標準化解法：分段函數的熱點問題

云南北辰高級中學 王國海

分段函數是指在定義域的不同子集上對應法則不同的函數。分段函數在教材中是以例題的形式出現的，并未作全面闡述。但它應用廣泛，在高考中備受青睞。下面針對求分段函數的函數值、求分段函數的值域、判斷分段函數的奇偶性、探討分段函數的單調性四個熱點問題來探索它們的標準化解法。

一、分段函數的函數值

1.求分段函數的函數值的基本方法是分段求解法。

2.解題步驟：

第一步，判斷自變量的歸屬；

第二步，選擇相應的函數式；

第三步，將自變量的取值代入相應的函數式，然后求出相應的函數值。

解析：對于f（-1），∵-1 ＜0，∴f（-1）=（-1）+3=2；對于f（2），∵2 ＞0，∴f（2）=4+4=8。故f（f（-1）=8。

二、分段函數的值域

1.分段函數的值域=各段函數值域的并集。

2.解題步驟：

第一步，分別求出各段函數的值域；

第二步，將各段函數的值域求并集。

解析：∵f上（x）的值域為（0，1]，f下（x）的值域為（-∞，0]，∴f（x）的值域為（-∞，0]∪（0，1]=（-∞，1]。故f（x）的值域是（-∞，1]。

三、分段函數的奇偶性

1.判斷分段函數奇偶性的基本思想是整體代換、化簡換位、逐段比對。

2.解題步驟：

第一步，求出分段函數的定義域，并判斷它關于原點是否對稱；

第二步，在定義域關于原點對稱的情況下，用-x代替x，求出f（-x）的解析式；

第三步，逐段判斷f（-x）與f（x）是否相等，然后給出統一結論。

∴f（x）為偶函數。

∴f（x）為非奇非偶函數。

四、分段函數的單調性

1.分段函數的單調條件=各段單調條件+節點連貫條件。2.解題步驟：

第一步，理清定義域的各個不同子集；

第二步，弄清各段單調條件和節點連貫條件；

第三步，將各段單調條件與節點連貫條件整合起來，進而分析解決問題。

解析：∵f上（x）在（-∞，0）上單調遞增，f下（x）在[0，+∞）上也單調遞增，且f上（0）=-1 ≤f下（0）=1，∴f（x）在R 上是增函數。

筆者認為，掌握了這些標準化解法，就能在解題中避免或減少失誤。因此，探索更多常規問題的標準化解法就是我們的努力方向。