高考數學最值問題的求解方法*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 胡生兵

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

最值問題是高考的熱點和難點問題.歷年的高考試題中都包含著大量的最值問題，如函數最值、數列最值、幾何最值等問題.最值問題的解決有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時也是培養學生數學核心素養的好素材.最值問題的求解方法有很多，如配方法、判別式法、三角代換法、不等式法、函數單調性法、向量極化恒等式法等，下面通過一些典型問題來說明這些方法的應用.

一、配方法

配方法主要是運用于二次函數或者可以轉化為二次函數的函數最值問題中.在解題過程中一定要注意自變量的取值范圍.

例1已知函數y=（ex-2）2+（e-x-2）2，求函數y的最小值.

解：由y=（ex-2）2+（e-x-2）2去括號可得y=e2x-4ex+4+e-2x-4e-x+4=（e2x+e-2x+2）-4（ex+e-x）+6=（ex+e-x）2-4（ex+e-x）+6.

令t=ex+e-x，則t≥2.所以y=t2-4t+6=（t-2）2+2，從而ymin=2.

點評：解決此問題的關鍵在于換元和配方.

二、判別式法

判別式法是根據已知條件和求解目標來構造一個一元二次方程，根據構造過程可知，二次方程有根，所以判別式大于等于零，進而使問題獲解.

例2已知實數a，b，c成等比數列，a+6，b+2，c+1成等差數列，則b的最大值為______.

解：因為實數a，b，c成等比數列，所以b2=ac.

因為a+6，b+2，c+1成等差數列，所以2（b+2）=a+6+c+1，化簡得2b-3=a+c.

所以a，c是方程x2-（2b-3）x+b2=0. 所以Δ=（3-2b）2-

點評：根據已知條件，得到a+c，ac的值，從而聯想到根與系數的關系，進而想到構造一元二次方程.此題有利于培養學生的觀察、聯想、猜想等數學思維品質.

三、三角代換法

三角代換法是運用三角函數進行換元，它是求解最值問題的常用方法.三角代換法主要是運用三角函數的有界性.這種方法可以減少運算量，從而降低問題難度.

例3（2018年全國卷Ⅲ文科第8題）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（ ）.

點評：取值范圍問題的實質就是求最大值和最小值.因為AB長度固定，所以只與點P到直線的距離有關，而點P的軌跡為圓，所以選擇三角換元，直接運用三角函數的有界性，使問題輕松獲解.

四、不等式法

不等式主要是指基本不等式、幾何不等式、算術平均值、柯西不等式等等.當“和”或“積”為定值時，常常運用基本不等式來處理.在運用的過程中，一定要檢驗能不能取等號.

例4（2018年江蘇卷第13題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

解：因為S△ABC=S△ABD+S△BDC，

所以4a+c的最小值為9.

五、函數單調性法

函數的單調性有著廣泛的運用，可以用來求方程的根、函數的零點、解不等式、求最值等等.函數的單調性是求解函數最值問題最基礎的方法.

例5（2018年全國卷Ⅰ理科第16題）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

解 ：f ′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2 （2cos2x-1）=

點評：此方法就是從函數的視角來看待這個問題，體現了求函數最值的通法.此方法的關鍵在于因式分解.此處的因式分解考查了學生敏銳的觀察力以及豐富的解題經驗.

六、向量極化恒等式法

在解決有關向量的最值問題時，當已知條件包含中點時，絕大可能是使用極化恒等式.通過極化恒等式不僅可以減少未知量的個數，而且可以將動態問題轉化為靜態問題，同時還可以得到一個恒等式，從而避免討論參數，降低問題難度.

例6（2018年天津卷理第8題）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（ ）.

圖1

圖2

解：如圖2，取AB的中點F，則有

如圖2，過點F作FM⊥DC，垂足為M，過點B作BN⊥DC，垂足為N，連結AC.

又因為在梯形ABND中，AD=1，FM為梯形的中位線，所以