盤點(diǎn)三角函數(shù)最值問題的求法

■柯定尊

三角函數(shù)最值問題是近幾年高考考查的一個(gè)重點(diǎn)，三角函數(shù)最值是函數(shù)最值的一個(gè)重要組成部分，與二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容緊密相關(guān)，由于其題型的變化多樣，常常讓同學(xué)們感到無從下手。下面介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法，供同學(xué)們參考。

一、利用配方法求三角函數(shù)的最值

若函數(shù)表達(dá)式中只含正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且它們的次數(shù)是2時(shí)，一般需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。

例1求函數(shù)y=-2sin2x+2sinx+1的最值。

解：函數(shù)y=-2sin2x+2sinx+1=因?yàn)?1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=-1，即時(shí)當(dāng)即時(shí)，ymax=-2×0+

解答本題的關(guān)鍵是先將函數(shù)式進(jìn)行配方，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題。

跟蹤練習(xí)1：函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值為（ ）。

提示：函數(shù)y=cos2x-3cosx+2=因?yàn)?1≤cosx≤1，所以當(dāng)cosx=1，即x=2kπ，k∈Z時(shí)，ymin=應(yīng)選B。

二、利用歸一法求三角函數(shù)的最值

若函數(shù)表達(dá)式中同時(shí)含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，一般需要通過三角恒等變換將所給的函數(shù)式化為只含有一個(gè)函數(shù)名的形式。

例2求函數(shù)y=cos2x+5sinx-sin2x的最值。

解：函數(shù)y=1-sin2x+5sinx-sin2x=因?yàn)?1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=-1，即x=2kπ-k∈Z時(shí)，當(dāng)sinx=1，即x=時(shí)

本題是利用三角函數(shù)的基本關(guān)系把函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)的形式進(jìn)行求解的。

跟蹤練習(xí)2：求函數(shù)y=sin2x+2cosx的最值。

提示：函數(shù)y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-（cosx-1）2+2。因?yàn)?1≤cosx≤1，所以當(dāng)cosx=1，即x=2kπ，k∈Z時(shí)，ymax=2；當(dāng)cosx=-1，即x=時(shí)，ymin=-4+2=-2。

三、利用有界性求三角函數(shù)的最值

在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本的方法。

例3求函數(shù)的最值。

解：原函數(shù)變形為因?yàn)閨sinx|≤1，所以所以-1≤y≤故函數(shù)y的最大值為最小值為-1。

跟蹤練習(xí)3：求函數(shù)的值域。

提示：原函數(shù)變形為因?yàn)閨cosx|≤1，所以所以y≥3或故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>

四、利用單調(diào)性求三角函數(shù)的最值

如果一個(gè)三角函數(shù)通過換元后的函數(shù)在它的定義域上具有單調(diào)性，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

例4已知x∈（0，π），求函數(shù)y=的最小值。

解：設(shè)sinx=t，因?yàn)閤∈（0，π），所以0＜t≤1。所以在（0，1）上是減函數(shù)，所以當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y有最小值為3。

跟蹤練習(xí)4：求函數(shù) y=的值域。

提示：函數(shù)設(shè)sinx+2=t，因?yàn)閟inx∈[-1，1]，所以1≤t≤3，所以y=t-在[1，3]上單調(diào)遞增[圖像類似對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，以y=x為漸 近線，且過點(diǎn) （1，0）]。當(dāng)t=1，即sinx=-1時(shí)，ymin=0；當(dāng)t=3，即sinx=1時(shí)故函數(shù)y的值域?yàn)?/p>

五、利用數(shù)形結(jié)合法求三角函數(shù)的最值

由于sin2x+cos2x=1，所以從圖形考慮，點(diǎn)（cosx，sinx）在單位圓上，這樣對(duì)既含有正弦函數(shù)又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題，可考慮用數(shù)形結(jié)合法求解。

例5求函數(shù)的最小值。

解：將函數(shù)表達(dá)式改寫成y 可看成連接點(diǎn)A（2，0）與點(diǎn)（cosx，sinx）的直線的斜率。由于點(diǎn)（cosx，sinx）的軌跡是單位圓的上半圓，所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切于點(diǎn)B，則kAB≤y＜0，可求得所以函數(shù)y的最小值為

跟蹤練習(xí)5：求函數(shù)的最大值。

提示：由函數(shù)設(shè)點(diǎn)P 為（sinx，cosx），點(diǎn)Q 為（-2，0），則可看成是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q連線的斜率，如圖1所示。設(shè)過點(diǎn)Q的切線與圓相切于點(diǎn)P1時(shí)，直線的斜率最大。可求得所以可得y=1。所以函數(shù)y的最大值為1

圖1

六、利用分類討論法求三角函數(shù)的最值

對(duì)于含參數(shù)的三角函數(shù)的最值問題的解答，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。

例6 設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x+asinx-用a表示f（x）的最大值 M（a）。

解：函數(shù)f（x）=-sin2x+asinx-令sinx=t，則0≤t≤1，故g（t）=

本題主要利用換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，根據(jù)sinx的取值范圍[-1，1]，利用對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論求出最大值。

跟蹤練習(xí)6：求關(guān)于x的函數(shù)y=-sin2x-2asinx+1-a的最大值。

提示：函數(shù)y=-sin2x-2asinx+1-a=-（sinx+a）2+a2-a+1。令sinx=t，則|t|≤1，故y=-（t+a）2+a2-a+1。

（1）若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1，則t=-a時(shí)，函數(shù)y有最大值為ymax=a2-a+1（如圖2所示）。

圖2

（2）若-a＜-1，即a＞1，則t=-1時(shí)，函數(shù)y有最大值為ymax=a（如圖3所示）。

圖3

（3）若-a＞1，即a＜-1，則t=1時(shí)，函數(shù)y有最大值為ymax=-3a（如圖4所示）。

圖4