圓錐曲線方程組解題分析

盛輝

（安徽新華學(xué)院國(guó)際教育學(xué)院，安徽 合肥 230088）

一、直接法

在直接法中的等量關(guān)系可以采用動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)數(shù)值表達(dá)，簡(jiǎn)化處理后得出軌跡方程。通常求解分如下幾步：①直角坐標(biāo)系要在求解之前建立，在曲線中的點(diǎn)M坐標(biāo)使用（x,y）代表；坐標(biāo)系有沒(méi)有建立成功可以通過(guò)曲線中的點(diǎn)的坐標(biāo)或者是方程顯示出來(lái)，如果出現(xiàn)了則代表成功；②對(duì)一些符合點(diǎn)M要求標(biāo)準(zhǔn)的幾何等量關(guān)系指出；③方程f(x,y)=0利用坐標(biāo)呈現(xiàn)出來(lái)；④將方程f(x,y)=0進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理；⑤證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。通常要求下，方程解通過(guò)簡(jiǎn)化處理后的解是一致的；⑤略去內(nèi)容，根據(jù)情況實(shí)行，也可略去步驟②將方程組的解直接得出。

例題1：在三角形中，將ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的A位置進(jìn)行固定，在三角形中點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的BC的長(zhǎng)度確定是2a,邊BC上的高線長(zhǎng)為b，邊BC沿一條定直線移動(dòng)，求三角形ABC外心的軌跡方程。

分析：X軸是由BC兩邊組成，當(dāng)于A點(diǎn)垂直于X軸的直線被稱作y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則B（0，b），設(shè)外心M（x,y），則|MA|＝|MB|，B（x-a,0）,x2-2by+b2-a2=0

二、定義法

軌跡性質(zhì)如何定義，可以利用圓錐曲線（或已知曲線）的定義進(jìn)行最后認(rèn)定，然后求解方程組。

三、相關(guān)點(diǎn)代入法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)P1（x1，y1）相關(guān)時(shí)，用x，y表示x1，y1，再融合進(jìn)行已經(jīng)得出的曲線方程組，求得軌跡方程。

例題3：對(duì)平面直角中的原點(diǎn)進(jìn)行設(shè)定，為O，其中定點(diǎn)A（3,0）數(shù)值已知，這時(shí)的動(dòng)點(diǎn)B活動(dòng)在曲線x2+y2=1上，∠AOB的平分線交AB于點(diǎn)M，對(duì)方程組中的動(dòng)點(diǎn)M的數(shù)值進(jìn)行求解。

分析：如果點(diǎn)的坐標(biāo)不能成立相關(guān)關(guān)系時(shí)，同時(shí)這個(gè)點(diǎn)也在曲線上某點(diǎn)的坐標(biāo)的影響作用下，這時(shí)可以采用點(diǎn)代入法。在下列例題中可以使用的方法包括角平分線定理和相關(guān)點(diǎn)代入法。

（4x-3）2+16y2=9

四、參數(shù)解法

使用之前先對(duì)參數(shù)進(jìn)行選定，這時(shí)需要選出其中一個(gè)變量確定為參數(shù)，然后對(duì)曲線中的橫坐標(biāo)進(jìn)行選取，依次找出縱坐標(biāo)和參數(shù)，然后建立關(guān)系式，最后去除參數(shù)。

例題6：交軌解法和參數(shù)解法結(jié)合運(yùn)用。