小變化 大作用——公式變形記

廣東省深圳市觀瀾第二中學 陸龍高

第一步：先學習同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減。用公式表示法則：am÷an=am-n(a ≠0，m，n 都是正整數，且m ＞n）。由冪的定義出發，學生容易理解和接受這個法則，能快速掌握這個知識點。

第二步：提出兩個問題思考：問題1：當m=n 時，am÷an=am-n=a0，那么a0等于多少？問題2：當m ＜n 時，am÷an=am-n，由于m-n＜0，即指數是一個負數，該怎么理解，如何運算呢？

接下來筆者想了解學生對這個規定的理解程度，提出一個話題：每個學生可以用自己的理解談談對這個規定的認識。經過思考后，學生甲說，底數a 可以是正數，也可以是負數，但是不能為0；學生乙說，a-p的結果是ap的倒數；學生丙說，這是一個負指數計算的公式，在計算時要保持底數不變，負指數變成正指數，最后結果變成倒數就可以了。可見，學生的認識還是全面、準確的，總體是不錯的。說得很好，做得如何呢？筆者給出了一組題目讓學生練習，計算下列各式：

檢查發現，每個題目的答案五花八門，完全正確的很少，學生的錯誤答案大大超出了我的預料。計算出現的問題有以下幾個類型：

二是底數不變，指數改變，結果不變為倒數。例如：2-2=22。

三是底數改變，指數改變，結果不變為倒數。例如：2-2=(-2)2。

這清楚地表明，學生對這個規定的認識是正確的，但對規定的使用是混亂的，在解題的過程中缺乏一個有效的操作規范。有沒有一個次押注，且贏了的話，則他在本輪游戲中就贏了1 元。

事實上，我們不難發現，在上面的假設下，要保證連輸許多次之后仍然有充分的資金押注，就意味著彩民需要準備充分大量的初始資金。那彩民按這個倍投式策略：1 元、2 元、4 元……的方式押注，贏1 元回來，之后再重復，又贏1 元回來；這樣想，這個策略是可以的。但是問題是，在實際生活中，任何一個人的資金都不會是無限大的，他可能在連輸n 回之后就沒有充分的資金進行押注了。

舉一個最簡單的例子，比爾蓋茨的資產十分巨大，如果他用他所有的資產去博彩，相對于其他普通人來說，他擁有的數額巨大的資產讓他可以選擇使用倍投術博彩，并且可以承受比普通人大得多的風險，在這種情況下，他在博彩中可以用來使用倍投術的博彩次數也比普通人要多得多，這樣的話，他也許就能盈利，但是這種盈利也只是暫時的，因為倍投術的前提是擁有無限的資金，而比爾蓋茨的賭本雖然多，但是也不是無限的。這樣就符合了賭徒輸光定律的條件：有限的資金。雖然這資金很巨大，但是終究有限，這樣下去，若是比爾蓋茨一直進行下去，也終究會花光他的所有資產，這就是賭徒輸光定律的結果。所以不管使用何種方法或者算法運用在博彩中，都只會帶來短暫的盈利，不可能帶來長久的巨大財富。切不可因為掌握了幾種簡單的方法就想運用在博彩上，而妄圖發家致富。