從試卷講評談數學素養的提高

☉浙江省慈溪市周巷中學 史建波

試卷講評與平時練習講評不同，不僅要講通性通法，也要講巧法妙法，尤其要講方法的對比，還要講做題的心理變化.本文與大家分享在試卷講評時對一道解圓錐曲線為背景的定點問題的處理.

下面是筆者所在學校的一道高三期末題：

例1已知橢圓離心率為.過橢圓右頂點A的兩條斜率乘積為-的直線分別交橢圓C于M，N兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線MN是否過定點D？若過定點D，求出點D的坐標；若不過，請說明理由.

筆者認為，在試卷講評時，不要一上來就自己滔滔不絕的講，因為教師最大的成功不是在于自己有多厲害，而是要看我們培養出的學生有多厲害.試卷講評課，開始時要“秀”學生，讓學生盡情的展示，之后再由教師從如下幾個視角進行補充.

（1）對學生講解的缺陷之處進行補充；（2）對學生講解的精彩之處進行鼓勵；（3）對不同的方法引導學生進行對比；（4）對學生遇到困難的原因進行分析；（5）對學習方法進行適時指導.

一、探究解題方法

通過學生之間的相互交流探索及筆者補充，最后給出該題的如下三種解題思路.

思路1：設出直線AM的方程（斜率為k），與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系得出點M的坐標.將直線AN的斜率用代換，得出點N的坐標，從而表示出MN的直線方程，得出定點.

思路2：設點表示出AM，AN的斜率.設出直線MN的方程，將直線MN的方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x1x2，結合AM，AN的斜率之積為-得出直線所過定點.

思路3：利用先定后證的原則，選取特殊情況，如kAM=求出定點，再進行一般性的證明.

明確解題方向后，筆者讓兩位學生上臺板演前兩種方法的具體解析過程.第三種方法留給學生課下完成.這樣做有利于學生克服對答案的依賴性，提高學生動手解決問題的能力，加深學生對題目的理解.

生1：由（1）可知橢圓右頂點A（2，0）.

由題意可知，直線AM和直線AN的斜率存在且不為0.

設直線AM的方程為y=k（x-2）.

當xM≠xN時，即直線MN的方程為

當xM=xN，即，直線MN顯然過定點D（0，0）.

綜上所述，直線MN過定點D（0，0）.

生2：當直線MN的斜率存在時，設MN：y=kx+b，M（x1，

即8b2+16kb=0，解得b=0，或b=-2k（不符合題意，舍去），故直線MN過原點.

綜上所述，直線MN過定點D（0，0）.

二、類比探究

在得出問題的解法后，筆者引導學生將斜率積改為和，對問題的一般性結論進行探究.

結論：P=1（a＞b＞0）上一定點，A，B是C上異于點P的兩點，直線PA，PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=λ（λ為常數，且λ≠0），則直線AB過定點

證明留給學生課下完成.

三、變換探究

例2已知橢圓a＞b＞0）的離心率，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.

（1）試求橢圓M的方程；

當Δ=b2-4（b2-3）＞0，即|b|＜2時，直線l與橢圓有兩個交點.

所以k1+k2為定值.

綜上所述，對于一道題目，要從多個角度進行思考，反復琢磨，每種想法都要進行到底，而不是遇到一點困難就馬上放棄.如果學生能夠從以上三個角度都進行完整的思考，那么就對求解定點問題進行了一次非常高質量的復習.無需多個題目，一題足矣，將來再遇到類似的題目，就能游刃有余地解決.研究的過程，就是學生數學素養提高的過程，提高的不僅是對知識與方法的掌握，還有意志品質、學會選擇、自我矯正、方案對比、全局掌控、細節處理、經驗積累等方面.