開(kāi)裂鋼筋混凝土梁的車(chē)致振動(dòng)研究

陳興達(dá)，朱勁松，b

(天津大學(xué) a.建筑工程學(xué)院，b.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

運(yùn)營(yíng)中的鋼筋混凝土橋梁，會(huì)因設(shè)計(jì)失誤、超載以及自然災(zāi)害等原因產(chǎn)生裂縫，這些存在于結(jié)構(gòu)當(dāng)中的裂縫層對(duì)橋梁整體的性能產(chǎn)生影響。結(jié)構(gòu)體中能夠隨著結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)張開(kāi)和閉合的裂縫被稱(chēng)為“呼吸裂縫”，橋梁中的大部分裂縫均屬此類(lèi)。在車(chē)輛荷載的沖擊作用下，呼吸裂縫的開(kāi)合現(xiàn)象會(huì)被放大，甚至對(duì)橋梁整體動(dòng)力性能產(chǎn)生影響。因此研究呼吸裂縫對(duì)橋梁整體振動(dòng)的影響對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別及性能評(píng)估具有指導(dǎo)意義。

在進(jìn)行開(kāi)裂結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析時(shí)，呼吸裂縫的模擬主要有以下兩種模型。第一種模型稱(chēng)之為呼吸裂縫的損傷函數(shù)模型。LAW et al[1]通過(guò)在WAHAB et al[2]提出的靜力作用下裂縫的損傷函數(shù)模型中加入與車(chē)輛荷載運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)的參數(shù)來(lái)模擬呼吸裂縫的特殊性質(zhì)，并用T梁模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，研究了受損T梁的動(dòng)力響應(yīng)。殷新鋒等[3]也用呼吸裂縫損傷函數(shù)模型研究了開(kāi)裂混凝土連續(xù)梁橋的動(dòng)力響應(yīng)。第二種模型稱(chēng)之為呼吸裂縫的扭簧模型。LEE et al[4]運(yùn)用歐拉梁理論和假設(shè)模態(tài)法將梁體以斷裂面為界分成兩段獨(dú)立的梁，斷裂面的轉(zhuǎn)動(dòng)不連續(xù)則用扭簧進(jìn)行模擬，研究了移動(dòng)荷載作用下不同荷載大小和裂縫大小對(duì)開(kāi)裂梁振動(dòng)特性的影響。CHENG et al[5]假設(shè)模型中的扭簧剛度以均值為中心呈頻率與一階振型頻率相等的正弦式變化，研究了開(kāi)裂懸臂梁的振動(dòng)響應(yīng)。ARIAEI et al[6]則假設(shè)模型中的扭簧剛度與當(dāng)前曲率和最大曲率有關(guān)的函數(shù)變化，用離散元法和有限元法對(duì)移動(dòng)荷載作用下開(kāi)裂簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了參數(shù)分析。呼吸裂縫的損傷函數(shù)模型雖能體現(xiàn)呼吸裂縫在車(chē)輛荷載作用下剛度的改變，但它是在開(kāi)裂截面一定區(qū)域范圍內(nèi)對(duì)梁的剛度進(jìn)行折減，未能體現(xiàn)呼吸裂縫內(nèi)部作用的本質(zhì)，應(yīng)用時(shí)比較麻煩。而對(duì)于呼吸裂縫的扭簧模型目前提出的扭簧剛度的變化函數(shù)均未能考慮到車(chē)輛荷載的特殊性，不宜用在橋梁的車(chē)致振動(dòng)研究中。

為了研究呼吸裂縫對(duì)車(chē)輛荷載作用下開(kāi)裂鋼筋混凝土梁振動(dòng)性能的影響，本文首先給出了常用的呼吸裂縫的定剛度模型，并以此為基礎(chǔ)，通過(guò)設(shè)定混凝土裂縫的傳力寬度閾值，建立了車(chē)輛荷載作用下混凝土裂縫的變剛度模型；接著采用分離式分析方法編制了開(kāi)裂鋼筋混凝土梁與車(chē)輛荷載的耦合振動(dòng)分析程序；最后，以開(kāi)裂的鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁為例，分析了不同裂縫模型的異同，并研究了車(chē)輛荷載大小對(duì)開(kāi)裂鋼筋混凝土梁振動(dòng)性質(zhì)的影響。

1 呼吸裂縫模型

1.1 定剛度模型

為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，在此僅考慮在彎矩作用下的開(kāi)裂Euler-Bernoulli梁。梁的參數(shù)如圖1所示，其中h表示梁高，a表示裂縫的名義深度。θ表示彎矩M作用下裂縫的名義局部轉(zhuǎn)角。若設(shè)裂縫所在截面的柔度系數(shù)為Cm，則θ和M的關(guān)系式可表示為：

θ=CmM.

(1)

柔度系數(shù)Cm可通過(guò)斷裂力學(xué)分析得到：

(2)

(3)

圖1 開(kāi)裂梁示意圖 Fig.1 Schematic diagram of cracked beam

建立裂縫的定剛度模型梁時(shí)，通常將梁體在裂縫所在截面處分開(kāi)，并用線性扭簧連結(jié)，如圖2所示，此時(shí)扭簧的剛度為：

(4)

圖2 扭簧連接示意圖 Fig.2 Schematic diagram of torsion spring connection

1.2 變剛度模型

GUDMUNDSON[8]在研究裂縫位置及深度與結(jié)構(gòu)自振頻率關(guān)系試驗(yàn)中最早發(fā)現(xiàn)了裂縫閉合效應(yīng)引起的結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)現(xiàn)象。ALLISON et al[9]通過(guò)對(duì)開(kāi)裂的Ti-6242S進(jìn)行精確的試驗(yàn)，觀察到即使是在一定的正向拉力的作用下裂縫也會(huì)保持閉合狀態(tài)。這些研究表明考慮裂縫的閉合效應(yīng)是有必要的。

圖3 放大的裂縫示意圖 Fig.3 Schematic diagram of amplified crack

根據(jù)前面的假設(shè)，由幾何關(guān)系可得：

(5)

a2=a-a1.

(6)

(7)

公式(7)中的裂縫截面名義轉(zhuǎn)角θ可用名義損傷比λ由式(1)和(2)計(jì)算得到，即：

(8)

呼吸裂縫從完全閉合轉(zhuǎn)變到部分閉合張開(kāi)狀態(tài)，存在臨界彎矩M0，令公式(8)中的λ′=0，可得：

(9)

kc=ζk0.

(10)

由以上的分析可得呼吸裂縫的變剛度模型的剛度表達(dá)式：

(11)

進(jìn)一步可繪出考慮裂縫截面的閉合效應(yīng)后呼吸裂縫所在截面的實(shí)際局部轉(zhuǎn)角θ'與截面彎矩的關(guān)系圖，如圖4所示。

圖4 裂縫截面實(shí)際轉(zhuǎn)角與所受彎矩關(guān)系圖 Fig.4 Relationship between true opening angles of cracked section and bending

1.3 裂縫傳力寬度閾值的確定

很多試驗(yàn)表明，混凝土裂縫端部存在著微裂縫區(qū)，并伴有主裂縫的亞臨界擴(kuò)展，根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果，徐世烺等[10-11]提出了采用CTOD作控制參數(shù)的混凝土窄帶斷裂區(qū)模型。在此則用w0作為裂縫的傳力寬度閾值，滿足呼吸裂縫變剛度模型的假設(shè)。

直接測(cè)定CTOD是很困難的，一般利用三點(diǎn)彎曲梁的變形，由簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系間接地測(cè)量CTOD。把CTOD看成主要是由于裂縫的亞臨界擴(kuò)展對(duì)縫端開(kāi)口位移的貢獻(xiàn)，得到混凝土三點(diǎn)彎曲試件的CTOD即w0的計(jì)算表達(dá)式：

(12)

式中：lFC是臨界裂縫斷裂區(qū)長(zhǎng)度的實(shí)測(cè)值，開(kāi)口位移臨界值lC可取與最大值荷載pmax對(duì)應(yīng)的開(kāi)口位移值。混凝土構(gòu)件的CTOD值可參考文獻(xiàn)[10]獲得。本文取混凝土裂縫的傳力寬度閾值w0等于CTOD值，即w0=0.022 82 mm.

2 車(chē)橋動(dòng)力系統(tǒng)建模

2.1 開(kāi)裂梁模型

如圖5所示，跨徑為L(zhǎng)的開(kāi)裂簡(jiǎn)支Euler-Bernoulli梁，裂縫與左支點(diǎn)的距離為L(zhǎng)1.Ff和Fb分別表示車(chē)輛前軸和后軸對(duì)梁的作用力，d表示前后軸的距離，v是車(chē)輛的行駛速度，則t時(shí)刻車(chē)輛后軸與左支點(diǎn)距離為vt.

圖5 車(chē)輛荷載作用下開(kāi)裂梁示意圖 Fig.5 Schematic diagram of cracked beam under vehicle load

考慮單裂縫的情況，將梁以裂縫為界分成兩段，并用扭簧連接。設(shè)梁的撓曲線表達(dá)式為yi(x,t)，i=1,2分別表示0

(13)

式中：E，I，ρ和A分別表示梁的彈性模量、抗彎慣性矩、密度和橫截面積。δ是狄拉克δ函數(shù)，該函數(shù)在除了0以外的點(diǎn)都等于0，而其在整個(gè)定義域上的積分等于1。

簡(jiǎn)支梁的邊界條件為：

y1(0,t)=0,y"1(0,t)=0,
y2(L,t)=0,y"2(L,t)=0 .

(14)

裂縫截面處的協(xié)調(diào)方程為:

(15)

式中：k為定剛度模型中線性扭簧剛度k0或變剛度模型中非線性扭簧剛度k1.

2.2 車(chē)輛模型

車(chē)輛模型采用簡(jiǎn)化后的兩軸車(chē)力學(xué)模型[12]，車(chē)輛模型的布置和參數(shù)定義如圖6所示。車(chē)輛的動(dòng)力方程可寫(xiě)成：

MvY"v+CvY'v+KvYv=Fv.

(16)

式(16)中的質(zhì)量矩陣Mv、剛度矩陣Kv、阻尼矩陣Cv荷載列陣Fv分別可表示成下列形式。

圖6 車(chē)輛模型 Fig.6 Model of vehicle

當(dāng)車(chē)重為20 t時(shí)的車(chē)輛參數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 車(chē)輛模型參數(shù)Table 1 Parameters of vehicle model

2.3 路面不平順

路面不平順r(x)是車(chē)致振動(dòng)的主要影響因素，它可采用三角級(jí)數(shù)疊加法來(lái)進(jìn)行模擬：

(17)

式中：r(x)為路面不平順樣本函數(shù)，αk為余弦函數(shù)的幅值；ωk是位于功率譜密度定義區(qū)間[ωl,ωu]內(nèi)的頻率；θk為均勻分布在0和2π之間的隨機(jī)相位角，x為局部坐標(biāo)，表示橋上某點(diǎn)距橋梁左端的距離，N為模擬隨機(jī)不平順的點(diǎn)數(shù)。α是不平順系數(shù)，指數(shù)β可取1.94[13].橋上路面粗糙度被劃分為5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)路平順系數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[13].

2.4 車(chē)橋耦合振動(dòng)分析

在進(jìn)行車(chē)橋耦合振動(dòng)分析時(shí)，通常假設(shè)車(chē)輛在行駛過(guò)程中始終與梁體保持接觸狀態(tài)，車(chē)輛的動(dòng)力方程和梁的動(dòng)力方程可通過(guò)接觸點(diǎn)處作用力和位移的相互約束進(jìn)行耦合。以車(chē)輛后輪為例，車(chē)輪與梁體的相互作用力可表示成：

(18)

式中：δb(t)表示后輪質(zhì)心在t時(shí)刻相對(duì)于梁體的垂直位移，其表達(dá)式為：

δb(t)=yb(t)-zb(t)-rb.

(19)

式中：yb(t)為后輪質(zhì)心在t時(shí)刻的豎向位移，zb(t)為接觸點(diǎn)處橋面節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的豎向位移，rb為后輪與橋面接觸點(diǎn)處的橋面不平順樣品值。

車(chē)輛與梁的耦合方程是一個(gè)時(shí)變的二階微分方程組，一般只能用數(shù)值法進(jìn)行求解。在求解時(shí)，采用Newmark-β法，編制了MATLAB與ANSYS聯(lián)合程序?qū)?chē)橋耦合方程進(jìn)行迭代求解。

3 算例分析

3.1 模型主要參數(shù)

以移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下的開(kāi)裂鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁為例進(jìn)行分析。鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁跨徑L=40 m，截面面積A=0.58 m2，截面慣性矩I=0.69 m4，彈性模量E=53.5 GPa.未開(kāi)裂時(shí)，簡(jiǎn)支梁的一階振動(dòng)頻率為4.10 Hz.因?yàn)楹?jiǎn)支梁的跨中部位是最容易發(fā)生破壞的，所以在進(jìn)行車(chē)橋耦合振動(dòng)分析時(shí)，假設(shè)梁體的初始裂縫位于跨中，且裂縫的名義損傷比λ=0.3.車(chē)輛荷載的參數(shù)根據(jù)表1按比例確定，并取車(chē)輛的行進(jìn)速度為30 km/h，路面不平順等級(jí)則選一般。

3.2 采用不同呼吸裂縫模型的比較分析

為了對(duì)比，共建立3種模型：完整梁、定剛度裂縫梁和變剛度裂縫梁。定剛度裂縫梁中裂縫截面處扭簧的剛度k0可以直接用式(4)計(jì)算得到，此時(shí)k0=7.235×109N/m.而對(duì)于變剛度裂縫梁，取ζ=5，將其代入式(10)中計(jì)算得kc=3.618×1010N/m.將λ=0.3代入式(9)中，可得到變剛度裂縫梁中呼吸裂縫的臨界張開(kāi)彎矩M0=2.293×105N/m.

對(duì)3種梁分別進(jìn)行車(chē)橋耦合振動(dòng)分析。當(dāng)車(chē)輛荷載為26 250 kg(車(chē)橋的質(zhì)量比為0.18)，路面不平順等級(jí)為一般時(shí)，分別得到3種梁在車(chē)輛荷載作用下梁跨中的撓度隨時(shí)間變化關(guān)系，如圖7所示。

圖7 不同裂縫模型跨中撓度響應(yīng)對(duì)比圖 Fig.7 Comparison of the deflection response in middle span of different crack models

對(duì)比3條曲線可得，3種梁跨中撓度動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)是相同的，開(kāi)裂梁的跨中撓度比完整梁的要大。與完整梁相比，定剛度裂縫梁和變剛度裂縫梁計(jì)算得到的跨中最大撓度分別增大了23.1%和16.2%.這種差異表明呼吸裂縫閉合效應(yīng)對(duì)梁體的整體性能有很明顯的影響。在相同的損傷程度下，如果采用定剛度模擬裂縫損傷，會(huì)使得模擬得到的響應(yīng)偏大。

3.3 不同車(chē)重對(duì)開(kāi)裂鋼混梁振動(dòng)特性影響

當(dāng)車(chē)輛的質(zhì)量分別為8 750 kg，17 500 kg和26 250 kg，即車(chē)橋質(zhì)量比mV/mB分別為0.06，0.12，0.18時(shí)，對(duì)開(kāi)裂鋼筋混凝土變剛度裂縫梁進(jìn)行了車(chē)橋耦合振動(dòng)分析。

在計(jì)算結(jié)果中提取移動(dòng)車(chē)輛在簡(jiǎn)支梁上行走引起的呼吸裂縫截面處剛度的變化圖，如圖8所示。

圖8 呼吸裂縫所在截面剛度與車(chē)輛位置關(guān)系圖 Fig.8 Relationship between the section stiffness and the position of the vehicle

由圖8中可見(jiàn)，車(chē)輛越接近跨中，呼吸裂縫所在截面的剛度越小。移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下開(kāi)裂截面剛度變化曲線呈U形。當(dāng)車(chē)輛荷載移動(dòng)一段距離后，跨中彎矩達(dá)到臨界彎矩M0值時(shí)，呼吸裂縫所在截面剛度出現(xiàn)一個(gè)陡降區(qū)。當(dāng)車(chē)輛荷載的質(zhì)量較小時(shí)，可以看到U形曲線變得非常不平滑，整個(gè)過(guò)程剛度值變化劇烈。

將計(jì)算得到的梁跨中位置的加速度譜進(jìn)行快速傅里葉變換，對(duì)頻譜進(jìn)行截尾處理得到的頻譜圖如圖9所示。為了對(duì)比，對(duì)17 500 kg車(chē)輛荷載(mV/mB=0.12)作用下完整梁、定剛度裂縫梁的跨中加速度譜也進(jìn)行相同的處理，如圖10所示。對(duì)比圖9和圖10，可以發(fā)現(xiàn)，在3種梁的跨中加速度譜中均得到了簡(jiǎn)支梁振動(dòng)的一階頻率。相對(duì)于完整梁，名義損傷比為0.3時(shí)，定剛度裂縫梁的一階頻率值降低了8%，而變剛度裂縫梁的一階頻率值降低了4%.但是變剛度裂縫梁的頻譜圖中除了包含梁體的一階振動(dòng)頻率外，還出現(xiàn)了小于一階頻率的分量，這些分量的值大約是梁體一階頻率的1/2和1/8，這是非線性振動(dòng)中典型的亞諧振動(dòng)現(xiàn)象。這種差異表明，呼吸裂縫的閉合效應(yīng)使得開(kāi)裂鋼筋混凝土的振動(dòng)特性更加豐富。

圖9 不同車(chē)重作用下變剛度裂縫模型梁振動(dòng)頻譜圖 Fig.9 Vibration spectrum Cracked reinforced concrete beam under different vehicle weights

圖10 完整梁和定剛度裂縫梁振動(dòng)頻譜圖 Fig.10 Vibration spectrum of the undamaged beam and the fixed stiffness crack model beam

對(duì)比圖9中的(e)，(f)和圖10中的(a)圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)車(chē)輛荷載變大時(shí)，梁體亞諧振動(dòng)的1/2階分量幅值逐漸變小，而1/8階分量幅值逐漸變大。說(shuō)明車(chē)輛荷載對(duì)開(kāi)裂梁振動(dòng)是有顯著影響。

4 結(jié)論

1) 通過(guò)設(shè)置裂縫的傳力寬度閾值，可以簡(jiǎn)單有效地表示呼吸裂縫閉合效應(yīng)對(duì)裂縫所在截面剛度的影響。

2) 開(kāi)裂后鋼筋混凝土梁的動(dòng)撓度將變大。在裂縫名義損傷比相同的情況下，定剛度裂縫模型梁計(jì)算得到的撓度值，要比考慮呼吸裂縫的閉合效應(yīng)后的變剛度裂縫模型梁的撓度大30%，這種差異必須要引起重視。

3) 整個(gè)行駛區(qū)間內(nèi)，呼吸裂縫剛度呈現(xiàn)“U”形變化。車(chē)輛在行進(jìn)過(guò)程中，呼吸裂縫剛度存在一個(gè)急劇變化的階段。

4) 當(dāng)考慮呼吸裂縫的閉合效應(yīng)時(shí)，車(chē)輛荷載激勵(lì)下的開(kāi)裂鋼筋混凝土梁會(huì)發(fā)生亞諧振動(dòng)。車(chē)輛荷載的大小與1/2，1/8倍頻的亞諧振動(dòng)幅值變化存在相關(guān)性。