一道質檢題解法的合理性探究

☉湖北省恩施州教育科學研究院 周 威

一、原題呈現及質疑

2017年福建省普通高中畢業班質量檢查數學試題原題如下：

原題某學校為鼓勵家校互動，與某手機通訊商合作，為教師辦理流量套餐，為了解該校教師手機流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人手機月平均使用流量L（單位：M）的數據，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的手機月平均使用流量分布視為其手機月使用流量，并將頻率視為概率，回答以下問題.

圖1

（1）從該校教師中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人月使用流量不超過300M的概率；

（2）現該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱 月套餐費（單位：元） 月套餐流量（單位：M）A 20 300 B 30 500 C 38 700

這三款套餐都有如下附加條款：套餐費月初一次性收取，手機使用一旦超出套餐流量，系統就自動幫用戶充值200M流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統就再次自動幫用戶充值200M流量，資費20元/次，依此類推，如果當流量有剩余，系統將自動清零，無法轉入次月使用.

學校欲訂購其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費，并承擔系統自動充值的流量資費的75%，其余部分由教師個人承擔，問學校訂購哪一款套餐最經濟？說明理由.

原題解法：

（1）0.784（略）.

（2）根據題意，從該校隨機抽取一名教師，該教師手機月使用流量L∈（300，500］的概率為：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700］的概率為：（0.0008+0.0002）×100=0.1，

當學校訂購A套餐時，設學校為一位教師承擔的月費用為X元，則X的所有可能取值為20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1.

所以X的分布列為：

X 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1

所以E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32.

當學校訂購B套餐時，設學校為一位教師承擔的月費用為Y元，則Y的可能取值為30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1.

所以Y的分布列為：

X 30 45 P 0.9 0.1

E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5.

當學校訂購C套餐時，設學校為一位教師承擔的月費用為Z元，則Z的所有可能取值為38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38.

因為E（Y）＜E（X）＜E（Z），

所以學校訂購B套餐最經濟.

文［1］中作者所在地市在試卷閱卷講評中出現如下解法，并提出了對原題解法的質疑，解法如下：

解法二：由頻率分布直方圖可知每位教師手機月使用平均流量為

x=150×0.08+250×0.22+350×0.25+450×0.35+550×0.08+650×0.02=369（M）.

也就是說，該校每位教師手機月平均流量為369M，以下分三種情況：

①當學校訂購A套餐時，該校為每位教師承擔的月費用為20+20×75%=35元；

②當學校訂購B套餐時，該校為每位教師承擔的月費用為30元；

③當學校訂購C套餐時，該校為每位教師承擔的月費用為38元.

因為30＜35＜38，所以學校訂購B套餐最經濟.

這種解法最終一律以零分計算，理由在文［1］中是這樣描述的：費用可以求平均值（即原題解法中的數學期望），但流量不能求平均數（即這里的解法二），至于解法二最終也認為訂購B套餐最經濟，純屬“歪打正著”.

二、“解法二”是否“歪打正著”

為了探究原題中解法二的適用范圍是否有限，筆者找到了一道改編的題目作為例子：

反例：某大型企業為鼓勵員工多利用網絡進行營銷，準備為員工辦理手機流量套餐.為了了解員工手機流量的使用情況，通過抽樣，得到100位員工每人手機月平均使用流量L（單位：M）的數據，其頻率分布直方圖如圖：

圖2

將頻率視為概率，回答以下問題：

從該企業的員工中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人手機月流量不超過900M的概率.

據了解，某網絡營運商推出兩款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱 月套餐費（單位：元） 月套餐流量（單位：M）A 20 700 30 1000 B

流量套餐的規則是：每月1日收取套餐費.如果手機實際使用流量超出套餐流量，則需要購買流量疊加包，每一個疊加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次購買；如果當月流量有剩余，次日將會被清零.

該企業準備為所有員工訂購其中一款流量套餐，并支付所有費用.請分別計算兩種套餐所需費用的數學期望，并判斷該企業訂購哪一款套餐更經濟？

首先我們給出這道題的正解：

解：（1）a=0.0022，P=0.028（過程略）

（2）若該企業選擇A套餐，設一個員工的所需費用為X，則X可能為20，30，40，

X的分布列為：

X 20 30 40 P 0.3 0.6 0.1

E（X）=20×0.3+30×0.6+40×0.1=28.

若該企業選擇B套餐，設一個員工的所需費用為Y，則Y可能為30，40，

Y的分布列為：

X 30 40 P 0.98 0.02

E（Y）=30×0.98+40×0.02=30.2.

因為30.2＞28，所以訂購A套餐更經濟.

現在按照原題解法二，則計算過程如下：

由頻率分布直方圖可知每位員工手機月使用平均流量為x=550×0.08+650×0.22+750×0.25+850×0.35+950×0.08+1050×0.02=769（M）.

也就是說，該企業每位員工手機月平均流量為769M，以下分兩種情況：

①當企業訂購A套餐時，該企業為每位員工承擔的月費用為20+10=30元；

②當企業訂購B套餐時，該企業為每位員工承擔的月費用為30元.

此時，利用這種方法并不能給企業提供哪種套餐更經濟的決策.所以在原題中對此法計零分是有道理的，在原題中能給出選擇B套餐也確實是“歪打正著”.而且在決策的過程中，也沒有考慮到流量需求大的用戶（那些每月1100M的員工，最容易影響平均數的大小），這至少在考慮問題時是不全面且不合理的.

三、此題中為何不根據流量求平均值來確定方案

解法二主要是沒有抓住問題的本質“數學期望”.在概率論與統計學中，一個離散型隨機變量的數學期望值，是試驗中每次可能的結果乘以其結果概率的總和.期望值像是隨機試驗在同樣的機會下重復多次，所有那些可能狀態平均的結果，基本上等同于“期望值”所期望的數.期望值并不一定等同于常識中的“期望”，“期望值”也許與每一個結果都不相等，也就是說期望值是該變量輸出值的平均數，因此期望值并不一定包含在變量輸出值的集合里.數學期望是反映隨機變量的集中位置的數字特征.

解法二的解答過程讓筆者直接聯想到了著名的“賭金問題”.早些時候，法國有兩個大數學家，一個叫布萊士·帕斯卡，一個叫費馬.帕斯卡認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題.他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金.賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了.那么，這個錢應該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早說的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？事實上這兩種分法都不對.解法二中不合理之處與此處是一樣的，因為“獎金分配（剩下的賭局決定可能性）”和“套餐選擇”都是隨機事件，我們必須要考慮其發生的可能性，也就是概率，最后再根據數學期望“分配”或“選擇套餐”.“賭金問題”正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的贏了3局的拿這個錢的.這是為什么呢？假定他們倆再賭一局，A有的可能贏得他的第5局，B有的可能贏得他的第4局.若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；若B贏得他的第4局，則下一局中A、B贏得他們各自的第5局的可能性都是.所以，如果必須贏滿5局的話，A贏得所有錢的可能為這就是數學期望的重要性，也是原題命題者的意圖所在.

仔細揣摩解法二會發現，它其實已經沒有在概率統計范疇中考慮問題了，學校為每位教師選擇套餐類型，這是一個隨機事件，而解法二的解答過程，卻把選擇每一類套餐的事件當成必然事件.雖然也用到了頻率分布直方圖中的平均數估計值，但它是個整體量，解法二直接把這個整體量當做“每位教師手機月使用平均流量”，事實上“每位教師手機月使用平均流量”已經在題目中有所描述，它已經體現在頻率分布直方圖中了.

四、反思與結語

從命題者的角度來看，主要是突出“數學期望”的重要性.原題的解法二中有很多表述不合理的地方，所以這可能就是不給分的原因.那么站在學校的角度來看，學校整體的流量平均值是否真的沒有用嗎？事實上，如果有更多種套餐（六、七種）可選擇的時候，計算學校的整體流量平均值也能為作出決策提供參考，但其弊端肯定也是有的.那么接下來的問題就是，既然是根據教師或員工的平均手機流量來訂購套餐，那么完全可以直接簡單的相加求和再求平均數即可（都能統計個人每月的流量平均值，肯定也是可以做到的），特別是對于規模不大的學校，為什么還要這么統計分組，先畫出頻率分布直方圖，再從頻率分布直方圖來計算平均數？頻率分布直方圖是從已知的數據中，從樣本的角度去估計總體，雖然能計算出平均值，但這是一個估計值，這樣產生的誤差是無法避免的.所以在筆者看來，命題者在命題時也并未想的很全面.既然已經畫出了頻率分布直方圖，那么從數學期望的角度來選擇套餐確實是最科學最合理的.