視角轉化透視，品讀賞析解法
——以一道數列綜合題為例

☉江蘇省贛榆高級中學 孫運景

數列是高中數學中重要的知識內容，也是眾多知識的銜接點，以其為背景命制的綜合題存在多種解題策略，深入剖析考題的解題方法和思想內涵對于提升學生的解題能力具有重要的意義，本文將以一道數列綜合題為例，開展考題解法探析，與讀者交流學習.

一、試題呈現，思路梳理

題目數列{an}為等比數列，設其前n項之和為Sn，若對于任意的n（n∈N*）均滿足點（n，Sn）位于函數y=bx+r的圖像上，其中b為大于0且不為1的常數，r也為常數.

（1）試求r的值；

（2）若b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N*），試證明對于任意的n，不等式恒成立.

本題目作為數列綜合題，涉及等比數列、函數方程和不等式等內容，綜合考查學生對數列、不等式性質的應用和分析轉化能力，對學生的解題思維有著較高的要求.由于考題的綜合性較強，涉及的知識點較多，因此考題的切入點也很多，可以從不同的視角分析，采用不同的解法進行解答，下面開展解法探析.

二、視角轉化，解法剖析

題目第一問求解r的數值，而r是函數的一個特征參數，求解時需要借助點的坐標或參考對象.由于對于任意的n，點（都滿足y=bx+r，則有Sn=bn+r，可對其加以討論：若n=1，則S1=a1=b+r；若n≥2，則an=Sn-Sn-1=（b-1）bn-1，由于{an}為等比數列，則b+r=b-1，解得r=-1.

對于題目第二問的不等式證明，首先確定等比數列{an}的通項公式，當b=2時，an=（b-1）bn-1=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n.分析不等式的左側，實際上就是數列因此問題可以轉化為證明對于該式的證明可以從如下視角加以證明：

1.數學歸納視角

對于無窮項不等式的證明，一般采用數學歸納法進行證明，即首先證明n=1時成立，然后假設n=k時成立，最后基于上述情形證明n=k+1時不等式成立即可，注意后一種情形并不是代數式的簡單疊加，而是需要基于對應的性質進行轉化.

運用數學歸納法最為顯著的優勢是證明思路較為清晰，而證明過程中最為關鍵的一步一般是完成P（k）到P（k+1）的遞推，因此要特別注意對P（k）與P（k+1）的關系進行分析，明確不等式最終形式的變形過程才是最重要的.

2.數學構建視角

上述題目的第二問以數列為背景來證明不等式恒成立，可以將其視為是單純的代數問題，對于數學上代數式的證明可以通過構造思想來構建中間對象.本題目為數列與不等式的綜合題，其構造對象有兩種：一是構造新的數列，借助其媒介作用來實現不等式的轉化證明；二是構造新的函數，從函數角度出發借助函數的性質來對其加以證明.

（1）構造數列

（2）構造函數

采用構造法來證明不等式問題，實際上就是利用構造對象的性質和特征來完成對原不等式轉化變形的過程，因此在構造新的對象時，特別需要注意分析構造對象的適用條件.如構造函數時就需要分析函數的定義域，在其定義域上來分析其性質才是合理的，而構造新的數列時就需要注意每一項數列的性質.必要時也可以采用數形結合的方式來對其進行性質研究，確保分析結果的準確性.

三、品讀賞析，教學引領

高中數學復習最為重要的一個環節就是對考題的方法進行總結，可以采用同類問題方法總結的方式，也可以采用一題多解探究的方式.上述對同一考題的多解探析不僅是對不等式問題的解法總結，同時也是從不同視角對考題的結構加以認識的過程，在時間緊迫的備考階段該方式能更有效地提升學生的解題能力.下面提出一些相關的教學建議：

1.總結方法，拓展應用

上述對同一數列不等式證明題所采用的歸納法、構造法、縮放法、定理法實際上就是該類問題最為普遍的解決方法，雖然在使用的過程中存在著細節上的明顯差異，但其思路步驟及思想內涵總體上是不變的，故應對具體的問題進行適度的變式.因此，在解題教學中最為重要的一步就是基于對應方法開展解法的深化教學，使學生擺脫方法定式解題的束縛，能夠真正掌握解法，并靈活運用.適當條件下可以借助解法拓展練習的方式來加以強化.

2.完善認知，結構建設

從不同的視角對考題加以分析求解，其中最為重要的探究意義是對考題結構的認識，尤其是對于綜合性較強的考題，認識問題的本質遠遠比掌握一種方法更為重要.如上述數列不等式，基于不同的視角可以認識到考題的不等式屬性和函數屬性，其均是代數屬性在特定情形下的具體表現，針對其屬性來開展的思路構建更能準確地定位考題，達到認知提升的目的.在教學中，教師要善于抓住考題的結構特征，從知識的聯系點出發，構建相應的知識體系，完善學生的認知結構.

3.關注思想，提升能力

數學的解題方法實際上是在對應的數學思想的指導下完成的，即思想指導方法，方法體現思想，因此掌握方法就需要充分理解方法背后的思想內涵，從思想層面來領悟方法的真諦.因此在開展方法教學時十分有必要基于方法對應的思想來加以闡述，如歸納法的從特殊到一般的思想、構造函數的構造思想等.考慮到方法的思想內涵是蘊含在知識內容中的，相對而言較為抽象，因此可以結合具體的內容來進行講解，使學生親身體會到用思想方法解題的便利性，從而逐步培養學生的數學素養.