一階、二階導數(shù)在含參數(shù)的函數(shù)問題中的應用

貴州省六盤水市第十中學 馬群長

縱觀近幾年的高考真題，極值問題是必考的一個知識點。如已知某一點是函數(shù)的極大（極小）值點，求參數(shù)的取值或者參數(shù)的取值范圍等。通常情況下，學生會通過利用函數(shù)來求解極值點，再由極值點求參數(shù)值。對于高中生來說這是一個難點問題。為了幫助學生解決這一難點，本文將從函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)出發(fā)，淺談函數(shù)極值問題的求解。

一、極值的基本定理

定理1：設f(x)為一階、二階可導，且f'(x0)=0，那么：

（1）若且f'(x0)＜0，則x0為極大值點；

（2）若f''(x0)＞0，則x0為極小值點。

定理2： 設f(x)為一階、二階可導，且f'(x0)=0，那么：

（1）若x0為極大值點，則f''(x0)≤0；

（2）若x0為極小值點，則f''(x0)≥0。

同理，當x0為極小值點時，f''(x0)≥0。

二、典例分析

（1）略。（2）若f(x)在x=2 處取得極小值，求a 的取值范圍。

解法1（利用定理2）：（2）易求，f''(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex。

∴f(x)在x=2處取得極小值。若a≤0.5，則當x∈(0，2)時，x-2＜0，ax-1 ≤0.5x-1＜0，∴f '(x)＞0。∴2 不是f(x)＞0 的極小值點。

（1）略。（2）若x=0 是f(x)的極大值點，求a。

解法1（利用定理2）：（2）若a ≥0，易知當x ＞0 時，

又h(0)=f(0)=0，故x=0 是f(x)的極大值點，當且僅當x=0 是h(x)的極大值點。

又∵f(x)在x=0 處取得極小值，

在x=0 的領域內(nèi)，當x ＞0 時，h(x)＞0，當x ＜0 時，h(x)＜0。

本文從極值的判定定理出發(fā)，得到了關于求解極值的不同解法。在課堂上，學生也能想到利用二階導數(shù)，以簡化運算量。這也充分體現(xiàn)和培養(yǎng)了學生分析問題的能力、邏輯思維能力以及抽象能力等核心素養(yǎng)。