2018 年高考三角數問題聚焦

■劉大鳴（特級教師）

2018年高考對三角函數的考查主要是圍繞“三角函數的圖像變換，函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像與性質，三角函數在區間上的零點，三角函數的最值”等展開的，彰顯“整體變量觀念、轉化與化歸和數形結合”素養的具體應用。

聚焦1：三角函數圖像變換的思維方法

例1（2018年高考天津卷）將函數y=的圖像向右平移個單位長度所得圖像對應的函數（ ）。

解：由題意求出平移后的函數解析式，然后確定函數的單調區間。將函數y=的圖像向右平移個單位長度所得圖像的解析式為依據正弦函數的單調性，可得所求函數的單調增區間為即令k=1，得到一個單調增區間為同理可得單調遞減區間為即令k=1，得到一個單調遞減區間為應選A。

品味：三角函數的圖像變換的兩種途徑：一是先伸縮后平移，二是先平移后伸縮。要注意的是：y=Asin（ωx+φ1）到y=Asin（ωx+φ2）的平移單位是當Δx＞0時，將y=Asin（ωx+φ1）圖像上所有點向左平移Δx個單位得到，當Δx＜0時，將y=Asin（ωx+φ1）圖像上所有點向右平移-Δx個單位得到。

變 式 1：已知函數f（x）=（其中ω＞0）的最小正周期為π。

（1）求ω 的值。

提示：（1）f（x）=由得ω=1。

聚焦2：函數y=Acos（ωx+φ）+B圖像的應用

例2（2018年高考北京卷）設函數（ω＞0），若 f（x）≤對任意的實數x都成立，則ω的最小值為_________。

解：根據余弦函數取最大值的條件解得ω，進而確定其最小值。對任意的實數x都有成立，可知當時，函數f（x）有最大值，可得所以=2kπ（k∈Z），即又ω＞0，故

品味：理解y=cosx，y=Acos（ωx+φ）+B之間的關系，借助整體變量觀念，利用余弦函數的性質可研究y=Acos（ωx+φ）+B的性質。

變式2：已知函數y=sin（2x+φ）的圖像關于直線對稱，則φ的值是_______。

提示：由 函 數 y=sin（2x+φ）的圖像關于直線對稱，可得所以即又故

聚焦3：求函數y=Asin（ωx+φ）+B 的周期及最值問題

（1）求f（x）的最小正周期。

解：（1）利用輔助角公式化為一個角和一種三角函數形式，再用周期公式求解。由于所以f（x）的最小正周期

品味：形如y=asinωx+bcosωx的函數，利用輔助角公式可化為形式，其最小正周期為

變式3：已知函數fx（）=sin2ωx+的最小正周期為π。

（1）求ω 的值。

提示：（1）函數

聚焦4：三角函數的解或零點問題

例4（2018年高考上海卷）設常數a∈R，函數f（x）=asin2x+2cos2x。

（1）若f（x）為偶函數，求a的值。

解：（1）若f（x）為偶函數，則對任意x∈R，均有f（x）=f（-x），即asin2x+2cos2x=asin2（-x）+2cos2（-x），化簡可得方程2asin2x=0對任意x∈R都成立，故a=0。

若該方程在[-π，π]上有解，則k=0或k=1，對應方程的解x的值分別為

品味：三角變換中常用的降冪公式有：

變式4：函數在上的零點個數為_________。

提示：由題意可得所以即∈Z。當k=0時當k=1時當k=2時均滿足題意。故函數f（x）在[0，π]上的零點個數為3。

聚焦5：三角函數的單調性問題

例5（2018年高考全國卷）若f（x）=cosx-sinx在[-a，a]上是減函數，則a的最大值是（ ）。

解：先確定三角函數的單調減區間，再根據集合包含關系確定a的最大值。由函數f（x）=cosx-sin且y=cosx在區間[0，π]上單調遞減，可得0≤x+即

品味：求解三角函數的單調性，凸顯整體變量的應用。

變式5：若f（x）=cosx-sinx在[0，a]是減函數，則a的最大值是（ ）。

提示：由 f（x）=cosx-sinx=可得（k∈Z），即Z），所以所以0＜a≤即a的最大值為應選C。