高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略探究

摘 要：數學是關于結構、序和關系的科學，由計數、度量和描述物體形狀等基本實踐演化而來的，涉及了邏輯推理和數量計算。自17世紀以來，數學一直是物理科學和技術必不可少的助手，以至被認為是科學的基本語言。“數”“形”結合原本是一種數學解題策略，該策略分為“以行助數”和“以數助形”兩個方面，其中，“以行助數”是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，“以數助形”是以“數”為手段，以“形”為目的，也就是用幾何圖形來解析數量關系。本文將舉例淺談高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略，并提出個人見解。

關鍵詞：高中數學；幾何解題技巧；“數”“形”結合策略

高中數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，發端于計數與度量的實際問題，該學科具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性和廣泛的適用性，包括數理邏輯、數論、代數學、幾何學、函數論、概率論、數理統計和計算數學等。通常在運用“數”“形”結合策略解析高中數學幾何時，需要科學使用三種途徑，即將形轉化成數，將數轉化為性，促進數與形的有機結合，從而有效解決抽象的幾何問題，創新解題策略。本文將簡單介紹“數”“形”結合策略的基本定義，并從優化解題途徑，構建數學模型，創新解題思路等三個方面舉例淺談高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略。

一、 “數”“形”結合策略的基本定義

從狹義視角來分析，“數”“形”結合策略主要是根據數量和圖形之間的對應關系進行互相轉化，以此解決相關問題，簡而言之，“數”“形”結合策略是一種智慧性解題技巧，能夠使復雜的問題簡單化，抽象問題具體化，多項問題條理化。在數學界，“數”“形”結合策略具有極高的地位，華羅庚先生曾經說：“數與形本身相倚依，焉能分作兩邊飛，數無形時少直覺，形無數時難入微?！庇纱丝梢?，“數”“形”結合策略不僅是一種思想，而且是一種極為有效的解題方法。此外，“數”“形”結合策略分為三種途徑：第一種，將形轉化為數，這種途徑大多是指用代數方法來研究和解決幾何圖形問題，將抽象的圖形轉化為具體代數。第二種，數轉化為形，這種途徑是根據代數式的具體結構與特征，繪制和構造相應的幾何圖形，然后用幾何方法解析代數問題。第三種，數形結合，這種途徑是整個“數”“形”結合策略的核心方法，主要是用幾何圖形研究和解決代數問題，用代數式解決幾何問題，使兩者互相結合，從而簡化問題解決思路，提高解題效率，探索更為簡潔、明了的解題方法。

二、 高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略

（一） 優化解題途徑

在高中數學幾何解題中運用“數”“形”結合策略，首先要注重優化解題途徑，實現“數”與“形”的有效結合。通常，在將“數”轉化為“形”的過程中，要注意準確繪制“形”，為數形結合的實現奠定基礎。不可忽視的是，“數”“形”結合策略的重點是“結合”，因此不能簡單地用“數”代替“形”，或者用“形”代替“數”。相比之下，“形”具有直觀化和形象化的優勢，卻無法代替“數”的具體推理、運算與證明，在幾何解題過程中，“形”大多能夠充當解題模式，“數”的解析運算作用不容忽視。例如在計算向量時，就要注意優化解題途徑，充分發揮“數”與“形”的優勢。

（二） 構建數學模型

在高中數學幾何學習中數學模型能夠使抽象的幾何知識直觀化與清晰化，全面了解幾何的空間關系、特征與數量關系，減輕了學生的學習負擔與壓力，增強知識領悟能力、問題解決能力和空間思維能力。在構建數學模型的過程中，應注意細化六步流程：第一，做好模型準備工作，全面了解幾何習題所涉及的知識模塊，分析問題的相關背景，整合所有信息，運用數學語言準確描述數學問題。第二，科學實施模型假設，即根據實際對象的特征和建模目的，簡化問題，同時使用精確的語言做出合理地假設。第三，科學建立模型，運用相應的數學關系準確描述幾何變量之間的數學關系，組建完善的數學結構模型。第四，做好模型求解工作，對所建模型的所有參數進行核算。第五，做好模型分析工作，即對幾何模型計算結果進行數學分析。第六，全面做好數學模型檢驗工作，對比分析模型求解結果和實際情形，科學驗證數學模型的準確與否，對計算結果的實際意義進行解釋與定論。例如在分析數列模型時，應注意數列應用主要是從生活中抽象出的一個等差數列或者等比數列問題，然后，科學建模，并對模型進行假設、分析、計算和驗證。

（三） 創新解題思路

運用“數”“形”結合策略解答高中數學幾何問題，應充分發揮“數”與“形”的互補優勢，勇于創新解題思路，在常規解題的同時探索新的解題方法。例如在解析三角函數時，準確定位函數的自變量，列舉函數與自變量之間的對應法則，然后把實際抽象問題轉化成數學問題，繪制幾何示意圖，再利用相關知識解決問題。此外，要注意三角函數的解題規則具有個性與共性，對此，在使用“數”“形”結合策略的同時運用一題多解和多題一解方法，從而有效提高問題解決能力和知識應用能力。

三、 結束語

綜上所述，在高中數學幾何解題中，運用“數”“形”結合策略簡化解題方法，應充分發揮“數”與“形”的作用，不斷優化解題技巧，科學構建數學模型，并積極創新解題思路，探索新的解題方法。

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作者簡介：

劉佳寅，山西省太原市，太原市第十二中學校。