多視角看等差乘等比型數列求和

☉甘肅省白銀市第一中學 胡貴平

等差乘等比型數列求和，常見的方法就是錯位相減法，而“錯位”之后再求和時，許多學生經常會弄錯等比數列的項數，因而不能準確求和，下面通過一道典型的高考題，從不同的視角來看等差乘等比型數列求和.

例題（2017年天津卷理）已知{an}為等差數列，前n項和為S，{bn}是首項為2的等比數列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4.

（1）求{an}和{bn}的通項公式；

（2）求數列{a2nb2n-1}的前n項和n∈N*.

解析：（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.

由已知b2+b3=12，得

而b1=2，所以q2+q-6=0.

因為q＞0，所以q=2.所以bn=2n.

由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8. ①

由S11=11b4，可得a1+5d=16. ②

聯立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2.

所以數列{an}的通項公式為an=3n-2，數列{bn}的通項公式為bn=2n.

第（2）問，從不同的視角來看.

方法一、錯位相減法

通項公式為cn=（an+b）qn-1的等差乘等比型數列求和，用錯位相減法時，首先寫出新數列的前n項和Sn，然后對求和的等式左右同時乘以等比數列部分的公比q，兩式相減，中間n-1項等比求和，第一項和最后一項單獨列出，最后進行運算就得到了Sn的代數式.

（2）設數列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn.

由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，有a2nb2n-1=（3n-1）×4n.

所以Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n；

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n-4）×4n+（3n-1）×4n+1.

上述兩式相減，得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n--（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8.

方法二、構造常數列法

通項公式為cn=（an+b）qn-1的等差乘等比型數列求和，先將數列的通項公式轉化為Sn=Sn-1+（an+b）qn-1（n≥2），然后利用待定系數法變形為Sn-（rn+s）qn=Sn-1-［r（n-1）+s］qn-1（n≥2），再通過比較兩式，解出r、s的值，構造常數列{Sn-（rn+s）×qn}來求和.

（2）設數列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn.

由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，得a2nb2n-1=（3n-1）×4n，

則Tn-Tn-1=（3n-1）×4n（n≥2），即Tn=Tn-1+（3n-1）×4n（n≥2）. ①

令Tn-（rn+s）×4n=Tn-1-［r（n-1）+s］×4n-1（n≥2），

即Tn=Tn-1+（3rn+3s+r）×4n-1（n≥2）.②

方法三、導數法

等差乘等比型數列cn=（an+b）qn-1，展開得cn=anqn-1+bqn-1，令xn=anqn-1，yn=bqn-1，則cn=xn+yn.

由于數列{yn}是一個等比數列，很容易求其前n項和，而由數列{xn}的通項公式xn=anqn-1中的nqn-1，很容易聯想到冪函數的求導法則的逆運算nxn-1=（xn）′.若令q=x，則數列{xn}的前n項和x1+x2+x3+…+xn=a（1+2x+3x2+…+nxn-1）=a（x+x2+x3…+xn）′=最后將x換成q，這樣就求出了{xn}的前n項和，從而求出了等差乘等比型數列cn=（an+b）qn-1的前n項和.

（2）設數列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn.

方法四、結論法

等差乘等比型數列cn=（an+b）qn-1，則其前n項和Sn=（An+B）qn+C，其中

證明如下：

Sn=（a+b）+（2a+b）q+（3a+b）q2+…+［（n-1）a+b］qn-2+（an+b）qn-1； ①

qSn=（a+b）q+（2a+b）q2+（3a+b）q3+…+［（n-1）a+b］·qn-1+（an+b）qn. ②

練習：（2017年山東卷文）已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1+a2=6，a1a2=a3.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）{bn}為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求數列前n項和T.n

答案：（1）an=2n；（2）