也指出IF與細胞的變形有關，尤其是在大變形的情況下，即應變大于20%的情況下。因此考慮含有IF的CSK模型是很有必要的。

綜上所述，本文提出了一種考慮IF的張拉整體模型，通過理論計算得到不同鋪展程度的張拉整體的頂點坐標及其質心位置，并建立相應的有限元模型。通過對該模型進行分析計算研究細胞的整體剛度是否與鋪展程度有關以及IF在CSK中的作用。

1 理論計算

1.1 計算張拉整體模型的頂點坐標

在體外，數小時后，細胞逐漸由懸浮狀態變成鋪展狀態[24]。本文采用球形表示懸浮細胞，球缺表示鋪展細胞[25]，細胞不同鋪展程度的示意如圖1所示。

圖1 細胞不同鋪展程度示意 Fig.1 Schematic diagram of cells with different spreading degrees

當細胞鋪展后，張拉整體模型的各個頂點坐標與球缺高度h和接觸半徑r0的比值h/r0有關，并滿足下列關系式：

(1)

式中：R是球缺的半徑，y1是半徑的中心坐標，θ是從水平基底旋轉到球缺邊緣處的夾角，0≤θ≤90°.

首先根據等體積法計算鋪展細胞的等效球半徑：

(2)

由于正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱，20個面，為5個柏拉圖多面體之一，因此可得等效球細胞的張拉整體模型的各個頂點坐標：A(±m，0，±n)；B(±n，±m，0)；C(0，±m，±n).正二十面體的邊長a表達式如式(3)所示：

(3)

等效球中每個頂點到參考點(0，Re，0)的距離，即弦長wi，如下式：

相應的弧長li為：

(4)

式中：(xi，yi，zi)是頂點坐標；βi是兩點間的夾角。

計算鋪展細胞的張拉整體的頂點坐標。若頂點不在基底上，即y2>0時，

(5)

則

x2(i)=r2(i)sin60°;z2=r2(i)cos60° .

(6)

如果頂點在基底上，即y2=0，則

x2(i)=l2sin60°;z2(i)=licos60° .

(7)

總之，鋪展細胞的頂點坐標為(x2,y2,z2).

1.2 計算IF中心坐標

由于細胞質中的IF連接核表面和細胞膜表面形成一個連續的由核向四周輻射的網狀結構[21]，因此本文假定細胞核的中心位于鋪展細胞的質心上，IF是通過連接細胞核的中心和張拉整體結構頂點而構成的。不同鋪展程度的細胞的質心公式如下：

(8)

2 張拉整體結構的有限元模型

2.1 不同鋪展程度的張拉整體模型

有限元法是一種有效的離散化數值計算方法，其基本原理是將自由連續體分割成有限個小單元組成的集合體，此過程就成為有限元模型的離散化[26]。由于張拉整體結構的變形與細胞變形極其相似，因此，本文根據表1應用有限元軟件ABAQUS構建了6種張拉整體結構來模擬鋪展程度不同的貼壁細胞的CSK.每個模型包括：6根壓桿(表示MT)，24根拉桿(代表MF)。其中，一種情況為：張拉整體模型不含IF(見圖2)；另一種情況為：張拉整合模型包含12根IF(見圖3)。

表1 細胞不同鋪展程度的尺寸[27]Table 1 Size of cells with different spreading degrees[27]

IF又稱中間絲，它是介于MT和MF之間的一類纖維[7]，因此本文選取IF的橫截面積為100 nm2，所用的材料參數及幾何屬性如表2所示。

圖2 不含IF的不同鋪展程度細胞張拉整體模型示意(紅線代表MT，黑線代表MF) Fig.2 Schematic diagram of tensegrity model with different spreading degrees: red line represents MT, black line represents MF

2.2 邊界條件及網格劃分

有限元建模時，由于桁架單元是只能承受拉壓載荷的桿，且它們不承受彎矩[30]，因此本文應用桁架單元來模擬MF，MT，IF.張拉整體模型的每個頂點共連接1根壓桿和5根拉桿，其中有4根拉桿代表MF，另1根與質心相連接的拉桿代表IF，頂點處采用復合鉸鏈約束，只限制他們之間的線位移，不限制角位移。在模型a到模型d中，只有3個頂點位于xz面上，而模型e和模型f有6個頂點位于xz面上，因此使用位于xz面上的頂點表示與基底的粘附接觸點，該接觸點只限制其在y方向的線位移。質心點是自由點，不施加任何約束，與基底平行的離基底最遠的3個點施加位移載荷，向上運動2 μm.劃分網格時，每個桁架單元只劃分一個網格。

圖3 含IF的張拉整體模型示意(紅線代表MT，黑線代表MF，藍線代表IF) Fig.3 Schematic diagram of tensegrity model with different spreading degrees: red line represents MT, black line represents MF, blue line represents IF

表2 CSK和基底的幾何屬性及材料參數[28-29]Table 2 Geometry and material properties of the cytoskeleton and substrate[28-29]

3 結果與討論

本文基于球內接正二十面體，計算求得不同鋪展程度的張拉整體模型的頂點坐標并根據質心公式求得其相應的質心位置。然后根據計算所得各個頂點坐標建立相應的有限元模型，并進行分析計算。由圖4-圖6得出：

1) 由圖4和圖5可知，無論是否考慮IF，細胞鋪展程度越大，產生相同變形時，它對基底的反作用力就越大，就表明其剛度越大。與COUGHLLIN et al[31]通過對粘附細胞的測量得出的結論是一致的，即細胞鋪展會影響CSK的力學特性，且鋪展程度越大，剛度越強。

圖4 細胞不同鋪展程度對基底的反作用力(不含IF) Fig.4 Reaction diagram of cell with different spreading degrees to the substrate (no IF)

圖5 細胞不同鋪展程度對基底的反作用力(含IF) Fig.5 Reaction diagram of cell with different spreading degrees to the substrate (including IF)

圖6 IF在不同鋪展張拉整體模型中的作用 Fig.6 Role of IF in tensegrity with different spreading degrees

2) 通過圖6可以發現無論鋪展程度如何，考慮IF的張拉整體模型都顯著提高了CSK的整體剛度，這也就表明了IF在細胞中起著至關重要的作用。

本文應用了正二十面體張拉整體模型模擬CSK，該模型是把復雜的CSK網格結構抽象和簡化成了規則的幾何形狀，但由于模型最多只能有6個頂點與基底接觸形成粘附點并達到最大的鋪展狀態，不能反映出真實CSK結構的多樣性和復雜性，下一步工作將采用更復雜的張拉整體模型研究其在不同鋪展狀態時的變化規律。