揭秘三角函數的圖像與應

■周湘林

作三角函數的圖像一般有兩種方法，一是五點作圖法，二是圖像變換法。利用三角函數的圖像變換，不僅方便畫出三角函數的圖像，而且還可以進一步研究三角函數的性質。下面就讓我們一起來揭秘三角函數的圖像及其應用吧！

一、五點法作簡圖

用五點法作正弦、余弦型函數圖像的步驟：①將原函數化為y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式；②確定周期；③確定一個周期內函數圖像的最高點和最低點；④選出一個周期內與x軸的三個交點；⑤列表；⑥描點畫圖。

例1用五點法畫出函數y=的圖像，并指出這個函數的周期與單調區間。

解：令則按五個關鍵點列表，如表1所示。

表1

先在坐標系中描出相應的五點，再用光滑的曲線連接起來，如圖1所示，最后向兩端伸展一下。

圖1

運用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的簡圖時，通常把ωx+φ看成一個整體，按五個關鍵點列表（如表2所示）。在坐標系中描出五個關鍵點并將它們用光滑的曲線連接起來，要注意曲線的凹凸方向，從而可以畫出函數在一個周期內的簡圖。

表2

跟蹤練習1：用五點法作出函數y=在一個周期內的圖像。

提示：令解得令解得解得令解得令解得按五個關鍵點列表，如表3所示。

表3

描點并將它們用光滑的曲線連接起來，得到函數的圖像，如圖2所示。

圖2

二、三角函數的圖像變換問題

由函數y=sinx的圖像經過變換得到函數y=sin（ωx+φ）的圖像，有兩種主要途徑：一是先左右平移后伸縮橫坐標，即y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）；二是先伸縮橫坐標后左右平移，即y=sinx→y=sin（ωx）→y=sin（ωx+φ）。大家要注意的是，第一種途徑平移|φ|個單位長度，第二種途徑平移個單位長度。

例2為了得到函數的圖像，只需把函數y=sin2x的圖像（ ）。

解決平移問題，要遵循“只對x，y 進行運算”的原則，因此，對于將函數y=sin（ωx）（ω≠1）的圖像平移得到函數y=sin（ωx+φ）（ω≠1）的圖像問題，先要把函數y=sin（ωx+φ）（ω≠1）的解析式寫成的形式，再進行平移變換，才能使問題得以順利解答。

跟蹤練習2：為了得到函數y=的圖像，只需把函數y=的圖像（ ）。

提示：函數函 數所以將函數的圖像向右平移個長度單位，即可得到函數的圖像。應選B。

例3為了得到函數的圖像，只需把函數y=cos2x的圖像（ ）。

解答函數圖像的平移問題時，要注意平移前后兩個函數的解析式的函數名是否相同。如果函數名不同，應先化為同名函數，再進行平移變換。

跟蹤練習3：將函數的圖像向左平移個單位長度后，所得圖像對應的函數是偶函數，則φ=________。

提示：將函數的圖像向左平移φ個單位長度后，得到函數y=的圖像。因為函數y=是偶函數，所以解得又因為所以

三、求三角函數的解析式

確定函數y=Asin（ωx+φ）的解析式，就是確定其中的參數A，ω，φ的值。從圖像的特征尋找答案，A由最值確定；ω由周期確定，周期一般通過特殊點觀察求得，如相鄰的最高點、最低點的橫坐標相差半個周期；φ可由點在函數圖像上列方程求得，確定φ值時，注意它的不唯一性，一般求|φ|中最小的φ值。

例4圖3所示的是函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，請確定 A，ω，φ 的值，并確定函數的解析式。

圖3

解法1：（代入法）由圖像知A=3，由T=可得因為圖像過點令得所以此函數的解析式為

解法2：（五點法）由圖像知A=3，且圖像過點根據五點作圖法的原理，可得

通過將若干個特殊點代入函數式，可以求得相關參數A，ω，φ的值。這里需要注意的是，所選擇的點屬于五點法中的哪一個點，并要正確代入列出等式。

跟蹤練習4：如圖4所示，函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像上相鄰的最高點與最低點的坐標分別為和求該函數的解析式。

圖4

提示：依題意知，A=3。因為所以T=π。又因為所以ω=2。這時函數的解析式為y=3sin（2x+φ）。由圖像過點和根據五點作圖法的原理，可得解得ω=所以此函數的解析式為y=