高等數(shù)學中極限概念的認識

盛輝

（安徽新華學院國際教育學院，安徽 合肥 230088）

一、極限的概念

（一）數(shù)列極限

（二）函數(shù)極限

在數(shù)學發(fā)展的過程中，因為需求差異，對差異化極限理念進行了運用，集列上極限及下極限原理就在集論內(nèi)有著一定的運用，級數(shù)條件收斂及絕對收斂原理也可以應用到無窮級數(shù)論方面[1]。除此之外，極限原理也能夠應用到函數(shù)逼近論方面，例如：平均逼近定義和一致逼近定義等?？v觀上述概念運用，能夠發(fā)現(xiàn)基礎原則均是由有限概念延伸至無限概念。

二、極限思想的價值

有限及無限、常量及變量間的聯(lián)系均涵蓋于極限思想中，借助極限概念，透過有限、直線近似和不變及量變能夠?qū)o限、曲線、變化和質(zhì)變進行分析。所以，極限思想能夠啟發(fā)人們的創(chuàng)新意識，其在各個方面均發(fā)揮著不容忽視的作用，例如：微分幾何、積分方程、力學、函數(shù)逼近論、微分方程和概率極限理論等。

借助實際例子來了解極限思想，比如如果有一塊蛋糕，首先切掉一半，次日再切掉剩下一半的一半，第三天再切掉一半的一半的一半......以此類推，最終能徹底切完這塊蛋糕嗎？經(jīng)過分析得知永遠不可能完全切掉這塊蛋糕，即使蛋糕每天在不斷變小，但是依然還存在這塊蛋糕。由此可以看出，蛋糕的極限就是0，并且≠0。極限思想就在這個例子中有著充分的體現(xiàn)。

眾所周學習知極限思想非常關(guān)鍵，它也是學生難以理解掌握的重要概念，它貫穿整個數(shù)學體系，是一種非常重要的數(shù)學思想，它是人類發(fā)現(xiàn)并解決數(shù)學問題的非常重要手段，它能很好地展現(xiàn)出數(shù)學的思維之美，在高等數(shù)學的教學過程中起著相當重要的作用，恰當?shù)膽脴O限思想不僅可以將一些問題簡化，開辟解決問題的新途徑，通過分析、總結(jié)、歸納得出極限概念中各變量具有的變化特征和內(nèi)在練習，分析變化過程中的各種規(guī)律，還可以培養(yǎng)數(shù)學思維，提高解決問題的素質(zhì)能力，因此，能夠靈活運用極限思想有重要的意義。

三、極限定義的分類

多元函數(shù)極限、函數(shù)極限及數(shù)列極限等是構(gòu)成極限的關(guān)鍵類型，基于各類極限，應對其定義進行充分的了解，從而掌握詳細應用[2]。

（一）數(shù)列極限

對于數(shù)列極限的概念，假設存在數(shù)列{an}和確定數(shù)a，且具有正整數(shù)N，滿足N＜n，對于任意正數(shù)ε，滿足an -a<ε，那么數(shù)列{an} 收斂于a，數(shù)列極限就是a，表示為an→a（n→∞），也可以表示為lim n→∞ an=a。對于ε-N這一數(shù)列極限概念，涵蓋的N、ε中，后者預先進行了設定，所以根本就是對N進行運算，同時ε會直接影響N值，也能夠表示成N=N（ε）。

上述概念內(nèi)的常數(shù)ε存在二重性的特點，代表正數(shù)固定程度不強，存在隨意小任意性。在ε保持不變的情況下，能夠明確逼近程度；如果ε在不斷變化，如果在任意小的情況下，就能夠刻畫其逼近無限性。

通常N取值會隨著ε的不斷減小而變大，這是因為ε＞an-a，能夠清楚的進行運算，所以N、ε二者取值非固定，在探尋N值的過程中，如果明確滿足定義條件的N，就能夠取代為任何自然數(shù)n（n＞N）。然而無法輕松地獲得N的取值，這就需要借助適當放大法進行運算，不等式ε＞an -a可能會相對煩瑣，所以不能簡單地得到n，這就需要ε＞an -a這一對絕對值不等式進行適當放大處理，獲得：an -a

（二）函數(shù)極限

對于數(shù)列極限的概念，假設[a,+∞)中定義函數(shù)是f，定數(shù)為A，且任意正數(shù)ε>0，則有正數(shù)M（≥a），滿足x>M的情況下，f（x）-A <ε成立，那么在x向+∞ 趨近時，函數(shù)f極限就是A，表示為f（x）→A（x→+∞），也可以寫成lim x→+∞ f（x）=A 。針對數(shù)列an → →、函數(shù)f向+∞趨近二者的極限定義類似，由于二者自變數(shù)的改變規(guī)律一致，為n→+∞和x→+∞，僅在自變量改變形態(tài)方面有所差異。自變數(shù)x在函數(shù)f（x）內(nèi)，取值范圍是區(qū)間[a,+∞）下任意實數(shù)，續(xù)地增大；但是自變數(shù)n在數(shù)列an → →內(nèi)，取值范圍為所有正整數(shù)，離散地無限增大。這就表示，正整數(shù)N是數(shù)列極限的核心所在，正數(shù)M為函數(shù)極限f（x）→A（x→+∞）進行證明的重點。

（三）一元函數(shù)極限

對于一元函數(shù)極限的概念，假定點x0 處，函數(shù)f（x）任意空心領(lǐng)域內(nèi)U°（x0；δ′）存在定義，且定數(shù)為A，任意ε>0時，具有正數(shù)δ（<δ′），滿足0

針對數(shù)列極限進行進一步的延伸應用就能夠獲得函數(shù)極限，函數(shù)極限的典型就是數(shù)列極限，共同點在于極限針對的是自變量ε，數(shù)列極限內(nèi)存在的因變量N，基于函數(shù)極限內(nèi)寫作δ，而在函數(shù)極限內(nèi)ε是δ的基礎所在，通常δ會因為ε的不斷變小而出現(xiàn)有所減小的變化[3]。數(shù)理極限主要針對n向+∞趨近時數(shù)列值的改變趨勢進行分析，但是函數(shù)極限則對x→-∞、x→+∞、x→x0、x→x-0及x→x+0時，函數(shù)值改變趨勢進行研究。因此，函數(shù)極限、數(shù)列極限具有一致性，明確可變性δ的值就能夠借助正數(shù)（＜δ）進行取代，從而找到函數(shù)極限的解。