在數(shù)學解題中應引導學生去“發(fā)現(xiàn)”

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 楊會志

一切思維起源于問題.如果沒有遇到問題，思維便會靜如止水，一點作用都沒有；只有在問題環(huán)生的情況下，思維才會波濤起伏，憚思竭慮，以求問題得以解決［1］，因此，發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更加重要.最近，筆者觀摩了一堂公開課——“二次函數(shù)零點與系數(shù)關系的應用”.在本節(jié)課中，筆者真正的感受到了培養(yǎng)學生“發(fā)現(xiàn)問題”的能力的迫切性.

一、教學過程簡介

1.復習回顧

問題1：寫出二次函數(shù)的三種表達式：一般式、頂點式、兩根式.

問題2：二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實根與系數(shù)有什么關系？

問題3：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點與系數(shù)有什么關系？

意圖：通過回顧二次方程與二次函數(shù)之間的關系，明確根與系數(shù)的關系是溝通根（零點）與系數(shù)之間的關系的重要橋梁.

2.問題探究

例1已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+2在區(qū)間（1，2）上至少存在1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______.

思路1：用根與系數(shù)的關系

設α，β是函數(shù)的兩個零點，α∈（1，2），β∈R，

思路2：直接用方程的根來表示參數(shù)

設x0∈（1，2）是方程的根，則x

意圖：教師提出了兩種解題思路.通過這兩種思路的呈現(xiàn)，一方面讓學生進一步明確根與系數(shù)的關系，另一方面讓學生感受這種方法的簡潔性，體會參數(shù)代換思想.

變式1：已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+a在區(qū)間（1，2）上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是______.

方法2：由（fα）=α2+aα+a=0?a=-

變式2：已知二次函數(shù)（fx）=x2+ax+b，a，b∈R在區(qū)間（0，1）上有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______.

方法2：設f（x）=x2+ax+b=（x-α）（x-β），則f（3）=9+3a+b=（3-α）（3-β），所以3a+b=（3-α）（3-β）-9∈（-5，0）.

變式3：已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b，a，b∈R在區(qū)間（0，1）上有零點，且滿足0≤b-a≤1，則3a+b的取值范圍是______.

意圖：把例題中的常數(shù)用參數(shù)代換，把單參數(shù)問題變?yōu)殡p參數(shù)問題，題目難度雖然有所增加，但解題方法基本一致.通過上述變式，使學生逐步感受到“用根表示系數(shù)”方法的普適性與簡便性.

二、發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更有價值

人們在生活和生產(chǎn)中遇到更多的是多變的現(xiàn)實和困惑，并沒有現(xiàn)成的“問題”，更沒有像課本中那樣已經(jīng)抽象、概括好了的數(shù)學問題，所以人們要做的第一步就是從繽紛復雜的現(xiàn)實生活中去發(fā)現(xiàn)問題.2017版的高中新課程標準中也由原先的“兩能”：分析、解決問題的能力上升為“四能”：發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力.顯然，“發(fā)現(xiàn)問題”是其他“三能”的前提，沒有“發(fā)現(xiàn)問題”這一過程，分析問題和解決問題就是空談.

1.“發(fā)現(xiàn)問題”讓學生成為學習的主人

在缺失了“發(fā)現(xiàn)問題”的課堂教學中，教學溝通表現(xiàn)出問答過于“儀式化”“絕對化”的特點：教師接二連三地提問，學生機械式的應答，教師補充講解等等，課堂中的所有活動都在教師預先設定好的框架之內，教師幾乎是變相地不能容忍源于學生的問題與提問的對話［2］.因此，教師應引導學生“發(fā)現(xiàn)問題”，多給學生提出問題的機會，只有這樣師生的溝通才能深入，學生才能獲得更多的活動自由，才能成為學習的主人.

2.“發(fā)現(xiàn)問題”是發(fā)展創(chuàng)新思維的基礎

眾多教改經(jīng)驗證明“解決問題”不能發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，波利亞也曾指出：“數(shù)學的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個定理之前，你先得猜想這個定理的內容……”，“猜想”本質上就是問題的發(fā)現(xiàn)，而問題的發(fā)現(xiàn)需要經(jīng)過多方面、多角度的數(shù)學思維，從表面上看著沒有關系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系和矛盾提煉出來.由此可見，“發(fā)現(xiàn)問題”的過程并不簡單，而是需要經(jīng)歷深入的思考，多角度的分析，因此，“發(fā)現(xiàn)問題”才是人類創(chuàng)造性思維的開端.

三、引導學生在解題中“發(fā)現(xiàn)”

作為訓練學生思維能力的重要形式——解題教學，其重要的價值與意義不言而喻，但若解題教學操作不當，則很容易演化成“教師表演特技的舞臺”.解題的目的不僅僅是為了獲得正確的答案，更是為了引導學生去“發(fā)現(xiàn)”，并在發(fā)現(xiàn)中逐步領悟數(shù)學思維的真諦.

1.發(fā)現(xiàn)已有經(jīng)驗的不足

當已有的經(jīng)驗和現(xiàn)在遇到的問題之間產(chǎn)生不平衡時，人們會很自然地試圖通過某些方式來減少這種不平衡，比如關注引起不平衡的刺激、建立新的圖式或者調整舊的圖式等，直到達到一種新的平衡.學習依賴于這個過程，只有出現(xiàn)不平衡時，兒童才有機會成長和發(fā)展［3］.因此，在教學中，教師要引導學生去發(fā)現(xiàn)已有經(jīng)驗的不足，從而為制造這種“不平衡”蓄勢.

在本節(jié)課中，對于例1，教師不應該這么迫不及待地拋出“好”的解法，而應該先展示學生已有的經(jīng)驗，看看學生會用什么方法去解決？學生的方法存在什么問題？根據(jù)學生已有的解題經(jīng)驗，很多學生可能會選擇用“二次函數(shù)零點分布”的視角來進行思考.

設α，β是函數(shù)的零點，則需要分以下幾種情況進行討論：

（3）若α∈（1，2），且β?（1，2），則f（1）f（2）＜0?

上述解題方法涉及比較煩瑣的“分類討論”，學生很難做對、做全.學生發(fā)現(xiàn)了已有解題經(jīng)驗的不足，自然就會引發(fā)學生對探索新解法的思考.

2.發(fā)現(xiàn)優(yōu)化思維的路徑

教學實踐證明，學生解題思維的獲得不是教師“灌輸”的結果，而是學生在已有思維基礎上的一種優(yōu)化.當思維遇阻時，學生必然要思考如何突破障礙，突破障礙的最有效的方式不是另起爐灶，而是在原有的解題思維的基礎上尋找突破口.因此，在解題教學中，教師要打消走捷徑的念頭：把好的、先進的方法直接拋給學生，而是應該把教學的重心放到如何引導學生發(fā)現(xiàn)優(yōu)化思維的路徑上.

圖1

在本節(jié)課中，當學生選擇用“二次函數(shù)零點分布”視角解題遇到障礙時，教師可以設置問題串來引導學生發(fā)現(xiàn)解題的突破口.比如：一般數(shù)學問題的思考有幾種視角？（數(shù)與形）如果從數(shù)的角度思考，能否把參數(shù)a用其他參數(shù)替換？能否把參數(shù)a用方程的根表示出來？如果從形的角度思考，能否畫出函數(shù)的圖像？能否構造關于a的函數(shù)，畫出其圖像？不難發(fā)現(xiàn)，上述類型的問題，如果從形的角度思考，解答過程則會更加直觀、簡單.

以變式2為例，可以通過構造函數(shù)，把零點問題轉化為圖像的交點問題.

變式2：因為f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令g（x）=-x2，h（x）=ax+b，即g（x）=h（x），則h（3）=3a+b.于是，問題轉化為當g（x）與h（x）有兩個交點時，h（3）的取值范圍.如圖1所示，可知當直線h（x）=ax+b與g（x）=-x2相切于原點與點（1，-1）是兩個臨界位置.當相切于點（1，-1）時，容易求得a=-2，b=1，則h（x）=-2x+1，此時h（3）=-5，所以3a+b∈（-5，0）.

雖然，本節(jié)課“用根（零點）表示參數(shù)”的解題技巧能夠有效地解決某一類問題，但過于拘泥于一種方法反而容易導致思維固化.實際上，沒有一種方法是萬能的，引導學生去發(fā)現(xiàn)問題，進而提出問題，最終能夠分析、解決問題，這才是解題教學的價值所在.