基于數學核心素養導向下的課堂教學方式
—— 談談變式教學對學生數學運算及推理探究能力的培養

☉福建省福州華僑中學 覃光勛

☉湖北省武漢市第49中學 周 鏡

在數學的課堂教學中，學生往往埋沒于數學的題海、教師的講解之中.教師講得多，學生做得多，久而久之，學生逐漸失去學習的興趣，喪失發現問題、提出問題、解決問題的能力，僅僅成為解題的機器，從而缺乏探究能力.利用變式方法采用一題多解、一題多變的課堂數學探究形式，引導學生積極探索，不但能提高學生的學習興趣，而且對于提高學生的運算能力、優化解題思路、增強邏輯推理能力都有很大的好處.本文就拋物線一節作如下說明.

一、變式教學，揭示基本性質

例1斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長.

學生容易給出解答：由題意，可求出直線方程，與拋物線方程聯立，可求出A、B兩點的坐標，利用兩點間的距離公式，求出線段AB的長為8.

教師給出下列變式，進一步揭示直線與圓錐曲線的關系：

變式一：若直線AB的斜率為k，則線段AB的長為多少？（揭示弦長公式，求弦長的實質是根與系數的關系的應用）

變式二：若過拋物線y2=2px（p＞0）焦點的直線交拋物線于

變式三：傾斜角為θ的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的

變式四：例1中，若弦長|AB|=8，求直線的斜率k；

變式五：例1中，若弦長|AB|不超過8，求直線傾斜角θ的取值范圍.

通過以上變式教學，對問題進行遷移，學生不僅全面掌握與圓錐曲線弦長有關問題的解法，而且增強了學生的創新意識和應變能力.

二、變式教學，抓住本質特征

例2已知拋物線y=x2，動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值.

解：設，AB的中點為M（x，y），拋物

圖1

因為|AF|+|BF|≥|AB|=2，（當且僅當AB過點F時，|AF|+|BF|=2）所以所以點M縱坐標的最小值為

這道題利用數形結合的思想，充分應用拋物線的定義，解答過程簡潔明快，似乎問題已得到完美解決.但將問題作如下改變呢？

變式：例2中的動弦AB的長為求AB中點縱坐標的最小值.

分析：乍一看，似乎和例2類似.實際上，拋物線y=x2的通徑長為1，而通徑為拋物線過焦點的弦中弦長最短的.動弦的長為顯然，動弦AB不可能過拋物線的焦點，即等號不能取得，當然也就不能再用例2的解法了.

顯然，例2也可用此法解答.通過變式教學，讓學生從“變”中發現“不變”的本質，從“不變”中探索“變”的規律，從而優化學生的思維品質，培養學生發現問題和解決問題的能力與素養.

三、變式教學，發散學生思維

例3已知M為拋物線x=y2上的動點，定點A（1，0），求|MA|的最小值.

解：設M（x，y）（x≥0），

變式一：M為拋物線y2=4ax（a＞0）上的動點，當M到A（1，0）的距離|MA|最小時，M的位置為M0，若|M0A|＜1，求a的取值范圍.

解：設M（x，y）（x≥0），

變式二：在一軸截面為拋物線型的酒杯中，放入一半徑為r的玻璃球，拋物線的方程設為x2=2py（p＞0），當r在什么范圍內時，玻璃球會觸及到酒杯底部？

解法一：因為圓心在y軸的正半軸上，所以設圓的方程為x2+（y-r）2=r2.

則y1=0或y2=2r-2p.

由題意，圓與拋物線有且只有一個交點，且交點為原點.

所以2r-2p≤0.所以0＜r≤p.

解法二：由題意知圓心C（0，r），

則C與拋物線上的點的距離的最小時，拋物線上的點為原點.

設M（x，y）為拋物線上任意一點，則

（1）若r-p≤0，即0＜r≤p，則當y=0時，|MC|2min=r2.

（2）若r-p＞0，即r＞p，則當y=r-p時，|MC|2min=2pr-p2.

令2pr-p2=r2，所以r=p（舍去）.

所以0＜r≤p.

變式一也可用解法一來求解，視作圓（x-1）2+y2=1與拋物線y2=4ax有且只有一個交點，且交點為原點.

例3也可用此法.這種變式教學，逐步加大難度，分散難點，注重運算過程，讓學生感受到成功的喜悅，加強學生學習的信心，提高學生學習的興趣，同時也培養學生嚴密的數學思維.

在重視基礎知識、基本能力的同時，恰當地進行變式教學、變式練習，優化課堂教學，多角度思考問題，是一種再創造性的學習過程，是培養學生運算能力、推理探究能力和實施研究性學習的重要途徑.

總之，數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，在這當中，設計適當的變式，可以給學生提供一座橋，讓學生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡，這里的最近發展區要把握好.“變式”能避免學生反復的練習同一題型，避免學生在低層次之間反復的重復，從而使學生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養，使學生的數學核心素養得到有效的滲透.