踐行數(shù)學(xué)抽象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，體會(huì)數(shù)學(xué)之妙

☉華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 孟慶媛

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴(lài)的最重要的基本思想也就是抽象，只有通過(guò)抽象才能得到抽象的東西.抽象是數(shù)學(xué)的一個(gè)長(zhǎng)處，是數(shù)學(xué)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)的一個(gè)武器.抽象是數(shù)學(xué)的一個(gè)非常突出的特點(diǎn).筆者在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有一部分同學(xué)對(duì)抽象是反感的；有同學(xué)因數(shù)學(xué)的抽象性而感覺(jué)數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué).其實(shí)，這里面是有一些誤解的，沒(méi)有抽象，就沒(méi)有數(shù)學(xué).

例如1這樣一個(gè)自然數(shù)，是經(jīng)過(guò)人類(lèi)多少萬(wàn)年抽象出來(lái)的，在客觀世界里可能有1條魚(yú)，1個(gè)果子，1塊石頭，1個(gè)人，但是沒(méi)有1.1是從眾多的客觀事物中抽象出來(lái)的，經(jīng)過(guò)多年以后再抽象成自然數(shù).

數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究，去掉感性的東西諸如輕重、軟硬、冷熱，剩下的只有數(shù)量和關(guān)系，而各種規(guī)定都是針對(duì)數(shù)量和關(guān)系而制定的.有時(shí)研究位置之間的關(guān)系，有時(shí)研究可通約性，有時(shí)研究各種比例……對(duì)于數(shù)學(xué)研究而言，線(xiàn)、角或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關(guān)系.

學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)“抽象”是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，我們應(yīng)該喜愛(ài)“抽象”，并學(xué)會(huì)“抽象”的手段.

一、哥尼斯堡七橋問(wèn)題，踐行數(shù)學(xué)抽象

（一）問(wèn)題描述

本文以大家熟悉的“哥尼斯堡七橋”問(wèn)題來(lái)作為一個(gè)載體，實(shí)踐數(shù)學(xué)抽象.

哥尼斯堡是歐洲一個(gè)美麗的城市，一條河流流經(jīng)這個(gè)美麗的城市.河里面有兩個(gè)島，連接岸和島、島和島共有七座橋，人們晚飯后沿著河岸散步，可以經(jīng)過(guò)橋走到島上去，或者經(jīng)過(guò)橋走到對(duì)岸.

有一天，有一個(gè)人就想出一個(gè)游戲來(lái)，看看誰(shuí)能夠不重復(fù)的走遍這七座橋.不重復(fù)的走遍這七座橋，包含兩個(gè)意思，第一是要把這七座橋都走遍了，第二是不能重復(fù)的走這七座橋，每座橋都只能走一遍.幾天實(shí)踐下來(lái)，沒(méi)有一個(gè)人能找到這樣的一條路線(xiàn).不是少走了一座橋，就是某座橋走了兩遍.

圖1

這是為什么呢？

圖2

（二）歐拉的三步抽象

1.第一步抽象是地圖的抽象這個(gè)問(wèn)題和島的形狀、大小沒(méi)有關(guān)系，和這個(gè)岸的形狀、橋的長(zhǎng)短、直彎也沒(méi)有關(guān)系，重要的是岸、橋、島的相對(duì)位置關(guān)系.把岸和島抽象成點(diǎn)，把這七座橋分別抽象成七條線(xiàn).

第一步抽象是對(duì)地圖的抽象，把地圖抽象成點(diǎn)線(xiàn)圖，把島和岸都抽象成點(diǎn)，把橋抽象成線(xiàn)，這既簡(jiǎn)化了問(wèn)題的條件，又突出了問(wèn)題的本質(zhì).

2.第二步抽象是對(duì)問(wèn)題的抽象.

不重復(fù)地走遍七座橋，歐拉把它抽象成要用一筆畫(huà)出這個(gè)點(diǎn)線(xiàn)圖來(lái).既不能少畫(huà)一條線(xiàn)，也不能重復(fù)地畫(huà)一條線(xiàn)，這是對(duì)問(wèn)題的抽象.

第二步抽象明確了問(wèn)題的本質(zhì)，給出了問(wèn)題的表述.

3.第三步抽象是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方式的敘述.

“找到一個(gè)連通的點(diǎn)線(xiàn)圖可以一筆畫(huà)出的充分必要條件，并且對(duì)可以用一筆畫(huà)出的圖形給出一筆畫(huà)的方法”.

第三步抽象便于我們數(shù)學(xué)方式的理性思維.

從歐拉的三步抽象的過(guò)程中可以看到數(shù)學(xué)抽象的作用和威力.

（三）三個(gè)層次解決問(wèn)題

1.第一層，把圖形上的點(diǎn)分成兩類(lèi).

通過(guò)考慮點(diǎn)周?chē)木€(xiàn)是奇數(shù)還是偶數(shù)，把點(diǎn)分成這樣兩類(lèi)：點(diǎn)周?chē)€(xiàn)的條數(shù)是偶數(shù)的點(diǎn)叫偶結(jié)點(diǎn)，點(diǎn)周?chē)€(xiàn)的條數(shù)是奇數(shù)的點(diǎn)叫奇結(jié)點(diǎn).

2.第二層，探索偶結(jié)點(diǎn)多一些好，還是奇結(jié)點(diǎn)多一些好？

通過(guò)對(duì)眾多圖形的分析，發(fā)現(xiàn)要用一筆畫(huà)成功，在每個(gè)點(diǎn)都得進(jìn)去和出來(lái)，那么至少需要兩條線(xiàn)，應(yīng)該是偶結(jié)點(diǎn)多一些好，奇結(jié)點(diǎn)少一些好.

3.第三層，探索奇結(jié)點(diǎn)少到幾個(gè)才能一筆畫(huà)出呢？

點(diǎn)線(xiàn)圖上的點(diǎn)是不公平的，可以分為兩類(lèi)點(diǎn)：第一類(lèi)是起點(diǎn)和終點(diǎn)；第二類(lèi)是中途經(jīng)過(guò)的點(diǎn).起點(diǎn)會(huì)有一條線(xiàn)只畫(huà)出去而不進(jìn)來(lái)，終點(diǎn)會(huì)有一條線(xiàn)只到達(dá).顯然，起點(diǎn)和終點(diǎn)都是奇結(jié)點(diǎn)，中途經(jīng)過(guò)的點(diǎn)不可能是奇結(jié)點(diǎn).

如果是零個(gè)奇結(jié)點(diǎn)，那么可以以任何一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，以任何一個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)，都能一筆畫(huà)出；數(shù)學(xué)上可以證明點(diǎn)線(xiàn)圖里的奇結(jié)點(diǎn)不會(huì)是一個(gè)；如果是兩個(gè)奇結(jié)點(diǎn)，可以以其中一個(gè)為起點(diǎn)，另外一個(gè)為終點(diǎn)，就能一筆畫(huà)出.

綜上所述，得到“連通的點(diǎn)線(xiàn)圖能夠一筆畫(huà)出的充分必要條件是奇結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于兩個(gè)（0個(gè)或2個(gè)）”的結(jié)論.

由于文章篇幅所限，另一方面的證明就在此省略了，因此我們可以得到：

連通的點(diǎn)線(xiàn)圖能夠一筆畫(huà)的充分必要條件是奇結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于兩個(gè)（0個(gè)或2個(gè)）.

（四）用結(jié)論解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題

反觀七橋問(wèn)題，在七橋問(wèn)題的點(diǎn)線(xiàn)圖里，有四個(gè)奇結(jié)點(diǎn)，不符合充分必要條件.這個(gè)點(diǎn)線(xiàn)圖是不可能一筆畫(huà)出的，難怪那么多人想嘗試不重復(fù)地走遍這七座橋，最后都失敗了.

數(shù)學(xué)道理就在此處.

二、數(shù)學(xué)抽象思想在中學(xué)數(shù)學(xué)證明中的實(shí)踐

（一）問(wèn)題描述

本文選取了某地區(qū)高三二模考試的第21題進(jìn)行分析：

（二）問(wèn)題分析

（1）第一問(wèn)屬于基礎(chǔ)題目，解不等式便可解決.

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過(guò)作差比較，分類(lèi)討論，即可使得問(wèn)題得到解決.

（3）證明題本來(lái)就是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，再加上純粹的數(shù)學(xué)證明的抽象性等原因，使得學(xué)生對(duì)于證明題會(huì)出現(xiàn)無(wú)法下手、邏輯不清等困難.學(xué)生對(duì)于抽象的問(wèn)題總是想一步到位找到解決辦法，但是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生又缺乏分解問(wèn)題的能力，即分步解決問(wèn)題的邏輯思維和能力.對(duì)于這種抽象的題目，很多學(xué)生會(huì)選擇放棄，這十分可惜.第三問(wèn)確實(shí)有一定的難度，對(duì)于充分性，需要學(xué)生準(zhǔn)確把握題干當(dāng)中所提供的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)零點(diǎn)存在定理準(zhǔn)確地找到零點(diǎn)的范圍；必要性的證明則利用了第二問(wèn)的單調(diào)性結(jié)論，借助于g（x）的性質(zhì)加以解決.總之，第三問(wèn)的解決需要對(duì)抽象的數(shù)學(xué)證明加以分解，并通過(guò)敏銳的觀察力，結(jié)合題目去加以分析論證.

（三）問(wèn)題解決

三、數(shù)學(xué)抽象思想在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中的實(shí)踐

（一）問(wèn)題描述

地震和風(fēng)雨雷電一樣，都是一種自然現(xiàn)象.強(qiáng)烈的地震，會(huì)引起地面強(qiáng)烈的振動(dòng)，直接和間接地造成破壞.直接破壞如：由于地面強(qiáng)烈振動(dòng)引起的地面斷裂、變形、冒水、噴砂和建筑物損壞、倒塌以及對(duì)人畜造成的傷亡和財(cái)產(chǎn)損失等等.20世紀(jì)全球每年有記錄的地震約500萬(wàn)次，平均每年7.0級(jí)以上的強(qiáng)震約13次，其中15%發(fā)生在大陸.

我國(guó)是個(gè)多地震國(guó)家，地震活躍區(qū)的居民一般都有切身體驗(yàn)，甚至是出生入死的親歷險(xiǎn)境.加強(qiáng)對(duì)地震情況的研究和預(yù)防，與國(guó)民生活有著緊密的關(guān)系.

已知某省有A、B、C三個(gè)地震監(jiān)控站，A在B的正東，相距6千米；C在B的北偏西30°方向，相距4千米.記地震中心為P.某一時(shí)刻A測(cè)到P傳來(lái)的地震波，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此一分鐘后B、C監(jiān)控中心才同時(shí)接收到這一地震波，已知地震波的傳播速度為4千米/分.（說(shuō)明：點(diǎn)P，A，B，C位于同一平面內(nèi)）

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求地震監(jiān)控站A到震中P的距離；

（2）若地震波從P點(diǎn)的正下方Q點(diǎn)處發(fā)出，則A、B收到地震波的時(shí)間差變大還是變小，并說(shuō)明你的判斷理由？

（二）問(wèn)題解決

圖3

（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖3建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，B（-3，0），A（3，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），因?yàn)?|PB|=|PC|，所以點(diǎn)P位于BC的中垂線(xiàn)上.所

因?yàn)閨PB|-|PA|=4，所以點(diǎn)P位于以A、B為焦點(diǎn)，焦距為6的雙曲線(xiàn)的右半支上.

四、數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)

歐拉對(duì)哥尼斯堡七橋問(wèn)題的成果，最終在彼得堡科學(xué)院上發(fā)表，這篇論文是具有歷史意義的一篇論文，它開(kāi)創(chuàng)了圖論的先河，其實(shí)也開(kāi)創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)的先河.

數(shù)學(xué)的抽象性使得一部分學(xué)生很頭疼，當(dāng)然也使得很多學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象美而深深地愛(ài)上了數(shù)學(xué).不管是數(shù)學(xué)證明問(wèn)題還是具體的應(yīng)用題目，只要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的手段，對(duì)問(wèn)題加以分解，步步攻克，都會(huì)柳暗花明，得到新的成果.

數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維是值得我們學(xué)習(xí)和體會(huì)的，在中學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中，師生無(wú)時(shí)無(wú)刻不在實(shí)踐數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)本文希望讓大家體會(huì)到抽象是數(shù)學(xué)的武器，是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì).我們由此應(yīng)該喜愛(ài)抽象并且學(xué)會(huì)抽象的手段，體會(huì)數(shù)學(xué)精神，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)學(xué)方法，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，理解數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).