齒輪局部故障振動(dòng)信號(hào)分析及提取方法研究

楊秀芳 ，張西寧

(1. 西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048； 2. 西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710049)

齒輪是機(jī)械設(shè)備中主要的連接和傳遞動(dòng)力的零部件，若出現(xiàn)故障，將直接影響到整機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)甚至危及人身安全，因此，對(duì)齒輪故障信號(hào)提取及故障診斷的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。齒輪故障是傳動(dòng)機(jī)械故障的主要形式。齒輪故障分為兩大類：一類是齒輪局部故障，這類故障包括齒輪裂紋、斷齒、加工或安裝偏心、齒距誤差等；另一類是齒輪分布式故障，如齒輪磨損、點(diǎn)蝕等[1]。機(jī)械故障診斷主要有三個(gè)步驟：第一是診斷信號(hào)的拾取，最常用的方法是用慣性式加速度傳感器獲取機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)信號(hào)[2]；第二是提取故障特征；第三是故障診斷和狀態(tài)識(shí)別。其中最關(guān)鍵的是從機(jī)械故障信號(hào)中提取故障特征[3]，信號(hào)分析和處理就是一種有效的分析和處理機(jī)械故障振動(dòng)信號(hào)的數(shù)學(xué)方法，也是最常用的方法[4-6]。

目前用于信號(hào)分析和處理的數(shù)學(xué)方法有傅里葉變換(Fourier Transform,簡(jiǎn)稱FT)的頻譜分析法、幾何分形分析法、ARMA(Auto RegressiveMoving Average,簡(jiǎn)稱ARMA)模型分析法、Wigner分布(Wigner-Ville Distribution，簡(jiǎn)稱WVD)、窗口傅里葉變換法(Windowed Fourier Transform，簡(jiǎn)稱WFT)和小波分析法(Wavelet Analysis)等。文獻(xiàn)[7]先使用時(shí)間同步平均(TSA)方法對(duì)強(qiáng)背景噪聲掩蓋的被測(cè)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，然后用小波變換提取出了故障信號(hào)特征。文獻(xiàn)[8]采用譜相關(guān)函數(shù)進(jìn)行齒輪故障診斷，闡述了這種方法和包絡(luò)分析方法之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[9]提出將小波降噪分析和基于負(fù)熵的FastICA獨(dú)立分量分析相結(jié)合來(lái)處理滾動(dòng)軸承含噪振動(dòng)信號(hào)的方法，但從文中提供的處理效果圖來(lái)看，該方法處理效果與小波降噪效果相近；文獻(xiàn)[10]將經(jīng)驗(yàn)小波變換應(yīng)用到轉(zhuǎn)子碰磨故障診斷中，有效地揭示出碰磨故障數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)，從而區(qū)分碰磨故障的嚴(yán)重程度；文獻(xiàn)[11]研究了基于小波變換和統(tǒng)計(jì)分析的轉(zhuǎn)子碰磨聲發(fā)射特性。這種方法能通過(guò)聲發(fā)射信號(hào)參數(shù)的平均峰值、平均能量判斷轉(zhuǎn)子的磨損程度，但由于聲發(fā)射信號(hào)的峰值頻率與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)，所以對(duì)磨損故障的定位有一定的困難。

小波變換方法具有可變的時(shí)頻窗口，既能對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)中的短時(shí)高頻成分進(jìn)行定位，又可以對(duì)低頻成分進(jìn)行分析。本文應(yīng)用小波變換對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理和高頻信號(hào)的定位，用希爾伯特變換解調(diào)非線性信號(hào)，提取機(jī)械故障信號(hào)特征。

1 齒輪嚙合振動(dòng)模型及振動(dòng)機(jī)理

1.1 齒輪嚙合振動(dòng)模型

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，在建立其非線性振動(dòng)模型時(shí)，把齒輪副的輪齒簡(jiǎn)化為彈簧-質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)，其在剛度激勵(lì)、誤差激勵(lì)等動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)，引起齒輪系統(tǒng)振動(dòng)。為了獲得齒輪副嚙合的振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，本文假定：齒輪振動(dòng)沿嚙合線方向；不考慮運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦和齒側(cè)間隙；阻尼系數(shù)為兩齒輪的嚙合阻尼；剛度系數(shù)為齒輪的嚙合剛度[1]。運(yùn)用牛頓第二定律，根據(jù)各質(zhì)量塊之間力的平衡條件，建立齒輪副嚙合的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

式中，Me為齒輪副的等效質(zhì)量；x(t)為齒輪嚙合線方向相對(duì)位移；Cg為嚙合阻尼系數(shù)；Kz(t)為正常齒輪副嚙合剛度函數(shù)；Fs為齒輪靜載荷；ez(t)為無(wú)故障齒輪副嚙合線方向上的綜合誤差函數(shù)；t為時(shí)間變量。

由式(1)可知，齒輪嚙合時(shí)的振動(dòng)來(lái)自于兩部分：①由齒輪靜載荷Fs引起的振動(dòng)，這屬于齒輪的常規(guī)嚙合振動(dòng)，不受其它因素的影響；②由Kz(t)ez(t)引起的振動(dòng)，它取決于齒輪的綜合嚙合剛度和誤差函數(shù)。由此可見(jiàn)，即使齒輪沒(méi)有故障，常規(guī)的嚙合都會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)。如果齒輪存在故障，齒輪副嚙合的剛度函數(shù)Kz(t)及綜合誤差函數(shù)ez(t)會(huì)發(fā)生變化。進(jìn)一步將齒輪副嚙合的運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)為：

(2)

式中，Kg(t)為齒輪副嚙合的剛度函數(shù)；f(x(t))為間隙的非線性函數(shù)；e(t)為故障齒輪副嚙合線方向上的綜合誤差函數(shù)。

由于式(2)為非線性微分方程，為了便于對(duì)齒輪故障產(chǎn)生的振動(dòng)成分做進(jìn)一步研究, 將方程簡(jiǎn)化為線性微分方程：

(3)

由式(3)可知，機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的形式由Kg(t)e(t)確定，即取決于齒輪的嚙合剛度函數(shù)和誤差函數(shù)。在不同的故障模式下，誤差函數(shù)e(t)的表達(dá)形式不同。例如齒輪發(fā)生疲勞裂紋、斷齒等故障時(shí)，誤差函數(shù)的頻率主要是轉(zhuǎn)軸頻率、嚙合頻率及其諧波；當(dāng)齒輪發(fā)生齒面磨損、點(diǎn)蝕、剝落等故障時(shí)，誤差函數(shù)出現(xiàn)調(diào)頻函數(shù)的形式。因此，不同類型的齒輪故障，其振動(dòng)信號(hào)具有不同的頻率特征。

1.2 齒輪振動(dòng)機(jī)理分析

在式(3)中，Kg(t)e(t)是故障激勵(lì)函數(shù)和主要的故障激勵(lì)源，由于線性方程的解與激勵(lì)函數(shù)有相似的表達(dá)形式，所以在研究故障齒輪振動(dòng)機(jī)理時(shí)，只要分析與故障齒輪激勵(lì)項(xiàng)相關(guān)的Kg(t)e(t)的成分，就可以導(dǎo)出齒輪不同故障對(duì)應(yīng)的振動(dòng)機(jī)理。

1.2.1正常齒輪振動(dòng)信號(hào)分析

正常齒輪嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，參與嚙合的齒數(shù)呈單、雙交替變化，形成嚙合振動(dòng)。其振動(dòng)信號(hào)主要為嚙合頻率及其高次諧波成分，表達(dá)式為：

(4)

式中，M為嚙合頻率的最大諧波次數(shù)；fz為齒輪嚙合頻率；θm為諧波相位；Am為諧波幅值。式(4)的頻譜圖如圖1所示。由圖可知，在齒輪正常運(yùn)行時(shí)，振動(dòng)成分主要表現(xiàn)為嚙合頻率及其高次諧波。

圖1 齒輪無(wú)故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)頻譜Fig.1 Frequency spectrum of vibration signal in gear fault free

1.2.2齒輪局部故障振動(dòng)信號(hào)頻譜分析

齒輪的局部故障包括齒輪裂紋、斷齒、齒輪偏心等，局部故障會(huì)造成齒輪嚙合點(diǎn)產(chǎn)生短時(shí)剛度突變，其突變周期變?yōu)辇X輪軸的轉(zhuǎn)頻。用Kg(t)表示時(shí)變剛度函數(shù)，則有：

(5)

式中，N為齒輪軸轉(zhuǎn)頻的最大諧波次數(shù)；fn為轉(zhuǎn)軸的頻率；Cn為n次諧波的幅值。

在齒輪副中，一個(gè)齒輪是標(biāo)準(zhǔn)齒輪，另一個(gè)齒輪發(fā)生故障(出現(xiàn)誤差)時(shí)，此時(shí)傳動(dòng)誤差就為故障齒輪在嚙合線方向上的綜合誤差，可直接反映在齒輪傳動(dòng)誤差上，如齒輪軸的松動(dòng)、偏心等將影響綜合誤差的長(zhǎng)周期誤差成分；齒面發(fā)生磨損、點(diǎn)蝕等故障時(shí)，將影響綜合誤差的短周期成分；裂紋、斷齒等既影響綜合誤差的長(zhǎng)周期成分又影響綜合誤差的短周期成分，使得齒輪嚙合運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)中含有齒輪嚙合頻率及軸的轉(zhuǎn)頻成分，所以在嚙合線方向上的綜合誤差可表示為：

e(t)=ψ(t)+φ(t)

(6)

式中，ψ(t)表示以轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速為周期的長(zhǎng)周期誤差；φ(t)表示以齒輪嚙合速度及其諧波為周期的短周期誤差。

典型綜合誤差曲線如圖2所示。

圖2 綜合誤差曲線Fig.2 Comprehensive error curve

e(t)的具體表達(dá)式為：

(7)

式中，Ae為長(zhǎng)周期誤差函數(shù)幅值；Bm為短周期誤差m次諧波的幅值；φm為短周期誤差m次諧波的初相位。

由式(5)和式(7)可得，局部故障時(shí)齒輪振動(dòng)信號(hào)為：

x(t)=Kg(t)×e(t)=

(8)

信號(hào)的頻譜圖如圖3所示。

圖3 齒輪發(fā)生局部故障時(shí)振動(dòng)信號(hào)頻譜Fig.3 Frequency spectrum of vibration signal when a local fault occurs in a gear

由圖3可知，齒輪的局部故障對(duì)安裝齒輪軸的轉(zhuǎn)頻、嚙合頻率以及高次諧波的邊帶頻產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，但這類故障對(duì)嚙合頻率及其諧波處的幅值影響不大，左右對(duì)稱的邊帶頻族平坦而分散。

2 小波分析和希爾伯特變換理論

2.1 小波變換理論

小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的。傅里葉變換的局限性是：頻譜X(f)是頻率分量f的一個(gè)平均意義上的量，由信號(hào)的整體來(lái)確定，所以傅里葉分析不能做局部分析，分析某一時(shí)間段內(nèi)信號(hào)的特點(diǎn)，曾提出了短時(shí)傅立葉變換，即加窗傅里葉變換，通過(guò)窗口的移動(dòng)，使得信號(hào)逐步進(jìn)入分析狀態(tài)，這樣就提供了在局部時(shí)間內(nèi)信號(hào)變化快慢的信息了，但是加窗傅立葉分析由于窗的大小和形狀是固定的，所以它不能適應(yīng)信號(hào)頻率高低的不同要求。更重要的是，工程中的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)往往是時(shí)間較短、頻帶較寬、能量較小的信號(hào)，且非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的頻譜往往被正常信號(hào)和噪聲的頻譜所淹沒(méi)，難以從頻譜中提取出有用信息。

小波分析是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度(時(shí)間-頻率)分析方法，因?yàn)榇翱诖笮『托螤羁梢愿淖儯允且环N時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換對(duì)信號(hào)分析具有自適應(yīng)性，因此可以完成一些傅立葉分析無(wú)法解決的信號(hào)分析與處理。

連續(xù)小波變換定義：

設(shè)ψ(t)為母小波(即該函數(shù)是平方可積函數(shù)，且其傅里葉變換滿足容許性條件)，將母小波進(jìn)行伸縮和平移后的函數(shù)為：

(9)

稱其為小波函數(shù)。

對(duì)于任意函數(shù)x(t)∈L2(R)(L2(R)是平方可積的函數(shù)空間集合)的連續(xù)小波變換為：

(10)

其重構(gòu)公式為：

(11)

式中，Cψ為小波逆變換常數(shù)。

函數(shù)x(t)經(jīng)過(guò)小波變換后，把一個(gè)一元函數(shù)x(t)映射為伸縮尺度為a和平移量為b的二元函數(shù)。如尺度a固定，則小波變換反映的是信號(hào)x(t)在某一固定頻帶內(nèi)隨時(shí)間t的變化情況；如果尺度a變化，則小波變換反映的是信號(hào)x(t)在各個(gè)頻帶內(nèi)隨時(shí)間t的變化情況，所以，只要選取一個(gè)適當(dāng)?shù)男〔ê瘮?shù)，就有可能觀察到信號(hào)的局部頻率特性，以及這種局部頻率特性隨時(shí)間的演變情況。在振動(dòng)信號(hào)處理中，它可以由粗到細(xì)逐步給出振動(dòng)信號(hào)在不同尺度下的波形。

離散小波變換定義：

把小波函數(shù)中的參數(shù)a、b離散化，即：

a=a0m(a0>1)

b=nb0a0m,b0≠0∈R, (m,n)∈Z

式中，a0、b0分別為常數(shù)。

其對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)可以寫(xiě)為：

(12)

則離散小波變換為：

(13)

若取a0=2、b0=1，則：

這種離散化后的小波和相應(yīng)的小波變換稱為二進(jìn)制小波變換。

在連續(xù)小波變換的計(jì)算中，通常也是采用離散時(shí)間序列，但是母小波的平移可以沿著信號(hào)長(zhǎng)度連續(xù)地進(jìn)行，伸縮程度也可以由人們隨意確定，這樣就得到了更高的時(shí)域和頻域分辨率，這種分辨率的提高是以計(jì)算時(shí)間的增加和需要更多內(nèi)存為代價(jià)的。連續(xù)小波變換有比離散小波變換更高的時(shí)頻分辨率，更適合于非平穩(wěn)信號(hào)的特征提取。

2.2 希爾伯特變換解調(diào)幅原理

由式(7)可知，齒輪局部故障振動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)是轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波信號(hào)對(duì)嚙合頻率及其諧波信號(hào)進(jìn)行調(diào)幅，這種調(diào)幅信號(hào)屬于非線性信號(hào)，在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中，如果能夠解調(diào)出調(diào)幅信號(hào)，就可以有效提高故障診斷的正確性。

(14)

設(shè)調(diào)制信號(hào)為：

x(t)=A(t)cos[2πf0t+θ(t)]

式中，A(t)為調(diào)幅信號(hào)；cos[2πf0t+θ(t)]為載波信號(hào)；τ為平移時(shí)間變量。

對(duì)解析信號(hào)取模即可得到包絡(luò)估計(jì)：

3 齒輪局部故障振動(dòng)信號(hào)仿真和分析

大部分情況下，齒輪故障診斷的特征提取主要是基于頻譜分析，但是由于噪聲或者其他信號(hào)的存在，往往使這些特征頻率的信號(hào)被淹沒(méi)，為此，本文在MATLAB環(huán)境下，對(duì)仿真的齒輪故障振動(dòng)信號(hào)先采用小波變換進(jìn)行降噪處理，提高信號(hào)的信噪比，以便突出齒輪故障的頻譜特征，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換，提取故障齒輪轉(zhuǎn)軸信息，準(zhǔn)確定位故障齒輪位置。

x(t)=Kg(t)×e(t)=

[5+7cos(2π×5t)+5cos(4π×5t)+4cos(6π×5t)]×

(15)

現(xiàn)給齒輪局部故障信號(hào)式(15)加高斯噪聲，產(chǎn)生一個(gè)信噪比為0.05的強(qiáng)噪聲振動(dòng)信號(hào)，圖4是該信號(hào)的時(shí)域和頻域圖，在譜圖上存在嚙合頻率fz、嚙合頻率的諧頻2fz、3fz、…和邊帶頻，可以判定齒輪傳遞系統(tǒng)存在故障。如果沒(méi)有噪聲干擾，頻譜圖中頻率的分布規(guī)律應(yīng)該符合圖3，含有故障齒輪轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波：fn、 2fn、 3fn、…；含有嚙合頻率及其諧頻：fz、2fz、3fz、…；含有嚙合頻率的邊帶頻：fz±nfn、2fz±nfn、3fz±nfn、…，且邊帶頻對(duì)稱分布在嚙合頻率及其諧頻的兩側(cè)。實(shí)際測(cè)量信號(hào)中，轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波fn、2fn、3fn、…會(huì)被噪聲淹沒(méi)。

圖4 故障信號(hào)的時(shí)域和頻域Fig.4 Time domain and frequency domain of fault signal

在單齒輪傳遞系統(tǒng)中，嚙合頻率處處相等，故障的特征信息是轉(zhuǎn)軸的頻率fn，獲取fn及其諧頻是定位故障的關(guān)鍵。本文先采用db1小波對(duì)故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行5層分解，以達(dá)到降噪目的，在分解的第四層近似分量中，出現(xiàn)了明顯的調(diào)幅特征，如圖5所示，經(jīng)計(jì)算第四層近似分量的信噪比為1.38，與沒(méi)有進(jìn)行小波分解時(shí)0.05的信噪比相比，提高了28倍，說(shuō)明了小波變換降噪的有效性。但在圖5的頻譜圖上，并沒(méi)有獲得調(diào)幅信號(hào)的頻率信息，為了對(duì)故障源進(jìn)一步定位和提取，對(duì)小波分解的第四層近似分量進(jìn)行希爾伯特變換，提取調(diào)幅信號(hào)頻率信息，如圖6所示，像預(yù)期那樣，獲得了故障齒輪的轉(zhuǎn)軸信息fn、2fn、3fn。

圖5 db1小波分解第四層近似分量及其頻譜Fig.5 Fourth layer approximate component of the wavelet decomposition and its spectrum

圖7是對(duì)齒輪故障振動(dòng)信號(hào)沒(méi)有進(jìn)行降噪處理，直接進(jìn)行希爾伯特變換的結(jié)果，可以看出，無(wú)論是在時(shí)域還是頻域，考察故障特征信息都與圖6相差甚多。

圖7 故障信號(hào)的包絡(luò)及其頻譜Fig.7 Fault signal envelope and its spectrum

4 結(jié) 語(yǔ)

建立了齒輪局部故障振動(dòng)信號(hào)數(shù)學(xué)模型，依此數(shù)學(xué)模型，在MATLAB環(huán)境下，對(duì)主軸轉(zhuǎn)速為5 Hz、齒數(shù)為32的齒輪、信噪比為0.05的故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了仿真，采用db1小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行了4層分解，使得第4層近似分量的信噪比提高到了1.38，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的有效降噪處理，并對(duì)分解的第四層近似分量進(jìn)行希爾伯特變換處理，提取到了齒輪故障特征信息5 Hz、10 Hz、15 Hz、…，這一結(jié)論為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中齒輪的故障診斷提供了一種有效的方法。