應用膨脹算法提取目標的直接定位算法

陳芳香， 易 偉， 周 濤， 孔令講

(電子科技大學信息與通信工程學院， 四川成都 611731)

0 引言

通常對發射源的定位一般采用基于兩步處理的定位方法：首先，從觀測信號中估計得到與位置相關的參數，如到達時間/時間差(TOA/TDOA)、到達角(AOA)、多普勒頻率等[1-3]；然后，利用已估計參數和雷達以及目標之間的幾何約束進一步確定目標位置。從估計理論的角度來看，該方法是次優的，原因是第一步中的參數估計是在各接收基站獨立進行的，它忽略了所有觀測信號對應同一個目標這一客觀約束。而直接定位(Direct Position Determination, DPD)[4-6]方法充分利用了這一客觀約束，直接聯合所有原始回波信號構建依賴于目標位置的代價函數，通過優化代價函數進行一步參數估計便能直接提取目標的位置，具有較傳統兩步定位方法更優的估計性能。

多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[7]能將高維搜索問題轉化為低維參數估計問題，且具有高精度的參數估計能力。在文獻[5]中，結合MUSIC算法，通過計算感興趣區域內頻譜峰值點來確定發射未知信號的多個發射源的位置。該方法的計算復雜度相比于基于全局最優的最大似然估計器的方法大大減小。在文獻[6]中，目標數目是利用恒虛警率(Constant False Alarm Rate, CFAR)的方法來確定的，卻忽略了目標提取的這一關鍵步驟，而若無法成功提取目標，目標位置也難以確定，相應地，后續定位性能的分析也會受到阻礙。文獻[8]中給出了一種目標提取及位置估計的方法，通過消除已定位目標的影響，按照目標強度依次定位出監測區域的目標，直至滿足一定停止準則時算法停止。

圖像膨脹(Image Expansion, IE)算法的應用可基于像素復制、雙線性插值、三次插值以及基于Canny邊緣化的方法[9-10]，一般被用于處理圖像方面的問題以及提取局部極值。提出定位方法利用IE算法來提取目標，相比于文獻[8]中通過依次進行門限處理來獲取目標位置的方法，該方法更為簡單且能達到很好的效果。

在本文中，首先由AIC確定模型階數，再利用基于MUSIC的DPD算法來獲得用于定位的代價函數，并通過計算感興趣區域所有網格點的代價函數值得到代價函數平面，之后利用IE算法來提取代價函數平面的局部最大值即可獲取目標個數以及位置的估計值。仿真驗證提出方法(IE-DPD-MT)可以有效提取并定位多個發射源，且進一步分析了影響目標提取有效性的主要因素。

1 基本原理

1.1 信號模型建立

考慮監測區域內的G個靜止目標，位置坐標為pg=(xg,yg),g=1,2,…,G，G的值固定且未知。在二維笛卡爾坐標系下，L個在時間上同步的接收基站位于(xl,yl),l=1,2,…,L，每個接收基站接收端是包含N個陣元的均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA)。接收基站l截獲的回波信號復包絡為

t0,g)+wl(t), 0≤t≤T

(1)

式中：rl(t)表示與時間相關的N×1維向量；αlg表示信號在第g個發射源與第l個接收站之間的通道的復衰減系數；T表示觀測時間；αl(pg)表示由位置pg的發射源發射的信號在第l個接收站的陣列響應，為N×1維向量；xg(t-τl(pg)-t0,g)表示第g個發射源在時刻t0,g發射并經過時延τl(pg)之后的信號波形；wl(t)表示基站l處的陣列天線觀測到的噪聲和干擾。

(2)

式中，c為光速。

式(1)中接收信號的第k部分的傅里葉變換可表示為

wl(m,k),m=1,2,…,M

k=1,2,…,K

(3)

式中，rl(m,k)，xg(m,k)以及wl(m,k)分別表示接收信號、發射信號以及噪聲在第k部分第m個頻點上的傅里葉系數。

首先定義以下向量及變量：

(4)

則式(3)可寫成

wl(m,k)

(5)

(6)

式中，

(7)

進一步地，將聯合了L個接收站的所有信息表示為

(8)

式中，

(9)

1.2 膨脹算法原理

膨脹算法通常用來處理二值圖像，簡單來說就是用結構元素作為模板在原始二值圖像上遍歷一遍，掃描圖像的每一個像素，用結構元素中的每一個元素與其覆蓋的二值圖像作“或”運算(假設結構元素都為1)，如果結果為1，則二值圖像中對應結構元素原點位置的像素值為1，否則為0。

膨脹操作其實將圖像與核進行卷積。核也稱作結構元素，可以是任何的形狀和大小，它擁有一個單獨定義出來的參考點，多數情況下，核是一個小的中間帶有參考點和實心正方形或者圓盤，而膨脹算法用于本文算法實則是用來求局部最大值，將核與圖像卷積，即計算核覆蓋區域的像素點的最大值，并把這個最大值賦值給參考點指定的所有像素。膨脹操作后，圖像中會表現出高亮區域逐漸增長。

2 基于膨脹算法提取目標的多目標直接定位算法

2.1 基于MUSIC的直接定位算法

MUSIC算法是基于信號空間與噪聲空間的譜估計分析方法，首先根據式(8)中的信號模型求得接收信號的協方差矩陣：

(10)

然后，利用信號空間與噪聲空間的正交性[12]，求得相應代價函數：

(11)

式中，

(12)

由于應用MUSIC算法時需要已知目標數目，而本文假設目標個數是未知的，所以這里利用AIC定階方法[13]來確定目標的個數。由式(11)可知，F(p,α)的最大值取決于p和α，需要對參數空間進行2(L-1)+D維搜索才能得到確定。該問題可以采用一定的矩陣變換進一步地降維，其具體思路如下：

(13)

式中，

(14)

式中，Λ(m)是以接收基站對應的陣列響應為對角元素的對角矩陣，IL是L×L維單位矩陣，1N是全1的N×1維向量，?是克羅尼克乘積。

上述過程可將發射源位置參數與衰減系數進行解耦合并分離，以用于后續的降維處理，式(11)中的代價函數可重新表示為

(15)

從上式可以看出，F2(p,b)的最大值對應于矩陣Z(p)的最大特征值，Z(p)定義如下：

(16)

F3(p)?λmax[Z(p)]

(17)

上式表示位置p處對應的代價函數值為矩陣Z(p)的最大特征值。因此，由上式可知，對感興趣區域進行二維網格搜索，計算并保存每個網格點代表的位置坐標對應的代價函數值，即可獲得代價函數平面。

2.2 應用膨脹算法提取目標

當目標發射波形未知時，應用基于MUSIC的直接定位算法可得到代價函數平面，由于MUSIC算法具有較高的分辨率，能直觀地從該代價函數平面上看出目標的大概個數及大致位置區域。但是，只有成功估計出目標個數并確定目標的位置，才能進一步從誤差角度分析針對每個目標算法的定位性能。

根據膨脹原理，當參考點在局部極大值位置時，參考單元內的所有值都相同且為最大值，此時局部極大值所在的區域亮度將增長。在得到進行膨脹操作處理后的圖像(亦是一個矩陣，矩陣的元素即代價函數平面每個網格點處保存的代價函數值)后，將該圖像和原圖像進行對比，兩者相匹配的多個像素點即為代價函數平面上目標的位置。膨脹操作的輸入為代價函數平面，輸出設定為目標位置的橫縱坐標。由于膨脹算法應用于實際場景中時是基于一定虛警概率的，所以同時可得到目標數目以及位置的估計值。

總結應用膨脹算法提取目標的多目標直接定位算法(IE-DPD-MT)流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

3 算法性能分析

3.1 仿真場景設置

假設陣列雷達系統中有3個接收基站，每個接收基站配備4個天線單元且陣列間距為半波長的ULA。發射信號為窄帶高斯隨機信號，定位結果基于10個頻點上的100個快拍。接收端衰減系數幅度設定為服從均值為1、方差為0.1的正態分布的隨機數，相位衰減分布服從[-π,π]均勻分布。目標發射機以及接收基站位置分布情況如圖2所示，發射源的坐標為(-3,-1;0,5;3,1.5)km，接收基站的位置為(-6,-6;-2,-6;2,-6;6, -6) km。信噪比取值為-15∶3∶15(dB)，對每一個信噪比取值點，所執行的蒙特卡洛仿真迭代次數為200次。應用膨脹算法所選參考單元大小為2個網格點，虛警概率為1×10-5。

圖2 定位場景圖

算法性能由目標有效提取率Pr和目標均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)兩個指標評價，定義如下：

(18)

(19)

式中，H為蒙特卡洛仿真次數，xj,yj為第j次實驗得到的目標位置估計值，Gj為第j次實驗提取得到目標位置落在真實目標位置指定范圍內的目標個數。目標有效提取率為在N次獨立的定位實驗中，有效提取得到的目標總數與真實目標總數的比值。有效提取率越高，定位準確的目標數越多，即定位算法越有效。

3.2 應用膨脹算法提取目標的定位算法有效性驗證實驗

圖3中顏色較深的紅色區域表示該區域的目標代價函數值較大，其中顏色較深的3塊區域里的最大值分別對應3個目標的位置。對圖3(a)中的代價函數平面進行膨脹處理，能得到圖3(b)所示高亮度區域增長的平面，再將基于門限處理后的平面與原始代價函數平面作對比，只有原始平面上局部極大值的位置在兩個平面上的值是相同的，提取出這些位置，即得到目標個數及對應位置的估計值，如圖3(c)所示。

圖3 基于膨脹算法的目標提取過程分析圖

統計在每個信噪比值下每次蒙特卡洛實驗中得到的目標個數及位置的估計值后，基于統計的概念，利用式(18)和式(19)可得單個信噪比值下目標有效估計率與位置均方根誤差。

在圖2所示定位場景下，利用提出的IE-DPD-MT方法得到的目標有效提取率Pr以及各目標位置估計的RMSE隨信噪比變化關系分別如圖4和圖5所示。

圖4 目標有效提取率Pr隨SNR變化曲線

圖5 目標位置估計的RMSE隨SNR變化曲線

從圖4可以看出，在信噪比較高時，利用膨脹算法能有效地提取目標并估計出目標的個數，而在信噪比較低時，由于利用AIC確定模型階數時也給造成一定估計誤差，進一步地，目標提取也會不太準確。當目標位置估計值得到后，根據式(19)可以得到如圖5所示的各目標位置估計的RMSE隨信噪比的變化趨勢，從圖中可看出，隨著信噪比增大，目標的RMSE呈下降趨勢，當信噪比高于0 dB左右，定位誤差趨于穩定。

3.3 臨近目標提取有效性影響因素分析實驗

考慮到對于臨近目標的定位問題，都會面臨在信噪比較低、天線陣元數目較少、干擾較強的情況下，所有目標都成功提取的難度加大，研究此時膨脹算法的應用的可行性及有效性具有很大的必要性及價值。下面將考慮目標的個數、天線陣列陣元的數目，膨脹算法應用時參考單元的大小對目標有效提取的影響情況。

對比場景：考慮多個沿一條平行于橫坐標的直線均勻相隔1 km放置的發射機目標。中心目標的位置坐標為(0,-1) km，其他的參數同上文所述。

3.3.1 目標數目對目標有效提取性能的影響

考慮目標數目對目標有效提取率的影響，其他參數與前述相同。目標個數分別為1,3,5,7時，目標提取率隨信噪比變化曲線如圖6所示。

從圖6可以看出，在目標數目不同時，目標有效提取率都隨信噪比提高而增大。而目標個數增多使得在信噪比較高時，Pr才能收斂到1，同時，當目標個數過多時，目標提取率在信噪比很高時也無法收斂到1，即此時不是每次實驗都能準確提取并定位所有目標，原因是臨近目標數目過多導致目標之間干擾增強，目標函數平面上目標所屬區域相互影響，使得目標提取時也出現阻礙。

圖6 目標數目不同時目標有效提取率隨SNR變化曲線

3.3.2 陣元個數對目標有效提取性能的影響

考慮陣元數目對目標有效提取率的影響，其他參數與前述相同。陣元個數分別為2,3,5,8, 12時，目標提取率隨信噪比變化曲線如圖7所示。

圖7 陣元個數不同時目標有效提取率隨SNR變化曲線

從圖7可以看出，在陣元數目不同時，目標有效提取率都隨信噪比提高而增大。陣元數目越多，基于MUSIC的應用，代價函數平面對應的目標所在位置的區域越集中，即此時利用提出算法提取目標的優勢越明顯，表現為目標有效提取率就越大。

3.3.3 參考單元大小對目標有效提取性能的影響

考慮參考單元大小對目標有效提取率的影響，其他參數與前述相同。參考單元大小分別為1,2,7,10,15,18個網格點時，目標提取率隨信噪比變化曲線如圖8所示。

從圖8可以看出，在應用膨脹算法選取的參考單元大小不同時，目標有效提取率都隨信噪比提高而增大，而參考單元在一定范圍內增大時，對有效提取率的影響基本可忽略，此時單個目標的中心未被其余目標經過膨脹后的中心區域覆蓋；而參考單元進一步增大使得在信噪比較低時，出現了覆蓋的現象，當增大到一定值時，一個或多個目標的中心被其他目標膨脹后的中心區域覆蓋，此時這些目標無法成功提取而后得到目標位置，導致在信噪比較高時目標有效提取率無法收斂到1。

圖8 參考單元大小不同時目標有效提取率隨SNR變化曲線

4 結束語

為解決有效定位多個發射未知信號的發射機目標的定位問題，本文方法結合DPD技術與MUSIC算法，能實現同時準確提取目標并進一步確定目標位置。首先，基于MUSIC算法，可以獲得基于特征分析的關于目標位置的代價函數；然后，利用圖像膨脹算法處理代價函數平面，得到目標個數及位置的估計值；之后，根據膨脹處理的結果分析了定位精度受信噪比的影響情況；最后，進一步分析了影響提取有效性的主要因素。仿真結果表明，提出算法可以有效地提取并確定多個發射機目標的位置。