一類帶形狀參數的代數三角融合樣條的構造及其應用

孫釗，張迪，劉華勇

(安徽建筑大學 數理學院 安徽 合肥 230601)

0 引言

在計算機輔助幾何設計中(CAGD)，分段三次多項式和三角樣條曲線曲面等設計方法一直是行之有效的熱點課題，但這些方法均存在一定的局限性。譬如，曲線曲面的形狀受到其相應的控制頂點的束縛。如果需要調整曲線曲面的外形，則必須調節曲線曲面的控制頂點，這給工程設計帶來一定的困難。

為了方便而有效的對曲線曲面修改形狀或調整其位置，有學者開創性的在以往修改曲線曲面形狀的設計方法引入了權因子，通過改變權因子的取值，來構造滿足實際工程設計要求的曲線曲面(例有理Bézier、NURBS[1])。此種方法雖可以在不改變控制頂點的情形下，較為靈活的設計幾何外形，但相對來說它的計算比較復雜，計算過程仍舊存在許多難題:求導、如何選取權因子、求積等。1988年，B.A Barsky和B Joe兩位學者提出了一類滿足幾何連續且帶有全局參數的分段多項式樣條曲線，學術界稱之為β曲線[2-3]。β曲線具有較好的連續性和端點性質，但缺點是不能表示一些特殊的曲線曲面，例如:圓錐等。針對這一局限性，張紀文教授基于三角函數空間構造了H-B樣條曲線[4]以及CB樣條曲線[5]，兩種樣條曲線的表達式中皆含有三角函數、雙曲函數而且帶有全局形狀參數，具有整體修改曲線形狀或者是調整曲線位置的功能。文獻[6]也給出了一類含有全局形狀參數的樣條曲線曲面，它的優點是可以使曲線曲面從兩端逼近其控制多邊形(控制網格)。文獻[7]文獻與[8-9]定義了帶有全局形狀參數的代數三角樣條曲線曲面和擬三角插值樣條曲線曲面，兩類曲線曲面同樣具有全局修改形狀的特點。與以上文獻不同，文獻[10-14]中基于不同的思路建立了幾類帶有局部形狀參數的插值和擬合樣條曲線，使局部修飾曲線曲面的形狀這一難題，有了實現的可能。從局部微調和連續性兩個角度分析，文獻[2-9]基本上都帶有全局形狀參數，隨著全局形狀參數取值的改變，曲線會整體發生變化，因此并不能局部的對曲線曲面進行調整。文獻[10-14]所定義的曲線雖然具有了局部可調性，但其連續性卻同樣局限于Ck-2連續即參數連續[15-16]，他們均不具備幾何連續性，故而難以滿足實際工程上的需求?；谏鲜鰡栴}的考慮，本文初步構思是:在文獻[17]定義的三角樣條基函數的基礎上加上了一組和為零的特殊多項式，從而構造了一類新的帶兩類形狀參數的代數三角融合樣條曲線，新的曲線主要優勢是不僅滿足一定的幾何連續性，同時也具有全局或局部可調性質。通過調整全局或局部參數的取值新的曲線課題達到多種連續性，從而能夠較靈活地設計形狀各異的曲線，滿足不同的工程需求。此外，當給定特殊的控制頂點、形狀參數值時，新的曲線還可精確地表示圓或者橢圓弧段、拋物線與雙曲線。

本文主要工作如下。第二部分提出了一類帶形狀參數的代數三角融合基函數(簡稱AT-BSpline)的定義，并給出了不同形狀參數下基函數的的圖形以及一些AT-B-Spline基函數的良好性質和相關證明。據此，第三部分則構造了帶形狀參數的AT-B-Spline曲線，隨后給出了形狀參數的變化對AT-B-Spline曲線整體或局部的影響。在第四部分中推導了形狀參數在不同范圍內時，帶形狀參數的AT-B-Spline曲線的連續性，并且給出了一些數值實例。最后，本文給出了特定的形狀參數和控制頂點下，對三種圓錐曲線的精確表示。

1 帶形狀參數的AT-B-Spline樣條基函數的定義及其性質

1.1 帶形狀參數的AT-B-Spline樣條基函數的定義

定義 1:對于 t∈[0,π/2]，若給定

為帶有兩類形狀參數的代數三角融合基函數，簡化起見，以下均稱為AT-B-Spline基函數。其中，λ為全局形狀參數，αi,βi為局部形狀參數。

下圖1給出了兩類含有形狀參數的AT-B-Spline基函數的圖形。其中，圖1(a)和(c)為不同形狀參數取值下的基函數圖形，而圖1(b)和(d)分別是圖1(a)和(c)經過平移后的曲線圖形。

圖1 兩類含有形狀參數的基函數及平移后的曲線圖形

1.2 帶形狀參數的AT-B-Spline樣條基函數的性質

由公式(1)可知，AT-B-Spline樣條基函數具有如下的一些良好的性質:

性質 1.非負性:ATBi(t)≥0,(i=0,1,2,3)；

性質3.擬對稱性:當局部形狀參數αi=βi時，滿足ATB3-i(t)=ATBi(π/2-t)(i=0,1)；

性質4.退化性:當局部形狀參數αi=βi=0時，簡化后可知，AT-B-Spline樣條基函數退化為文獻[17]所定義的三角多項式樣條。

性質5.端點性質:由公式(1)推導可得:

因此，AT-B-Spline樣條基函數具有優良的端點性質，這極大地方便了工程師對自由曲線曲面的設計。如第三部分中基于AT-B-Spline基函數所構造的新的曲線，它同樣具有很多較好的曲線性質。

2 帶形狀參數的AT-B-Spline曲線的定義及其性質

2.1 帶形狀參數的AT-B-Spline曲線的定義

定義2 若給定控制頂點

Pi∈?d(d=2,3;i=0,1,...,n)和節點向量

u1≤u2≤...≤un，稱

為帶形狀參數的代數三角融合樣條曲線段，簡稱AT-B-Spline樣條曲線段。其中ATBj(t)(j=0,1,2,3)為公式(1)定義的樣條基函數。

因此，可以定義多項式曲線:

其中Δui=ui+1-ui,i=3,4,...,n。即當形狀參數取合適的數值時，所有的曲線段可以組成一條的分段光滑曲線。另外，它是對三角樣條曲線一種含參擴展，在λ∈[-10,1]取值范圍內，若取αi=βi=0，此時曲線C4(λ,αi,βi;u)就退化為文獻[17]三角樣條曲線。

2.2 帶形狀參數的AT-B-Spline樣條曲線的性質

(1)凸包性。根據AT-B-Spline樣條基函數的規范性、非負性，曲線上的任意一點均處在由其控制頂點所形成的凸包范圍內。

(2)對稱性。當給定全局形狀參數的取值范圍λ∈[-10,1]，令兩個局部形狀參數相等αi=βi，若顛倒由控制頂點P0P1…Pn所生成新的曲線的形狀和原曲線的形狀是一致的，僅曲線方向相反。

(3)端點性質?；谑?1)的端點性質，推導可得:

根據上述端點性質可知，AT-B-Spline樣條曲線的首末端點與局部形狀參數αi,βi的選取無關，僅與全局形狀參數λ的取值有關，如圖2所示。從圖2(a)中可以直觀的看出:在保持全局形狀參數λ的取值不變，僅僅改變局部形狀參數αi,βi的大小的情形下，AT-B-Spline樣條曲線的形狀會隨之改變，但曲線的兩端點位置并不發生變化。

(4)逼近性。

由曲線的端點性質和2f1(λ)+f2(λ)=1可得:

則有:

由公式(4)可知，AT-B-Spline樣條曲線隨λ取值的增大逐漸逼近其控制多邊形。再者，

圖2 不同形狀參數對AT-B-Spline曲線的調配

則有:

故由公式(5)可知，當λ取值固定，隨著局部形狀參數αi,βi的逐漸增大，AT-B-Spline樣條曲線逐漸向控制多邊形的邊靠近。

圖3 不同形狀參數對AT-B-Spline曲線的影響

由曲線端點性質和公式(4)、(5)可知，當αi，βi固定，λ的取值增加大時，曲線整體性的逐漸逼近其控制多邊形的邊，見圖2(a)；當λ固定，同時增大αi和βi，曲線在首末端點不變的情況下逐漸向多邊形的邊逼近，這說明同時改變局部參數的取值同樣可以達到整體修改曲線的效果，如圖2(b)；當λ，αi固定，βi逐漸增大時，曲線從右側逐漸向控制頂點Pi+1和邊Pi+2Pi逼近，見圖2(c)；當λ，βi固定，αi逐漸增大時，曲線從左側逐漸向控制頂點Pi和邊Pi+1Pi-1逼近，見圖2(d)。圖3給出了幾段曲線在滿足一定連續性且局部形狀參數αi，βi取不同值時，組合而成的一個簡單造型。

(5)幾何不變性與仿射不變性。根據式(2)所定義的AT-B-Spline樣條曲線是參數化方程可知:當給定形狀參數時，AT-B-Spline曲線的形狀完全由其控制頂點決定，任意幾何或仿射變換都不會對曲線的形狀產生影響。

(6)局部形狀可調性。由于式(1)中含有兩類形狀參數:全局參數λ、局部參數αi,βi。當固定λ，選取不同的αi,βi值時，可以調整AT-B-Spline曲線的局部性形狀，且保持曲線的控制頂點不變；當固定αi,βi取值時，隨著λ的改變，AT-B-Spline曲線的形狀則整體性被調整。

圖4給出了不同的形狀參數對AT-B-Spline曲線整體或局部的影響。圖4(a)與圖4(b)分別是不同的曲線段組合而成的兩個簡單花瓶造型。在固定λ取值時，根據不同的局部形狀參數αi,βi可以修改不同曲線段的局部形狀，因此曲線具有局部可調性。

圖4 形狀參數對ATB-Spline曲線整體或局部的影響

3 帶形狀參數的AT-B-Spline曲線的連續性

定理1:當形狀參數在不同范圍內時，帶形狀參數的AT-B-spline曲線具有以下性質:

(1)當λ∈[-10,1]，-2≤αi,βi≤1 時，帶形狀參數的 AT-B-Spline 曲線C4(λ,αi,βi;u)滿足G1連續；

(2)當αi=βi+1=αi+1=βi時，兩個相鄰的Ci,4(λ,αi,βi;t) 和Ci+1,4(λ,αi+1,βi+1;t) 的 ATBSpline曲線C4(λ,αi,βi;u)滿足C1∩G2連續；

(3)當λ≠1，αi=βi+1=αi+1=βi=0時，兩個相鄰的Ci,4(λ,αi,βi;t)和Ci+1,4(λ,αi+1,βi+1;t)的AT-B-Spline 曲線C4(α,λi,μi;u)滿足Ck(k=0,1,2)連續；

(4)當λ=1，αi=βi+1=αi+1=βi=0時，兩個相鄰的Ci,4(λ,αi,βi;t)和Ci+1,4(λ,αi+1,βi+1;t)的AT-B-Spline 曲線C4(α,λi,μi;u) 滿 足Ck(k=0,1,2,3)連續。

證明:

(1)當λ∈[-10,1]，-2≤αi,βi≤1時，由曲線的端點性質可知:

其 中εi=[f3(λ)+αi+1/3π]/[f3(λ)+βi/3π]，特別地，當αi+1=βi時，可得εi=1，即 ATB-Spline曲線C4(α,λi,μi;u)滿足C1連續；

(2)當αi=βi+1=αi+1=βi時 ，這時可以令αi=βi+1=αi+1=βi=ξ，則由兩個相鄰的Ci,4(λ,αi,βi;t)和Ci+1,4(λ,αi+1,βi+1;t)曲線端點二階導數的性質和f2(λ)=2f3(λ)知:

通過計算和推導可以得到:

其中εi=1，η=-2ξ/[π2f3(λ)+πξ]。即帶形狀參數的 AT-B-Spline 曲線C4(λ,αi,βi;u)在C1∩G2是連續的。

(3)當αi=βi+1=αi+1=βi=0時，簡單計算可得εi=1，η=0，根據式(6)及式(7)有:

即 ATB-Spline 曲線C4(α,λi,μi;u)滿足Ck(k=0,1,2,3)連續。

圖5(a)與圖5(b)給出了兩種均滿足C1∩G2連續的曲線構造。圖5表明在全局參數固定的情況下，若給定幾段曲線的局部形狀參數取值一致，則整條拼接曲線可以達到C1∩G2連續。圖6(a)(b)與圖6(c)(d)則給出了兩種滿足C1∩G2連續的ATB-Spline曲線的旋轉曲面，圖6表明在全局形狀參數λ固定時，只要保持曲線段的局部形狀參數相等，即使修改αi,βi的取值，修改后的曲線也能達到C1∩G2連續，而且在圖6中，當局部形狀參數αi,βi的取值增大時，旋轉曲面總體較為光滑，逼近效果良好。

圖5 帶兩類形狀參數AT-B-Spline曲線的構造

圖6 兩種造型的旋轉曲面(彩繪)的構造

4 圓錐曲線的精確表示

本文構造的AT-B-Spline曲線在給定特定的形狀參數、控制頂點時，可以精確地表示三種圓錐曲線，包括橢圓或者圓的部分弧線、拋物線及雙曲線。三種實例分別如下。

首先，將四個控制頂點特定為Pi-1(-a,-b)，Pi(-a,b)，Pi+1(a,b)和Pi+2(a,-b)，當λ=0，αi=βi=0時，由定義2作出的曲線可以精確的表示橢圓的部分弧線。鑒于公式(2)，通過運算可得:

上述表達式即為橢圓的參數方程。

在圖7中，橢圓的長短軸分別取b=4、a=2。圖7(a)右側紅色實線為繪出部分橢圓曲線，再根據橢圓的對稱性，將所得曲線分別關于x，y軸對稱，得到整個橢圓，見圖7(b)。且當取a=b時，曲線可以精確地表示圓。

圖7 橢圓的精確表示

圖8 拋物線(雙曲線)的精確表示

其次，當λ=0，αi=βi=0時，分別給定四個控制頂點為 :Pi-1(-a,b)，Pi(0,-b)，Pi+1(a,b) 和Pi+2(0,-b)或Pi-1(-a,b)，Pi(0,0)，Pi+1(-a,-b)和Pi+2(0,0)，AT-B-Spline曲線可以精確的表示拋物線的部分弧線與雙曲線的部分弧線，推導后的參數方程見公式(9)與公式(10)，作出的弧線如圖8(a)(b)所示。通過計算可得:

5 總結

本文首先構造了一種帶兩類形狀參數的ATB-Spline基函數，分析了基函數的圖形及性質。基于AT-B-Spline基函數，建立了一種帶有局部形狀參數的新的曲線，并且對新的曲線的性質進行了論證。其次，給出并證明了這種AT-B-Spline曲線所滿足的幾何或參數連續性:在特殊參數取值下，ATB-Spline曲線可以達到C1∩G2連續性。歸因于AT-B-Spline曲線具有的全局和局部兩類形狀參數，實際設計自由曲線曲面時，既可以大幅度的變動曲線的位置，也可以微調曲線的形狀。此外，本文還給出了一些AT-B-Spline曲線應用的數值實例。其一是兩種滿足C1∩G2連續的旋轉面造型，實例表明:不同的形狀參數取值確實可以調整旋轉面造型；其二，在給定特定的形狀參數取值和控制頂點時，AT-B-Spline曲線可以精確地表示三種圓錐曲線(橢圓或圓的某一弧段、拋物線及雙曲線)，這更進一步驗證了此方法的實用性。最后，希望本文能夠為工程設計帶來一定的方便。