不忘初心
——離心率，相似橢圓——斜率積

☉濰坊新紀元學校 高繼勇

☉濰坊新紀元學校 劉 丹

在一些建筑、景觀等結構的視圖中，經常會碰到兩個及兩個以上中心與對稱軸相同、離心率相等的橢圓問題，我們往往稱此類兩個及兩個以上的橢圓相似.涉及兩個相似橢圓，有很多優美的平面直觀以及幾何性質.下面結合兩個相似橢圓中對應兩切線的斜率之積與對應橢圓的離心率之間的關系加以實例剖析，并進一步拓展延伸、規律總結.

圖1

一、問題呈現

問題如圖1所示，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，設內層橢圓方程為（a＞b＞0），若直線AC與BD的斜率之積為-，則橢圓的離心率為______.

從兩個相似橢圓的外層橢圓頂點（一個長軸頂點與一個短軸頂點）向內層橢圓引兩條切線，進而通過兩切線的斜率之積所對應的值來探求橢圓的離心率.從運動的角度來看，可以固定一層橢圓，讓另一層橢圓運動，隨著該層橢圓的運動，切線的位置也適當地發生了改變，由此可以確定這兩條切線的斜率之積必須是定值，從而說明這兩條切線的斜率之積與橢圓的離心率之間存在對應關系，但與橢圓的大小無關.

二、多解剖析

解法1：設外層橢圓方程為0，m＞1），則A（ma，0），B（0，mb）.

聯立2ma3k12x+m2a4k12-a2b2=0.

因為Δ1=（-2ma3k12）2-4（b2+a2k12）（m2a4k12-a2b2）=0，

解法2：設外層橢圓方程為0，m＞1），則A（ma，0），B（0，mb）.

解法3：從特殊位置入手，通過固定內層橢圓，讓外層橢圓運動，使切線AC恰好經過點B，根據橢圓的對稱性可知此時直線AC與直線BD關于y軸對稱.

點評：由于在相似橢圓中，兩切線的斜率之積與橢圓的離心率之間存在著對應關系，這就為利用特殊位置法提供了條件，此類方法在解決本題時可以簡化過程，真正做到“小題小做，小題巧做”的目的.通性通法——直線與橢圓的位置關系法是解決此類問題最常見的基本方法，也是解決此類問題的基本思維方式，而切線性質法與參數坐標法是在通性通法的基礎上的進一步拓展.特別是在以上的破解過程中，也為進一步的拓展提升以及規律總結提供了條件.

三、拓展提升

根據以上對應的問題，交換相應的條件與結論，可得到以下相應的變式：

變式1：如圖1所示，設內層橢圓方程為b＞0），內外兩個橢圓的離心率均為從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，則直線AC與BD的斜率之積為______.

解析：從特殊位置入手，通過固定內層橢圓，讓外層橢圓運動，使切線AC恰好經過點B，根據橢圓的對稱性可知此時直線AC與直線BD關于y軸對稱.

點評：通過對原問題進行變式，將原問題的條件與結論變為新問題的結論與條件，可以得到進一步的拓展與提升，也為進一步的規律總結指明方向.

四、規律總結

根據以上對應的問題以及相應的多解剖析可得到一般性的結論：

結論1：如圖1所示，設內層橢圓方程為b＞0），內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，若直線AC與BD的斜率之積為-λ（0＜λ＜1），則橢圓的離心率

具體的證明過程可以參照以上的多解剖析的思維過程.進一步總結規律，并結合變式1中的問題即可得到相應的一般性的結論：

結論2：如圖1所示，設內層橢圓方程為b＞0），內外兩個橢圓的離心率e相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，則直線AC與BD的斜率之積為e2-1.

具體的證明過程可以參照以上變式1的解析過程，這里則不加以敘述.

其實，在探索圓錐曲線中的求解問題時，往往可以發現點、直線、圓、圓錐曲線以及其相互之間的內在聯系與規律，從而加強對其相關內容的正確理解與掌握，真正達到“小題小做，小題巧做”的目的，有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正達到提升綜合能力，拓展數學素養的目的.