基于猶豫模糊語言熵的純語言多屬性決策方法

張金波

(皖西學院 金融與數學學院，安徽 六安 237012)

熵作為一個重要的信息刻畫方式，在模糊理論中占有重要地位，長期以來很多學者致力于研究它們在多屬性決策[1-3]、模式識別等領域中的應用[4-5]。DeLuca和Termini定義了熵理論的公理化體系，并指出Shannon概率熵可用于度量事件的信息量[6]。Zadeh在Shannon函數的基礎上提出幾個熵的計算公式，并給出模糊熵的公理化定義[7](P101-103)。Kaufmann在模糊集隸屬函數距離的基礎上，定義了一種模糊集熵的計算方式[8](P50-59)。Yager基于模糊集的差異性和相似性，定義了一種模糊熵的計算方式[9]。Szmidt和Kacprzyk將De Luca和Termini提出的公理化體系推廣到直覺模糊集中，并給出具體的計算方式[10]。Zeng和Li給出區間模糊集熵的計算公式[11]。利用直覺模糊距離及其相似性，Farhadinia對區間值模糊集熵理論進行拓展[12]。

在現實生活中，很多信息難以用定量的方式進行刻畫，或者獲取的成本太高，使得人們更愿意用語言對決策屬性進行評估。這符合人類思維的模糊性，例如人們常用慢、一般和快速來描述一個人的跑步速度，而不是用精確的定量描述。同時利用語言描述可使決策者更加便捷可靠的進行決策。目前語言決策技術已被廣泛地應用在很多領域，如在線營銷[13]、臨床診斷等領域[14]。但單個語言的評價方式在高度不確定的環境中難以使用，決策者往往在幾個語言術語中猶豫或需要一個復雜的語言術語來表示他們的意見。Rodriguez等人提出了猶豫模糊語言術語集(hesitant fuzzy linguistic term sets,HFLTSs)[15]，來改善傳統語言的建模和計算性能，使決策者對定性判斷給予更好的表述形式，這一概念引起了越來越多學者的關注。Rodriguez等人[15]給出了一些HFLTSs集結算子，并討論了它們的性質。Liao等人給出了幾種類型的HFLTS距離和相似度計算公式，并用它們進行猶豫模糊語言環境下的多屬性決策[16]。Wei等人研究了HFLTS下的信息集結技術，并將其應用于屬性權重已知和未知2種情況下的多屬性決策問題[17]。Chen和Hong根據決策者的悲觀和樂觀態度提出了一種多目標語言決策的方法[18]。

筆者主要目的是將熵引入猶豫模糊語言術語集，給出其公理化定義以及具體的計算公式。另一方面，目前大多數純猶豫模糊語言決策問題研究中假設權重已知或部分已知[19-20]，本文利用所給出的猶豫模糊語言熵，給出一種權重未知情形下的純猶豫模糊語言多屬性決策方法。

1 猶豫模糊語言

文獻[21]定義了一種有限的有序語言評估標度[21](P20-39)

其中，sα表示語言術語，s0表示中性評價，其它的語言術語對稱的分布在其兩側，且滿足下列條件：

1)sα

2)存在負算子N(sα)=s-α，特別地，N(s0)=s0。

1)sα⊕sβ=sβ⊕sα=sα+β；

2)λsα=sλα；

3)(λ1+λ2)sα=λ1sα⊕λ2sα；

4)λ(sα+sβ)=λsα⊕λsβ。

在猶豫模糊理論的啟發下，Rodriguez等人定義了猶豫模糊語言術語集。

定義2[15]稱HS={|xi∈X,i=1,…,n}為論域X上的猶豫模糊語言術語集，其中S={sα|α=-t,…,-1,0,1,…,t}為語言評估標度，hS(xi)表示語言評估標度S中的某個子集，hS(xi)={sηl(xi)|sηl(xi)∈S,l=1,2,…,L}，L表示hS(xi)中元素個數。

注：為便于表述，文中將hS(xi)稱為猶豫模糊語言術語，并假定所有的猶豫模糊語言術語個數相同。若出現元素個數不相等，則對元素個數少的集合進行拓展。

我們定義一種猶豫模糊語言術語和猶豫模糊語言術語集的序。

2 猶豫模糊語言熵

模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度，應滿足下面4個條件：

1)分明集是不模糊的，則分明集的模糊熵為0；

2)[1/2]是隸屬性最難確認的模糊集，[1/2]的模糊性應最大；

3)模糊集A與Ac距[1/2]的遠近程度是相同的，則要求A與Ac的模糊程度一樣；

4)模糊集A的模糊性應具有單調變化的性質，即A越接近[1/2]，A的模糊性越大；越遠離[1/2]，A的模糊性越小。

在此基礎上，我們給出猶豫模糊語言熵的定義。

(1)

為猶豫模糊語言熵。

故

即E:HS→[0,1]。下面證明其滿足定義5的4條性質。

3)

綜上可得

為猶豫模糊語言熵。

3 基于猶豫模糊語言熵的TOPSIS方法

(2)

步驟4：計算每個方案與負理想解的貼近度。方案xi與x+的相對貼近度為

(3)

本文采用文獻[16]定義的猶豫語言術語的距離公式

步驟5：確定方案的優劣。Ci越大方案越優，據此可確定方案集為X={x1,x2,…,xn}的優劣順序。

4 實例分析

例2某風險投資公司有三種備選方案x1,x2,x3，為確定最優投資目標，針對效益型指標c1,c2,c3,利用語言評估標度:S={s-3:極低(n)，s-2:很低(vl)，s-1:低(l)，s0:平均水平(m)，s1:高(h)，s2:很高(vh)，s3:極高(p)}對三個方案給出評價，評價結果如表1所示，求最優投資方案[19]。

表1 語言決策表

步驟1：將語言評價表轉化成規范化的猶豫模糊語言決策矩陣。

為保證猶豫模糊語言術語的長度相同，將長度不足3的元素進行拓展，得到標準決策矩陣

步驟2：因為c1,c2,c3均為效益型指標，可得正負理解如下：

步驟3：利用

求猶豫模糊熵。這里λ取值1，t、L和N均為3。為方便起見我們記

則

通過計算可得

則E(H1S)=0.5833，E(H2S)=0.5，E(H3S)=0.8333，H1S、H2S和H3S分別為方案x1,x2,x3的猶豫模糊語言術語集。利用公式(2)得c1，c2，c3的權重為w1=0.3118，w2=0.2718，w3=0.4164。

步驟4：利用公式(3)計算可得D(H1S,X+)=0.2229，D(H1S,X-)=0.3247，C1=0.593；D(H2S,X+)=0.4284，D(H2S,X-)=0.1014，C2=0.1913;D(H2S,X+)=0.1165，D(H2S,X-)=0.3716，C2=0.7613。

步驟5：根據Ci的大小對方案x1,x2,x3進行排序，得x3?x1?x2。因此最佳投資方案為x3，同文獻[19]具有相同的結論。

5 結論

在當前復雜多變的經濟社會環境中，我們所面臨的決策環境具有較大的模糊性和不確定性，因此猶豫模糊語言比模糊語言更具有現實意義。本文將熵理論引入了純猶豫模糊語言的多屬性決策分析中，定義了猶豫模糊語言熵的概念，并依據概念給出了一種猶豫模糊語言熵的具體表達式。最后，針對權重準則完全未知，準則值為猶豫模糊語言的多準則決策問題，給出了基于猶豫模糊熵的TOPSIS多屬性決策方法，豐富和發展了猶豫語言模糊集理論。該方法可應用于風險投資、供應鏈管理等實際決策問題。