解題教學重在積累解題經驗

☉江蘇省高郵市第一中學 潘梅耘

數學離不開解題，解題離不開解題教學，尤其到了高三，解題教學成了課堂教學的主旋律.一切活動都圍繞著解題進行，教師出題、講題，學生做題、練題.解題教學的目的到底是為了什么？當然是為了提升學生的解題能力與水平.那么，影響學生解題能力與水平提升的關鍵因素是什么呢？其實就是解題經驗，正所謂“一盎司經驗勝過一噸理論”.解題經驗最直接的表現就是直覺判斷，在遇到類似的問題或新的問題時能下意識地回憶或聯想，并迅速作出判斷，然后能夠運用學過的知識靈活應對.因此，解題教學的目的并不是重復訓練來得到正確的答案，而是幫助學生持續地積累解題經驗.下面筆者就以一道典型例題為例，談談對此的做法.

一、設置思維障礙，引發經驗沖突

例題已知實數x1，x2，y1，y2滿足的最大值為 ______.

分析：此題看上去比較“抽象”，涉及多個參數，而且求最值問題恰恰是學生的軟肋.但仔細觀察，似乎發現有很多“熟悉”的元素，比如，這顯然表示的是“圓的方程似乎跟“數量積”存在著某種聯示的是點到直線的距離.綜上所述，此題仍是立足于學生已有的解題經驗，故此題的解題思路還是“有跡可循”的.

學生已有的解題經驗是新的學習的基礎，是學習之所以發生的中間環節，也是解題教學得以順利實施的條件和中介.因此，在例題的選擇上應該立足于學生已有的經驗，例題的難度也應該遵循適當原則.題目難度不能太低，若學生套用已有的經驗很容易解決，那么學生的經驗就無法得到提升；如果題目難度太高，完全脫離學生的經驗，那么經驗的積累就是“空中樓閣”，根本無從談起.例題應該讓學生感到既“似曾相識”，有解題的想法，又讓學生覺得“相對陌生”，不容易獲得正確的答案.

二、聯系已有經驗，探索解題方向

積累解題經驗需要從學生已有的經驗和直觀開始，讓學生經歷思考的過程，從中領會和感悟并形成一定的思維模式.因此，在解題教學中，教師不要急于把正確的解題思路拋給學生，來迫不及待的提煉解題思想方法，而是要聯系學生已有的經驗，在尊重學生想法的基礎上作適當的拓展引導.

對于上述例題，學生最直觀的感受就是“形”，因此，學生的解題經驗就是從幾何視角入手來尋找問題的突破口.

圖1

由于題目中涉及兩個動點A，B，無法直接從圖像中看出它們的變化規律.若能把兩個動點轉化為一個動點，那么問題就會得到簡化.

設AB的中點為M，點M到直線x+y-1=0的距離設為|MN|，則|AA1|+|BB1|=2|MN|，而|MN|≤ |OM|+|ON|，當且僅當M，O，N三點共線時，等號成立，此時|OM|+|ON|=

三、嘗試多種經驗，獲得解題模型

一般來講，首先想到的思路是學生最熟悉最自然的思路，這種思路通常源自于學生的第一感覺，是最先想到的經驗.學生解決問題不只依賴于一種經驗，很多經驗是隱藏在思維深處，被最先想到的經驗所遮蓋.不同經驗引出的解法可能有巧笨之別，但都有其存在的價值，有的時候，所謂“簡單”方法是通過嘗試不同的解題經驗而最終得到的最佳結果.通過嘗試不同的經驗，學生的思維被充分地激活，從而為積累更多的經驗提供寶貴的思維空間.

在上述解題中，借助了“單位圓”這一模型使抽象的問題直觀化，靜態的問題動態化，從而突破解題障礙.立足于學生“形”的經驗，引發學生對“單位圓”展開聯想，“單位圓”模型在哪塊知識中用的最多呢？不就是三角函數嗎？整個三角函數體系都是建立在“單位圓”模型上的，包括任意角的定義、任意角的三角函數、各種三角函數公式等等，無不依賴于“單位圓”，這也是三角函數為什么被稱為“圓”函數的根本原因.于是，我們自然想到本題的第二種解題視角：函數視角.

由上述解法可知正三角形AOB在繞著頂點O旋轉，可以知道最大值是在A，B運動到第三象限時取得.

通過上述解法，發現除了從“形”入手外，還可以借助“數”的工具加以解決.而且，學生發現解決問題的關鍵是“去絕對值”，由此就引發了從“絕對值不等式”視角來尋找解題的線索.

四、反思解題過程，內化解題經驗

數學解題經驗不能傳遞、不能通過訓練獲得，必須通過本人感悟，而感悟的主要形式就是反思.而解題反思的本質就是一種數學元認知體驗，是伴隨數學認知活動的認知體驗或情感體驗.在解題反思中，主體對認知經驗進行自我檢查和評價，比如，方法的正確與否、是否足夠簡便、下次碰到類似的問題是否能夠想到用同樣的方法加以解決，從而引發學生對解題經驗的內化.

通過對以上幾種解法的比較，“形”的視角不僅直觀，而且只要找對方向，不需要太多的技巧就可以解決問題，而“數”的視角依賴于對“形”的理解，在運算過程中需要一定的變化技巧.因此，從“形”入手，以形助“數”是解決此類問題的一般經驗，也是學生經驗積累的重點.那么，此類問題到底反映了“形”的本質是什么？把這個問題搞清楚了，就有助于促進解題經驗的內化.

如圖2所示，此類題可以簡化為這樣的一類幾何問題：已知△AOB是邊長為1繞著O點旋轉的等邊三角形，點O到定直線l的A，B到定直線l的距離分別是d1，d2，求d1+d2的最大值.

圖2

設OA與水平線m所成的角為α，α決定了△AOB旋轉后的位置，則

同樣是從形的角度入手，但換個觀察視角，引進新的參數，解題過程就得到大大的簡化.凡是涉及圖形的端點到直線的距離問題時都可以按照這樣的思路進行解決.

數學解題教學的本質就是一個解題經驗積累的過程，其中包括了“解題策略經驗”“問題策略經驗”以及各種“方法和技巧性經驗”，但這些經驗不能靠教師的傳授，而是要靠學生在親身經歷中獲得積累.因此，解題教學的重心應放在經驗的積累上.