數列在購買彩票中的應用

安徽省合肥北城中學 馮水松

眾所周知，數列是數學知識中的一個重要環節，以具體問題為基礎，進行答案的解析是數列學習中的一個重要部分，這就注定了數列是以解決實際問題為目的而存在的。數列在經濟生活和資源計算等領域，有著廣泛的使用，本文將舉例闡述數列在彩票方面的應用情況。

一、購買彩票能致富嗎

購買彩票在人們的日常生活中經常遇到。概率論中有一個十分有趣的定律，在一次公平的游戲中（贏輸的可能性各為0.5），任意一個游戲參與者都有可能會贏，誰贏了都是偶然的，但只要游戲一直進行下去，參與者輸個精光卻是必然的，這個定律又稱賭徒輸光定律。下面，我們用數列的方法來簡單證明一下這個定律。

這第二個式子相當于數n 有50%的機會變成n-1，50%的機會變成n+1。那么變換一下相當于

設T1的值為a，那么顯然0 ＜a ≤1，利用：

T1=a，T2=2a-1，T3=2(2a-1)-a=3a-2，

T4=4a-3，…，Tn=na-n+1=(a-1)n+1，

我們知道0 ≤Tn≤1 對于任意的n 恒成立，所以a 必須為1。

所以我們證明了T1=1，同樣的過程可以得到T2=1，…，Tn=1。

這說明，即使在公平的博彩游戲（贏輸的可能性各為0.5）中，彩民輸光的可能是1，證畢。

這樣，我們得到了一個有點反直覺的結論：不管你的資金有多么雄厚，你用的可能性購買彩票，必然會輸光。這也就是人們說的“久賭必輸”。某些彩民會一次押多于1 單位的量，認為這可以贏，但是不難看出來，這樣只是改變了這些彩民購買彩票的方式，只要這個游戲屬于都是的可能性，最后彩民總是要輸得精光的。

二、倍投方法

倍投方法多用于公平的博彩游戲中，指的就是在前一次輸了的情況下，再次投入前一次兩倍的資金進行游戲。在資金足夠多的情況下，這樣成倍成倍地投入進去，只要是公平的游戲，總有機會贏，且一次就可以將前面所有輸了的錢贏回來。

設某一個彩民的初始資金為a 元，在公平的游戲中（贏輸的可能性各為0.5），為便于討論，我們假設彩票的結果只有兩種，如購買大小，紅黑，球隊的勝負等。有什么方法保證彩民能贏錢呢？

有彩民這樣認為：把初始資金a 元按如下方式投注：1 元、2 元、4 元、8 元、16 元、32 元、64 元……然后先押1 元，輸了的話，就押2 元，再輸，就押4 元……這樣一直下去，根據等比數列求和知識可以知道，只要能贏一次，就相當于把以前輸過的錢全部贏回來并且還能贏得1 元。之后再重新開始：1 元、2 元、4 元……這樣循環往復，每次就都能賺1 元了。

到底這個策略行不行呢？注意到1+2+4+…+2n-1=2n-1。

假如彩民在連續輸了n 次之后，仍然有2n 元的資金進行第（n+1）有效可行的操作規范呢？再次讓學生討論交流，經過集體討論發現，把的規定稍作修改，再增加一個步驟，變為增加了第三步的一個變形，學生的操作就方便了。這個變化過程從第一步到第三步可以概括為：底數變倒數，負指數變正指數。即底數a變為a 的倒數指數-p 變為p，這里有兩個變化，一是底數的變化，直接變倒數，學生容易操作，二是指數的變化，負指數直接變正指數，學生也容易操作。兩個變化一起使用，學生的困難就解決了。掌握了這個規律后，學生再做這類的題目，正確率一下子提高了許多。