挖掘三角函數的考查點

■何成寶

三角函數是高中數學的重要內容，主要包括三角函數的概念、圖像、性質，以及三角函數的應用等。常考考點主要有函數的圖像、函數的性質、函數的化簡與求值等，一般以選擇題、填空題的形式出現，難度較低，有時也以解答題的形式考查，但難度也不大。本文就三角函數的考查點加以分類例析，以幫助同學們更好地掌握相關知識。

考點一：考查三角函數的概念

主要考查同學們掌握三角函數概念的情況，并能否利用同角公式、誘導公式求三角函數值，這是高考中最基本的題型。

例1 若角α的始邊為x軸的非負半軸，頂點為坐標原點，點P（-4，3）為其終邊上一點，則cosα的值為（ ）。

解：由余弦函數的定義可知應選C。

解決本題的關鍵是理解已知角的終邊上一點的坐標，結合三角函數的定義，求解三角函數值。

跟蹤練習1：若角α的終邊經過點（1，-5），則tanα的值為（ ）。

提示：因為角α的終邊經過點（1，-5），所以x=1，y=-5，則-5。應選A。

考點二：考查三角函數的圖像

主要考查同學們對三角函數圖像的理解及應用情況，常見的題目為給出解析式要求畫出圖像，給出圖像讓求解析式，以及進行圖像變換等。

例2函數在區間上的簡圖是（ ）。

解：通過特例可排除B、D項。通過特例可排除C項。應選A。

解答此類型題的關鍵是熟練掌握正弦、余弦函數的圖像和性質，而解決本題的關鍵是巧用特殊點。

跟蹤練習2：函數y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在區間上的圖像是（ ）。

提示：函數y=tanx+sinx-|tanx-因為在區間上tanx＜sinx，在區間上tanx≥sinx，所以函數y在區間上的圖像為D。應選D。

例3已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）在一個周期內的簡圖如圖1所示，則此函數的解析式為___________。

圖1

解：由圖像可知A=2。由圖像過點（0，1），可得f（0）=1，即sin因為所以又因為是圖像上的一點，所以即0。由圖像可知是圖像在y軸右側部分與x軸的第二個交點，所以2π，解得ω=2。故此函數的解析式為f（x）=

掌握A，ω，φ 的物理意義，根據圖像中的特殊點，可以快速解題。

跟蹤練習3：已知函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖像如圖2所示，則此函數的解析式為（ ）。

圖2

例4把函數y=sinx（x∈R）的圖像上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，則得到的圖像所表示的函數是（ ）。

解：將函數y=sinx（x∈R）的圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數y=的圖像。再把所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，即函數周期變為原來的一半，因此得到的圖像所表示的函數為R）。應選C。

對于三角函數圖像的變換，大家主要掌握三種：相位變換、周期變換和振幅變換。①將函數y=sinx，x∈R的圖像向左（當φ＞0時）或向右（當φ＜0時）平移|φ|個單位長度，得到函數y=sin（x+φ）的圖像，簡記為“左加”“右減”。②將函數y=sinx，x∈R的圖像上所有點的橫坐標縮短（當ω＞1時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的縱坐標不變，得到函數y=sinωx，x∈R（ω＞0且ω≠1）的圖像。③將函數y=sinx，x∈R的圖像上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍，橫坐標不變，得到函數y=Asinx，x∈R的圖像。

跟蹤練習4：要想得到函數y=的圖像，只需將函數y=sin2x的圖像（ ）。

提示：因為函數所以只需將函數y=sin2x的圖像向左平移個單位長度，即可得到函數的圖像。應選A。

考點三：考查三角函數的性質

主要是對三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值問題的考查，要求大家熟練掌握y=Asin（ωx+φ）（x∈R）與y=Acos（ωx+φ）（x∈R）等類型的函數的相關性質。

例5設函數R，則函數f（x）（ ）。

C.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上單調遞減

D.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上單調遞增

解：由函數 f（x）=-cos2x，得函數f（x）在Z）上單調遞增，在上單調遞減。應選B。

熟悉幾種常見的三角函數的單調區間是解答此類問題的關鍵。

跟蹤 練 習 5：設 函 數 f（x）=則以下結論正確的是（ ）。

提示：由x∈可知所以函數f（x）先減后增；由可知所以函數f（x）先增后減；由可知所以函數f（x）單調遞減；由可知所以函數f（x）先減后增。應選C。

例6已知函數y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數，則φ的值可能為（ ）。

解：因為函數y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數，所以sin（-x+φ）=sin（x+φ），即x+φ=π-（-x+φ）+2kπ，k∈Z，解得又因為0≤φ≤π，所以當k=0時應選C。

函數y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）為偶函數，則函數y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）為奇函數，則φ=kπ，k∈Z。

跟蹤練習6：函數y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函數，則φ的值可能為（ ）。

提示：因為函數y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函數，所以φ=kπ，k∈Z。又因為0≤φ≤π，所以當k=0時，φ=0。應選A。

考點四：考查三角函數的化簡與求值

三角函數化簡與求值的基本要求：①盡量使函數的種類最少、次數最低、項數最少。②盡量使分母不含三角函數式。③盡量使被開方數不含三角函數式。④能求值的應計算出來。

例7化簡2sinα·cosα。

解：原式2sinα·cosα

三角函數的化簡與求值通常與三角函數的圖像、性質及誘導公式綜合在一起進行考查，同學們在解題時要嚴格按照三角函數化簡與求值的基本要求。

跟蹤練習7：化簡：sinθ（1+tanθ）+

提示：原式

例8已知（m≠0），求的值。

解：由可得所 以又由且可得所以所以

應用整體意識找到角與角之間的關系是解答此題的突破口。

跟蹤練習8：求sin2（42°+θ）-2tan（45°+θ）·tan（45°-θ）+sin2（48°-θ）的值。

提示：原式