關于短區間的并集中D.H.Lehmer問題的一個推廣

王曉瑛,曹艷梅

(西北大學數學學院,陜西西安 710127)

1 引言

設整數q>2.對任意與q互素的整數a,存在唯一的整數b滿足1≤b≤q以及ab≡1(mod q).D.H.Lehmer[1]建議研究a與b的奇偶性不同的情形.當q=p為奇素數時,張文鵬[2]證明了

隨后在文獻[3,4]中,張文鵬還得到了漸近公式

其中φ(q)為Euler函數,d(q)是除數函數.

設k為非負整數.張文鵬[5]進一步證明了

此外設0≤x,y≤1,文獻[5]中還得到了

設實數l,δ滿足l≥0與0<δ≤1.王曉瑛與趙秋紅在文獻[6]中給出了漸近公式

設q,c,n為整數,滿足n≥2,q≥3以及(n,q)=(c,q)=1.設 0<δ1,δ2≤1.陸亞明與易媛[7]給出了D.H.Lemher問題的推廣

本文進一步考慮D.H.Lemher問題在短區間的并集上的推廣.主要結論如下.

定理1.1設p是奇素數,H>0,K>0,并設是(0,p)的子區間,1≤j≤J,滿足當j 6=k時.設c,n為整數,滿足n≥2以及(n,p)=(c,p)=1.則有

推論1.1當時,存在j∈{1,2,···,J},使得方程xy≡c(mod p),n-(x+y)有解.

2 Kloosterman和的估計

設p>2為素數,m與n為任意整數.經典的Kloosterman和的定義為

Browning和Haynes[9]給出了短區間的并集上的Kloosterman和的某種估計式.

引理 2.1設 p是奇素數,H 為正整數,I1,···,IJ是(0,p)的互不相交的子區間,且對任意j滿足H/2<|Ij|≤H.設整數l與p互素,則有

為了證明本文的定理,需要進一步考慮短區間的并集上的Kloosterman和的估計.

引理2.2設p是奇素數,H,n,s,l為整數,滿足1≤H≤p,n≥2以及(n,p)=(l,p)=1.則有

證由剩余系的性質可得

再由Kloosterman和的經典估計,可得

引理2.3設p是奇素數是互不相交的子區間,且對任意的j滿足其中H ≤p為正整數.設n,s,l為整數,滿足n≥2以及(n,p)=(l,p)=1.則有

證利用引理2.2以及文獻[9]中的方法,不難證明引理2.3.為了完整起見,在此給出詳細的證明.

設Rj為集合Ij中的最小正整數,并假設R1

容易證明

由1≤h≤H與Rj?H

因此有

再由柯西不等式,可得

對h取最大值,并對j求和,有

利用柯西不等式,有

上式兩邊對r求和,并結合引理2.2,有

結合(2.1)–(2.3)式,立即可得

3 定理1.1的證明

易證

由三角恒等式,有

再由柯西不等式以及引理2.1可得

因此

另一方面,由三角恒等式有

再由柯西不等式以及引理2.3可得

其中 hαi=min({α},1?{α}).記m=sp?ln.則當s取遍模n的完全剩余系,l取遍模p的簡化剩余系時,m取遍模np的完全剩余系中與p互素的整數.因此

結合(3.1)–(3.4)式,立即可得

定理1.1證畢.