聚變激光等離子體相互作用中受激拉曼散射動理學數值模擬研究進展

劉明明，李 棚，鄒長林

(1.六安職業技術學院 信息與電子工程學院，安徽 六安 237158；2.安徽理工大學 電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001)

在激光與等離子體相互作用中，粒子和場的集體相互作用是一個強而復雜的非線性問題。傳統上，研究該系統主要是通過理論和實驗工作，發展分析模型來確定目標系統的行為，然后再通過復雜的實驗來觀察其隨時間的演化。但激光等離子體的瞬時相互作用和極其復雜的多自由度使得解析解變得不實際。而在實驗上觀察激光等離子體相互作用的許多重要細節也是極其困難的。因此，需要其他的手段來進一步加深對這個領域的理解。

基于高性能計算機技術的發展，數值模擬如今已得到空前發展，以致它已成為獨步理論和實驗之外的單支學科，逐漸展示著其在理論模型建立和實驗結果理解上的價值。當前清晰且詳細地理解激光等離子體相互作用的物理機制只有借助于理論，實驗和數值模擬三者的結合[2]。數值實驗可以提供我們想要的各種系統演化的信息。研究者可以使用每次模擬的結果來檢測基于簡單分析模型給出的預期值，或者將其與實驗結果進行比較，來推測實驗上難以獲得的細節。最終，在建立適當的基準之后，這個工具就可以被用于預測未來實驗的結果，并有助于指導這個領域內實驗的可努力方向。

1 動理學數值模擬研究的方法

通常，等離子體中的粒子都不是碰撞平衡(如麥克斯韋分布)。這種平衡性導致的差別使得等離子體有別于流體或固體力學，并引發出一些最重要的等離子體行為。我們對于遵循等離子體在相空間(坐標和動量)中演化的動理學模型十分感興趣。在概念和計算上動理方程數值求解相比于流體方程更能滿足要求。目前有兩種方法被用于模擬動理方程：歐拉(也稱為Vlasov)方法和Particle-In-Cell(PIC)或拉格朗日方法。Vlasov方法中視等離子體為“相空間中流體”，而不是離散型宏粒子的集合。在相空間中的固定網格上通過求解動理學方程以獲得分布函數f(x,p)。換句話說，PIC方法用一個離散有限大小粒子集合(宏粒子)來替代f(x,p)，它們可以在相空間中自由移動。

兩種方法都有其優點和缺點。PIC方法的優點是所需宏粒子的數目隨著計算維數的增加而并不快速的相應增加。這使得PIC代碼得到空前的發展，并實現了商業化。但是PIC方法存在產生于單粒子的高噪聲問題。它等同于實際等離子體中的物理漲落(這種漲落振幅是很小的，因為在物理德拜球中的粒子數目遠大于PIC模擬中的數目)。高噪聲水平使得PIC方法很難用于研究線性和弱非線性。在連續性方法中，我們視分布函數f為一相空間流體，它沒有產生于PIC方法中單粒子運動時的漲落或噪聲。我們要付出的代價是更多的相空間網格和計算機內存，運行時間，尤其是在高維的情況中。但隨著超級計算機的計算能力的指數級增長，使得Vlasov代碼正變得越來越流行。

1.1 Particle-In-Cell方法

描述無碰撞等離子體的相對論運動方程[7]

隨后在網格上求解。這里ε0,μ0是真空中的介電系數和導磁率。重復迭代方程組(1)和(2)，我們就得到了等離子體和場在時空中的自洽演化。

(3)

PIC方法包含兩個部分，粒子推動和場的求解。如圖1所示，粒子推動部分使用離散在網格上的電場，通過洛侖茲力，計算粒子的加速；并且根據新的速度將粒子推動到新的位置。之后，粒子的電荷和電流將沉積到網格上。在場的求解部分根據麥克斯韋方程來推進電場和磁場。

圖1 PIC方法的計算流程圖(虛線框部分考慮的是蒙特卡洛碰撞)

1.2 Vlasov方法

我們考慮等離子體僅是在x軸(縱向)上變化(?/?y=?/?z=0)。等離子體會與縱向靜電場Ex和橫向電磁場Ey,Bz(y方向(橫向)上線性極化)。在y方向上，我們視等離子體為冷流體，都具有同樣的橫向速度vy(x,t)。這個橫向流會將縱向(x)和橫向(y)動力學耦合在一起。動理學方程為[8](P27-35)

一維無碰撞(νCs=0)Vlasov代碼基本算法主要是基于三次樣條插值[8]，利用分步法將fs由t時刻推動到t+dt時刻。將時間步分為在x空間中是自由流運動，在px空間中由電磁力推動粒子加速。首先利用自由流Vlasov方程

(5)

將fs由t推動到t+dt-。利用Poisson方程(4b)由新時刻的密度ρ(t+dt)計算出Ex(t+dt).然后利用Jy(t+dt/2)計算出方程(4c)中的E±，我們現在可得到Ey(t+dt)，并利用它將vy由t+dt/2推進到t+3dt/2時刻。最后，在動量空間中利用方程

(6)

計算出t+dt時刻的fs。

2 受激拉曼散射模擬研究進展

以聚變中激光與等離子體相互作用中SRS為研究對象，國內外的學者做大量工作。以三波耦合模理論分析為基礎，北京應用物理與計算數學研究所曹莉華研究員課題組研究了小帶寬頻率啁啾對SRS的影響，得出頻率啁啾對后向SRS有抑制作用，且后向散射不依賴于啁啾符號[9]；正(負)啁啾對前向SRS有微弱的增強(減弱)的作用。粒子模擬(PIC)和理論分析結果一致。中國科學技術大學鄭堅教授課題組對耦合模方程組做數值計算研究了穩態近似條件下噪聲源對后向SRS反射率的影響[10]。Benisti等利用耦合模理論推導了SRS閾值強度并與Vlasov代碼比較分析了SRS不穩定中朗道阻尼率的非線性降低以及等離子體波的非線性波數和頻率移動[11-12]。這些耦合模穩態近似分析中忽略了不穩定性系統的時間演化特性，同時流體三波耦合模型并沒有體現最具決定性意義的等離子體動理學特性。

以PIC模擬為研究手段，Vu首先提出被捕獲粒子可以導致等離子體波的頻率和阻尼率出現非線性降低[13]，前者將導致等離子體波與入射波和散射光波之間的三波共振失諧，于是SRS達到飽和。Yin等利用三維VPIC程序得出高維情況下動理非線性頻移效應[14-15]。在中心處大振幅的有限寬度等離子體波(相對于邊緣)具有較大的頻移。隨著相移累積，波前將變得“彎曲”。最終被捕獲粒子的調制不穩定性導致波開始“自聚焦”[16]，如圖1所示。該過程使得等離子體波越來越窄，進而SRS過程開始熄滅并達到飽和。Fahlen等利用三維靜電BEPS程序研究指出[17-18]，在kλD≥0.2時，中心軸附近的橫向上出現大振幅波，波中心近似為平面波，振幅近似為常量，也即被捕獲粒子處于準穩態并在較長時間內得到維持，同時橫向邊緣受到阻尼。由于依賴波振幅的負頻移效應，有限寬度波的中心相對于其邊緣累積了一定的相移，于是波的橫向邊界逐漸向中心軸收斂。在耦合模方程中引入Morales-O’Neil非線性頻移的理論表達式[19]，Chapman等研究的非均勻等離子體中SRS自共振現象[20]，其中空間非均勻性導致正頻移與被捕獲粒子導致的負頻移相互抵消，也即SRS三波不穩定性維持共振增長。

圖2 非線性頻移導致的波前彎曲[16]

利用RPIC程序，Vu等[13]得到的反射率要遠大于強阻尼極限下對流增益理論計算值。他們認為被捕獲粒子導致朗道阻尼率非線性降低，于是在閾值強度處反射率快速增大，也即“動理增強”，如圖2所示。反射率的突然增大是因為不穩定性由強阻尼轉換到弱阻尼。Vu等隨后又建立了“動理增強”效應的理論模型[22]，進一步指出該效應是速度擴散和捕獲競爭的結果。以三波耦合理論分析為基礎，我們利用PIC代碼模擬研究了后向SRS不穩定性的躍變屬性參數范圍及其對平均反射率的定量影響[7]。

圖3 SRS平均反射率在閾值強度處躍升，在更高強度處達到飽和[21]

圖4 不同強度兩個散斑激光入射到等離子體中，Ex(ωpet=3417)表明兩個散斑中都建立了SRS的子波-電子等離子體波[24]

多散斑激光入射均勻和非均勻等離子體中時，SRS飽和及熱電子輸運的影響也得到充分研究[23-24]。如圖3所示，研究表明當SRS中電子等離子體波出現波前彎曲并成絲時，強度高的散斑中以及前向和側向散射中產生的熱電子都會通過降低的朗道阻尼使得強度弱的散斑中SRS增長率增強，也就是說散斑中電子捕獲增強的三波相互作用通過電子輸運、后向散射和側向散射使得強弱兩個散斑出現自組織并展現相干性。這時SRS的飽和水平取決于kλD，反射率正比于(kλD)-4，當kλD和朗道阻尼增大，散斑間的相互作用減弱，相應SRS時間平均反射率也降低。

國防科技大學卓紅斌教授和上海交通大學盛政明教授課題組利用一維粒子模擬代碼驗證了當激光帶寬遠大于線性增長率時，帶寬對SRS的線性增長階段具有明顯的抑制作用[25-27]。

Vlasov數值模擬方法是在相空間中固定的歐拉網格上通過求解動理方程以獲得分布函數f(x,p)的演化，因此沒有PIC方法中單粒子運動時的漲落或噪聲。由于復雜的數值方法和大量計算資源的占用，致使利用Vlasov方法模擬研究SRS不穩定性物理的學者還較少，研究的內容主要側重不穩定性中等離子體波物理屬性及其對SRS的影響，且這些代碼都是一維的。Brunner等利用開發的SAPRISTI代碼主要是研究電子等離子體波和離子等離子體波(受激布里淵散射(SBS)中的次級子波)的非線性頻移和邊頻不穩定性效應[28]。Strozzi等利用開發的ELVIS代碼研究了Single-Hot-Spot和NIF兩種參數下后向SRS中靜電波非線性頻移效應和電子聲湯姆孫散射。北京應用物理與計算數學研究所的劉占軍等利用開發的代碼研究了SRS激發的太赫茲輻射、電子-離子碰撞效應對后向SRS反射率的影響和SBS效應[29]。隨著計算機性能的飛速提升，Vlasov方法因其無數值噪聲特性將受到越發廣泛的關注，特別是在線性和弱非線性激光-等離子體相互作用問題中的應用[30]。

3 結語

SRS是激光聚變中的關鍵物理問題之一，對于聚變工程來說，人們追求的是建立高科學置信度的激光聚變全過程數值模擬分析[31]。目前雖然在各個方向上取得了一系列進展，但是有待解決的問題依然很多，包括物理建模、數值計算方法及相關程序研制等。例如在建模過程中要充分考慮波-波、波-粒子相互作用的SRS、SBS以及自聚焦等耦合效應。由于等離子體密度密切影響激光等離子體相互作用，通常簡單扣除受激散射激光能量的處理方式，難以反映其對輻射驅動對稱性的影響。隨著高性能計算機技術的高速發展，計算機結構和并行程序結構都變得異常復雜，這給激光聚變應用程序的發展帶來巨大挑戰。高效應用好計算機數值模擬分析，以進一步推動聚變工程的研究進展，人們還需要面對高性能模擬應用程序研制周期和運行效率問題。盡管如此，這依然是一個有著巨大潛力的朝陽領域，相信未來令人矚目的成果會不斷出現。