函數y=Asin（ωx+φ）的對稱性“三問”

■王承哲

同學們都知道，正弦函數與余弦函數都具有對稱性，它們的圖像不僅是軸對稱圖形，而且是中心對稱圖形。那么，由正弦函數與余弦函數的對稱性，如何來探究函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的對稱性呢？

問題1：如何求函數y=Asin（ωx+φ）與y=Acos（ωx+φ）的對稱軸方程？

答：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像的對稱軸都通過函數圖像的最值點且垂直于x軸。

函數y=Asin（ωx+φ）對稱軸方程的求法：令sin（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=（k∈Z），則所以函數y=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱軸方程為

函數y=Acos（ωx+φ）對稱軸方程的求法：令cos（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=kπ（k∈Z），則所以函數y=Acos（ωx+φ）的圖像的對稱軸方程為x=

例1已知函數y=sin（2x+φ）圖像的一條對稱軸在區間內，則滿足此條件的一個φ值為（ ）。

解：令2x+φ=解得x

問題2：如何求函數y=Asin（ωx+φ）與y=Acos（ωx+φ）的對稱中心？

答：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）圖像的對稱中心，即為函數圖像與x軸的交點。

函數y=Asin（ωx+φ）對稱中心的求法：令sin（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ（k∈Z），則所以函數y=Asin（ωx+φ）的圖像關于點Z）成中心對稱。

函數y=Acos（ωx+φ）對稱中心的求法：令cos（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ+π 2（k∈Z），則（k∈Z），所以函數 y=Acos（ωx+φ）的圖像關于點成中心對稱。

例2已知函數（ω＞0）的最小正周期為π，則該函數圖像（ ）。

問題3：函數y=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱性，一般可用到哪些重要結論？

答：函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱性有以下結論：①函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像關于點（x0，0）中心對稱，當且僅當f（x0）=0時成立。②函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像關于直線x=x0對稱，當且僅當f（x0）=A 或f（x0）=-A 時成立。上述結論，若換成函數f（x）=Acos（ωx+φ）同樣成立。

例3（1）已知函數f（x）=a2sin2x+（a-2）cos2x的圖像關于點中心對稱，求a的值。

（2）已知函數f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的圖像關于直線對稱，求a的值。

解：由函數f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的圖像關于點中心對稱，可得所以a=2。

例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期是π，若將函數f（x）的圖像向右平移個單位后得到的函數圖像關于原點對稱，則函數f（x）的圖像（ ）。

解：由f（x）的最小正周期為π，可得=π，即ω=2，所以函數f（x）的圖像向右平移個單位后得到函數g（x）=的圖像。又g（x）的圖像關于原點對稱，所以可得Z）。由可得Z），所以故函數f（x）=