知微見著看數列高考立意*
——以“數列的綜合應用”的教學為例

☉江蘇省新海高級中學 閆 輝

☉連云港師范高等專科學校 朱海燕

數學教育家波利亞曾說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘題目的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”本節課從教材范例和習題出發，通過啟發與引導，由淺入深、由易到難，讓學生逐步深入地挖掘證明等差數列的必要條件，由此領會2017年江蘇高考數列題目的立意，并在此基礎上拓展到等比數列領域，從而達到融會貫通的目的.下面是本節課的教學實錄，請同行和專家斧正.

一、探源，教材再出發

師：同學們已經學習了數列，首先讓我們回顧一下等差數列的概念，如何用符號語言表達？

生一起回答：在數列{an}中，若an+1-an=d（n∈N*），d為常數，則稱數列{an}為等差數列.

師：等差數列的通項公式是什么？

生1：設等差數列{an}的公差為d，則an=a1+（n-1）d（n∈N*）.

師：請同學們回憶一下，有哪些判定等差數列的方法？

生2：1.定義法；2.（遞推法）等差中項法，an-1+an+1=2an（n≥2，n∈N）；3.性質法；4.通項公式法；5.求和法等等.

師：這里要說明一下，雖然判定方法很多，但是其他方法最終都要回歸到定義.今天我們重點來研究一下等差中項法.

（由于數列一輪復習剛剛結束，對于這些簡單的問題，同學們回答得很輕松，課堂氣氛波瀾不驚）

師：由蘇教版教材必修5第41頁第15題的證明，我們不難得到，在等差數列{an}中，an-k+an+k=2an，an為an-k，an+k的等差中項，那么現在有這樣一個命題.

（通過教材習題引入等差中項問題）

命題1：如果數列{an}滿足條件：an-k+an+k=2an（n∈N*，k∈N*，n＞k），那么數列{an}是等差數列.

師：命題是否成立？

（同學們稍顯意外，不過立刻做出了反應）

生3：不成立.

師：是一定不成立，還是不一定成立？同學們所指的等差中項法是什么？

（學生若有所思）

生4：不一定，等差中項法指的是k=1的情況，即an-1+

設計意圖：在無疑處看出有疑，從特殊到一般，引導學生重新認識等差中項法，在討論中重新打開思路.在邏輯推理核心素養的形成過程中，學生能夠發現問題并提出問題；能理解數學知識之間的聯系，從而建構知識框架.

師：當k=2時，命題還成立嗎？

命題2：如果數列{an}滿足條件：n＞2），那么數列{an}是等差數列.

生5：不成立.

師：為什么？

生5：因為是間隔一項成等差數列，但整體不一定是，比如數列1，2，1，2，1，2，1，2，…

師：很好的論證，那么繼續看，類似的，當k=3時，命題成立嗎？

命題3：如果數列{an}滿足條件n＞3），那么數列{an}是等差數列.

生6：不成立.

師：這個數列的特點是什么？

生6：這是間隔兩項成等差數列，

師：反例不難找到，留給同學課后去完成.

（此時問題出現轉折，拋出一個同學們意想不到的問題）

師：現在我們思考這樣一個問題，當k=2且k=3等式同時成立時，命題是否成立？（用花括號直接作出推出符號）請同學討論討論.

（學生們感到新奇和興奮，課堂討論開始熱烈起來）

二、拓展，知識再生成

等差中項的組合類型1

當k=2且k=3時等式an-k+an+k=2an同時成立的情況下，請問數列{an}是否是等差數列？

這個命題是否成立，大家交流一下，

（教師巡視，轉的過程中，進行點撥、提醒）

師：哪位同學有想法？有同學舉手示意，

生7：由題意可知：

n＞2， an-2+an+2=2an， ①

n＞3， an-3+an+3=2an. ②

可以換元，由①知：an-3=2an-1-an+1， ③

an+3=2an+1-an-1. ④

所以a3，a4，a5，…成等差數列，設公差為d.

①式中，令n=4，則a2+a6=2a4，即a2=a3-d，①式中，令n=3，則a1+a5=2a3，即a1=a3-2d，故數列{an}是等差數列.

設計意圖：在數學運算核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展數學運算能力；能夠通過運算促進數學思維的發展，從而養成程序化思考問題的習慣；當兩個式子同時成立時，就增加了運算空間，我們可以通過換元、消元，把不連續的項轉化為相鄰的連續的三項關系，再借助等差中項法來證明.

（正當學生沉浸在這個新發現的時候，老師又拋出了2017年的高考題，將課堂氣氛推向一個高潮）

師：接下來，我們看一下這個方法在高考中的運用.

等差中項的組合類型2

江蘇省2017年高考19題（PPT展示）

對于給定的正整數k，若數列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P（k）數列”.

（2）若數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：{an}是等差數列.

師：請同學們看一看、議一議、做一做.

（受到上面例題的啟發，不少同學迅速打開思路）

邀請生8上來板演

數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，因此，

將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差數列，設其公差為d′.

在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′.

在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a2-d′.

所以數列{an}是等差數列.

師：做完這道高考題之后，同學們還有其他想法嗎？僅在等差數列里討論似乎意猶未盡.

學生們心領神會，開始了熱烈的討論，有同學舉手示意，

生9：我猜想也許等比數列中也有類似的結論.

師：很好，我們來看下面例題.

三、遷移，立意巧類比

命題4：對于給定的正整數k，若正項數列{an}滿足：an-kan-k+1…an-1an+1…an+k-1an+k=an2k對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P（k）數列”.

若數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：{an}是等比數列.

經過上面的學習，同學們的思路完全打開，大家七嘴八舌地說起來，師生共同解決

即an-1·an+1=an2（其中n≥4）.

所以a3，a4，a5，…是等比數列，設其公比為q.

a1，a2的驗證，留給同學們課后完成.

（類比于等差數列的方法，非常順利做出證明）

設計意圖：類比推理是數學核心素養之一，在中學階段代數的類比推理中，等差數列和等比數列具有很高的類比推理價值，通過設計案例，進一步啟發學生的類比推理思維.

在高潮迭起的班級氣氛里，師又出其不意的問：還有其他解法嗎？

學生一臉茫然，突然陷入了沉思，氣氛又變得冷靜下來.

師稍作啟發.

師：能否把這個等比數列問題轉化為一個等差數列問題？大家討論一下.

（部分學生若有所思，很快有位同學興奮的做出了反應）

生10：可以取對數，正項等比數列取對數后，變成一個等差數列.

令bn=lnan，

則證明{an}是等比數列轉化為證明{bn}是等差數列.

又把這個問題轉化為2017年的這道高考題.

設計意圖：化歸與轉化是高中階段最重要的四種思想方法之一，化歸與轉化是將一個問題由難化易，由繁化簡的過程.如何做一個有數學靈魂的高中生，本質上就是如何學會數學思想方法的運用.這個設計意圖在于進一步啟發學生的化歸與轉化思想.

四、課堂小結

本節課設計目的：在數學教學活動中，注重邏輯推理核心素養的培養，有利于學生理解一般結論的來龍去脈，并形成舉一反三的能力，有利于學生形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和交流能力，有利于學生提高探究事物本源的能力.