權重函數對關聯方程估計超聲速混合層波前方差精度的影響*

謝文科 劉俊圣 費家樂 周全 夏輝? 陳欣 張盼 彭一鳴 于濤

1) (中南大學物理與電子學院,長沙 410083)

2) (國防科技大學前沿交叉學科學院,長沙 410073)

氣動光學的研究中,關聯方程(linking equation)是關聯湍流力學量與光學量的一個重要的方程.但是,基于模型簡化的關聯方程在亞聲速低速流場的應用中通常忽略權重函數對波前方差估計精度的影響.本文在納米粒子示蹤平面激光散射技術獲得超聲速混合層流場密度數據的基礎上,應用關聯方程計算超聲速混合層的流向波前方差,并進行誤差分析.結果表明：基于關聯方程估計的流向波前方差與直接對密度場的積分計算結果具有較好的一致性;在適當地定義相干長度、密度脈動協方差高斯模型近似的基礎上,分析了權重函數對關聯方程計算精度的影響,指出了權重函數對關聯方程在超聲速流場密度高度相關區域中應用的必要性.研究的開展對于拓展關聯方程在高速流場中的應用具有一定指導意義.

1 引 言

氣動光學是研究光波與窗口附近、非均勻薄層湍流流場相互作用的學科.由于湍流的隨機性,常用出射光束波前的平均值、方差、相關函數和相干長度等統計量來表征氣動光學效應[1,2].由于波前方差可用來對上述其他統計量進行建模,同時波前方差值還可以用來計算光學傳遞函數、斯特爾比等,因此波前方差是氣動光學統計建模首先要測量的量之一[3].早期的波前方差測量方法有直接光學測量和間接流體測量兩種,前者包含陰影法、紋影法、光學干涉法和哈特曼波前測量等.顯然,直接光學測量方法存在測試環境要求高、成本高等劣勢;后者是指Sutton[4]于1985年提出的基于關聯方程的間接測量方法,間接方法大大降低了測量環境要求和成本,因而在氣動光學研究歷史上具有重要意義.

Hugo和Jumper[5]研究了關聯方程在噴管出口流速為7 m/s的二維熱射流流場中的適用性,指出了流場特征長度的合理定義對用關聯方程計算精度的影響.Tromuer等[6]基于大渦模擬的流場數據,討論了在馬赫數為0.9的邊界層流場應用關聯方程計算波前方差的適用性.Fitzgerald等[7]發展了基于低速流氣動光學波前方差實驗數據外推到高速流波前方差的工程模型.Yin等[8]基于關聯方程對亞音速機載氣動光學效應進行了研究.由于實驗技術的限制,基于超聲速流場和高超聲速流場氣動光學效應的研究較少[9].因此,開展關聯方程在高速復雜流場中應用的適應性研究和誤差分析工作具有現實理論和工程意義.

本文基于納米粒子示蹤平面激光散射(nanoparticle-based planar laser scattering,NPLS)技術實驗測量了超聲速混合層密度場分布,計算、對比了基于關聯方程與直接對密度場積分的方法估計波前相位方差和誤差.研究結果表明,基于關聯方程的波前方差估計對于超聲速混合層流場同樣適用,估計誤差主要來源于在使用簡化了的關聯方程計算時,是否考慮了權重函數的影響.

2 理論基礎

由于氣動光學流場的折射率脈動是微小量(10-6),且流場特征長度遠大于傳輸光波長[10,11],因此光束在流場中的傳輸可認為滿足傍軸近似條件,進而可認為光線在流場中的傳輸軌跡近似為直線并忽略流場對振幅的衰減,只需考慮非均勻流場對相位的畸變效應[12-14].因此,光束沿y方向傳輸通過折射率分布為n(t,x,y)、厚度為L的流場后的光程(optical path length,OPL)為

光束孔徑范圍內任意x處光程差(optical path difference,OPD)的方差為

其中E(OPL(t,x,y))代表時間平均,σ為方差.對于理想氣體,折射率n可通過Gladstone-Dale常數KGD與密度脈動量ρ′ 關聯,

相位與光程差之間滿足關系式

其中k= 2π/λ,為波數;φ是相位.由(1)—(4)式可得到任意x處的波前方差為

其中β=k·KGD.進一步,由(5)式有

統計理論中,協方差函數的標準定義為

由(5)和(6)式可以得到廣義的關聯方程(linking equation)

上述推導過程用到密度脈動均值為零的假設.由(7)式可見,協方差函數的計算需要遍歷測量光路上所有點的密度脈動量,因此基于(8)式所示的廣義關聯方程進行相位方差估計是一個特別耗時的過程,進而影響其實用性.為此,在實際應用中,通常需要進一步對湍流做必要近似以簡化協方差函數的測量.一種通常的做法是,對湍流做均勻、各向同性的近似假設.基于湍流均勻、各向同性假設理論,(8)式中的協方差函數可以擬合為指數函數形式或高斯函數形式

或

其中為密度脈動方差,lρ是湍流密度脈動特征長度.相應地,關聯方程(8)可以分別寫成指數型

或高斯型

圖1 混合層流場圖像 (a)原始圖像;(b)噪聲和背景光預處理后圖像Fig.1.Image of mixing layer：(a) Original image;(b) image after pre-processing.

這里體現了均勻假設條件下光路方向的分層思想.本文采用的相干長度定義為

在此基礎上,Havener等[3]進一步推導了包含權重函數的指數型關聯方程

或高斯型

其中,(14)和(15)式中的權重函數可以分別表示為

或

3 實驗與結果

3.1 超聲速混合層流場

本文基于NPLS技術獲得高分辨率超聲速混合層二維密度場分布.Yi等[15]對NPLS和實驗流場裝置已有詳細的論述,這里不再贅述.

實驗測量的超聲速混合層流場的對流馬赫數為0.5,其中兩股來流的馬赫數分別為3.509和1.400,對應的來流速度分別是654.7和421.1 m/s,屬于中等可壓縮流場.NPLS圖像的像素尺寸為1431 × 281,單像素分辨率為h= 0.16 mm,入射光波長λ= 1064 nm,對應的KGD= 2.195 × 10-4m3/kg,跨幀間隔為15 μs,樣本總數為50幀.流向為x正向,光線傳播方向為y正向.

NPLS技術拍攝的某時刻超聲速混合層密度場圖像如圖1(a)所示.圖1(b)則是對圖1(a)進行去噪、對照明光源固有的空間不均勻性進行校正后得到的流場密度分布圖[16,17].對比發現,經過上述過程處理后,如圖1(a)圓圈內所示的大粒子噪聲得以去除,照明光源的空間不均勻性也得到了較好的校正.

3.2 超聲速混合層流場波前相位方差結果

基于上述參數,分別采用(8),(11)和(12)式計算流向波前相位方差分布,如圖2所示.

從圖2可見,密度脈動協方差函數基于指數模型和高斯模型近似后的關聯方程與廣義關聯方程計算的流向波前相位方差分布具有較好的一致性,且高斯模型近似的結果優于指數模型結果.因此,后續的計算及誤差分析均只針對高斯模型近似下的關聯方程進行.需要說明的是,基于(8)式的廣義關聯方程與基于(5)式的直接積分計算曲線完全重合,因此(5)式的計算曲線未在圖2中給出.

4 結果分析

如圖2所示,曲線在x/h= 800附近區域波前方差估計誤差較大.根據本文第2節的理論推導過程,這里主要考慮流場的權重函數對估計誤差的影響.為此,定義波前方差估計誤差表達式

基于高斯模型近似的關聯方程計算的流向波前相位方差誤差曲線如圖3所示.另外,根據統計學中的擬合優度定義式

計算出圖2中(8)和(12)式計算結果對應的兩條曲線的擬合優度為0.8810.

圖3 高斯型關聯方程和廣義關聯方程計算波前方差的誤差Fig.3.Errors of using gaussian linking equation and generalized linking equation to calculate wave-front variance.

流體力學中常應用脈動空間相關函數對流場的尺度特性進行定量描述,密度脈動空間相關函數定義為[18-20]

其中,(x,y)為選取的中心點坐標;δ(x) ,δ(y) 為相對于中心點的偏移量.結合圖1和圖2,選取坐標為(200,148),(480,140),(800,112)和(1000,100)中心點并計算了中心點附近區域的密度脈動相關函數,相應的等值線分布見圖4.密度脈動特征長度可以表征流場中的渦尺度大小.根據文獻[21],常將其定義為當相關函數值為最大值的1/e時所對應的流場尺度.基于此,計算出上述各中心點的密度脈動特征長度的歸一化值分別為12,44,96和112.

圖4(b)—(d)可見,在流場的中、下游中心點附近區域,相關函數等值線呈傾斜近似橢圓形狀,這些傾斜的橢圓形狀表示湍流大尺度結構的存在[22-24].同時從圖4可以看到,隨著流場逐漸向下游發展,密度脈動高度相關區域在逐漸擴大.這是由于混合層流場開始發展的初期產生渦量堆積,失穩之后產生大尺度結構卷起,表征了該區域流場的高度非均勻、非各向同性性.

由(17)式可知,lρ與權重函數的計算密切相關.結合圖3選取了混合層流場中誤差最大的點x/h= 772、誤差最小的點x/h= 380和誤差居中的點x/h= 932,計算了(17)式所示權重函數的y方向分布,如圖5所示.

圖4 密度脈動相關函數分布 (a)中心點(200,148);(b)中心點(480,140);(c)中心點(800,112);(d)中心點(1000,100)Fig.4.Correlations of density fluctuations：(a) Central point (200,148);(b) central point (480,140);(c) central point (800,112);(d) central point (1000,100).

圖5 部分流向點處的權重函數分布Fig.5.Distribution of weighting functions at some streamwise locations.

由圖5可見,在x/h= 772處,權重函數偏離1的區域最多,因此導致由于忽略權重函數的(12)式計算的相位方差誤差也最大;相反,x/h= 380位置處權重函數偏離1的區域最少,因此在該位置處(12)式計算的波前方差誤差值最小.進一步,給出了(12)和(15)式中不包含權重函數的積分核函數和包含權重函數的積分核函數分布,如圖6(a)和圖6(b)所示,以及二者的差值分布如圖6(c)所示.由圖6(c)可知,權重函數影響集中在流場自由邊界一側、且位于x/h= 772處附近.由此可見,權重函數對于關聯方程在超聲速流場密度脈動高度相關區域中應用的必要性.

對權重函數(17)式中的Erf(·)函數進行進一步分析發現,只有當L?lρ,即L/lρ較大時,W(y)值越接近1;反之,W(y)值偏離1越遠.由于流場的厚度L是一不變量,因此密度脈動特征長度lρ的大小決定著權重函數W(y)的值.由于流場失穩導致大渦結構的存在,在流場的中游附近區域L/lρ較小,所以權重函數的值會逐漸偏離1較遠,此時忽略權重函數的影響自然會導致波前方差計算誤差的增加.

最后,基于上述分析,加入權重函數重新計算波前方差,繪出基于(15)式計算波前相位方差的曲線,結果如圖7所示.可以看到,高斯形式的關聯方程(12),在加入權重函數(17)式后,計算得到的波前相位方差曲線的擬合效果要明顯變好.(8)和(15)式計算結果對應的兩條曲線的擬合優度為0.9127.

圖6 高斯型關聯方程加入權重函數前后的積分核分布(a)未加入權重函數;(b)加入權重函數;(c)積分核分布差Fig.6.Integral kernel distribution calculated by Gaussian linking equation before and after adding weighting function：(a) Before adding the weighting function;(b) after adding the weighting function;(c) the integral kernel distribution differences.

5 結 論

圖7 高斯型關聯方程加入權重函數前后計算波前方差對比Fig.7.Wave-front variance calculated by Gaussian linking equation before and after adding weighting function.

本文分析了關聯方程在超聲速混合層流場的應用中,密度相關函數采用高斯模型簡化處理所產生的權重函數對波前方差估計精度的影響.研究結果表明：由于混合層大尺度結構的卷起,導致密度脈動高度相關;在密度脈動高度相關區域附近,密度脈動特征長度值與權重函數偏離1的程度密切相關;當密度脈動特征長度較大時,權重函數偏離1的程度較嚴重,反之則相反.研究結果表明,對于在超聲速混合層流場密度脈動高度相關區域應用關聯方程計算波前相位方差考慮權重函數的必要性;加入權重函數的關聯方程計算波前方差的精度優于未加權重函數的關聯方程計算結果.

感謝國防科技大學空天科學學院易仕和教授在實驗設備和流場產生裝置等方面提供的支持與幫助.