探究三角函數的圖像與性質的重難點

■陳和改

三角函數的圖像與性質的相關試題是近幾年高考命題的熱點，主要考查三角函數的定義域、最值、單調性、奇偶性和周期性等內容。下面分別介紹，以供大家參考。

一、三角函數的定義域問題

三角函數的定義域是研究三角函數的其他性質的前提，求三角函數的定義域，事實上就是求最簡單的三角不等式，通常可用三角函數的圖像來求解，體現了數形結合思想的應用。

例1求函數的定義域。

解：因為2sinx-1≥0，所以在同一坐標系內作出y=sinx，x∈[0，2π]和的圖像（如圖1所示），解方程sinx=得結合圖像可以看出，滿足的x的范圍是故函數y 的定義域為

圖1

對于三角不等式的求解，用常規方法求解有困難時，可以通過構造函數圖像，使問題得以順利解決。

跟蹤練習1：求函數tanx）的定義域。

提示：因為所以故函數y的定義域為

二、三角函數的最值問題

求三角函數的最值主要有兩種類型：一是將函數化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，利用三角函數的有界性，轉化為不等式求最值問題；二是將函數化為y=psin2x+qsinx+r（p≠0）的形式，利用二次函數在給定區間上的特征求最值問題，此時應注意自變量的取值范圍。

例2已知k＜-4，求函數y=cos2xsin2x+k（cosx-1）的最小值。

解：由題意得y=2cos2x+kcosx-k-因為k＜-4，所以所以當cosx=1時，函數y有最小值為ymin=1。

通過轉化將三角函數問題轉化為熟悉的二次函數在閉區間上的最值問題，使問題得以順利解答。但用sinx或cosx表示函數時，一定要注意sinx，cosx的有界性。

跟蹤練習2：求函數的最值。

提示：因為所以0≤2x+所以所以當時函數y有最大值為ymax=2；當時函數y有最小值為ymin=0。

三、三角函數的單調性問題

求函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調區間的基本思路是把ωx+φ看成一個整體，求此函數的遞增區間，就是解不等式Z）得到x的范圍。若函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＜0），可利用誘導公式將函數轉化為則函數y=Asin（-ωx-φ）的單調遞增區間為原函數的單調遞減區間，單調遞減區間為原函數的單調遞增區間。

例3求函數的單調遞減區間。

解：將函數轉化為欲求該函數的單調遞減區間，只需求函數y=的單調遞增區間即可。由2kπ-解得kπ-故函數y的單調遞減區間為

解決三角函數的單調性問題，關鍵是先利用誘導公式把x的系數化為正值，再求單調區間。

跟蹤練習3：函數的單調遞增區間為（ ）。

B.kπ，（k+1）π（），k∈Z

提示：函數的單調遞增區間滿足k∈Z，所以函數f（x）的單調遞增區間為應選C。

四、三角函數的奇偶性問題

判斷函數的奇偶性的主要方法是定義法，先看定義域是否關于原點對稱，再看f（x）與f（-x）的關系。

例4判斷函數fx（）=的奇偶性。

解：因為函數f（x）的定義域為R，且f（x）+f（-x）=lg1=0，所以f（-x）=-f（x）。所以函數f（x）為奇函數。

判斷函數的奇偶性時，一般根據奇偶性的定義進行判斷，在判斷過程中有時也可由判斷f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0得到結論。

跟蹤練習4：判斷函數fx（）=的奇偶性。

提示：因為函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=f（x），所以函數f（x）為偶函數。

五、三角函數的周期性問題

函數的周期性的定義是對定義域中的每一個x值來說，都有f（x+T）=f（x）（T≠0），那么f（x）是以T為周期的函數。

例5下列函數中，周期為的是____。

解：由三角函數周期的定義可知，y=的周期為4π，y=tan2x的周期為的周期為8π，y=cos4x的周期為故答案為②④。

函數y=sinx的周期不止一個，如2π，4π，6π，…，事實上，任何一個非零常數2kπ（k∈Z）都是正弦函數的周期，2π只是y=sinx的最小正周期。

跟蹤練習5：設點P 是函數f（x）=sinωx的圖像C的一個對稱中心，若點P到圖像C的對稱軸上的距離的最小值為則f（x）的最小正周期是（ ）。

提示：因為點P是函數f（x）=sinωx的圖像C的一個對稱中心，點P到圖像C的對稱軸上的距離的最小值為所以函數f（x）的最小正周期為應選B。

六、三角函數的對稱性問題

正弦、余弦函數的圖像都是軸對稱與中心對稱圖形，其對稱軸為過最值點且與x軸垂直的直線，分別為與x=kπ（k∈Z）；對稱中心即為函數的零點，分別為（kπ，0）與正切函數的圖像是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，其對稱中心為函數的零點，即對稱中心為

例6函數的圖像的一條對稱軸方程是（ ）。

解：因為函數y=sinx的對稱軸方程為所以由（k∈Z），得當k=-1時應選D。

跟蹤練習6：函數的圖像的一個對稱中心是（ ）。

提示：因為函數y=cosx的對稱中心是所以由得當k=0時應選D。

（縱坐標不變）

提示：先將函數y=2sinx，x∈R的圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖像。再把所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到函數x∈R的圖像。應選C。